排队论习题解

排队论习题解
排队论习题解
10.1某修理店只有⼀个修理⼯⼈, 来修理的顾客到达次数服从普阿松分布,平均每⼩时3⼈,修理时间服从负指数分布,平均需10分钟, 求
(1) 修理店空闲时间概率; (2) 店内有4个顾客的概率; (3) 店内⾄少有⼀个顾客的概率; (4) 在店内顾客平均数; (5) 等待服务的顾客平均数; (6) 在店内平均逗留时间; (7) 平均等待修理(服务)时间;
(8) 必须在店内消耗15分钟以上的概率.
04440s q s q 60M /M /1//3 6.10
31(1)p 1162
111
(2)p (1)(1)()2232
11
(3)1p 1223
(4)L 1()63
13
12(5)L ()632111
(6)()633
1
1
2(7)()636(8)1-F()W W λµρρρλµλρλµλµλρµλω∞∞====-=-==-=-=-=-====--?===--===--===--解：该系统为（）模型，，；；；
⼈；
⼈；⼩时；
⼩时；
1515-(6-3)-
-(-)60
20
e
e
e .
µλω
===
11
(1)(2)(3)232
11
(4)(5)2211
(6)(7)(8)3615.
15
-20
答：修理店空闲时间概率为；店内有三个顾客的概率为；店内⾄少
有⼀个顾客的概率为；店内顾客平均数为1⼈；等待服务顾客平均数为⼈；
在店内平均逗留时间分钟；平均等待修理时间为分钟；必须在店内
消耗分钟以上的概率为e
10.22015(1)(2)(3)(4) 1.25M /M /1.
603(/20λ=
=设有⼀单⼈打字室，顾客的到达为普阿松流，平均到达时间间隔为分钟，打字时间服从指数分布，平均时间为分钟，求顾客来打字不必等待的概率；打字室内顾客的平均数；顾客在打字室内平均逗留时间；
若顾客在打字室内的平均逗留时间超过⼩时，则主⼈将考虑增加设备及打字员，问顾客的平均到达概率为多少时，主⼈才会考虑这样做？解：该题属模型⼈⼩时0s s s 60)4(/).15
31
(1)p 1144
3
(2)L 3()4311
(3)1()43
1
(4)1.251
1.25 3.23.230.2(/).4W W µρλµλµλµλ
λλ
===-=-====--===--=>-≥>-=-Q ，⼈⼩时；
⼈；
⼩时；
；
，，⼈⼩时
1
(1)(2)3(3)4
1(4)0.2/.
答：顾客来打字不必等待的概率为；打字室内顾客平均数为⼈；顾客在
打字室内平均逗留时间为⼩时；平均到达率为⼈⼩时时，店主才会考虑增加设备及打字员 10.3 汽车按平均90辆/h 的poission 流到达⾼速公路上的⼀个收费关卡，通过关卡的平均时间为38s 。

由于驾驶⼈员反映等待时间太长，主管部门打算采⽤新装置，使汽车通过关卡的平均时间减少到平均30s 。

但增加新装置只有在原系统中等待的汽车平均数超过5辆和新系统中关卡空闲时间不超过10％时才是合算的。

根据这⼀要求，分析新装置是否合算。

解：该系统属于M/M/1模型
旧装置各参数计算：
95
.07
.94907
.94383600
/90=====
=µλρµλh
05.0105.1895.01919
05
.095
.010=-==-=-===
-=
ρρρρ
P L Lq L
采⽤新装置各参数计算：
25
.01'25.275.03'3
75
.0175.01'75
.012090'120303600
'/90'0=-==-=-==-=-======
=ρρρρµλρµλP L Lq L h
分析：因为采⽤新装置后要求原系统中等待的汽车平均数超过5辆为合算，经计算原系统的
Lq ＝18.05>5满⾜这个条件。

但是还有⼀个条件是采⽤新装置后要求新系统中关卡空闲时
间不超过10％，⽽经计算25.0'0=P 即新系统的空闲率为25％超出了要求，所以采⽤新装置是不合算的。

10.4某车间的⼯具仓库只有⼀个管理员，平均有4⼈/h 来令⼯具，到达过程为Poisson 流；领⼯具的时间服从负指数分布，平均为6min 。

由于场地限制，仓库内领⼯具的⼈最多不能超过3⼈，求：
（1）仓库内没有⼈领⼯具的概率；（2）仓库内领⼯具的⼯⼈的平均数；（3）排队等待领⼯具的⼯⼈的平均数；（4）⼯⼈在系统中的平均花费时间；（5）⼯⼈平均排队时间。

解：该系统属于M/M/1/3模型
5
210410
6
60
4=
=µλρµλ
（1）0p =6.0)5
2
(152
1114
4=--
=--ρρ 038.06.0)5
2
(3033=?==p p ρ
(2)5.0)5
2(1)52
(452152141444
4
=---=---=ρρρρL （⼈） (3)Lq 1.0)6.01(5.0)1(0=--=--=p L （⼈） (4)848.3)038.01(4)1(3=-=-=p e λλ
13.0848
.35
.0==
=
e
L
W λ（⼩时） (5)03.010
1
13.01
=-
=-
=µ
W W q （⼩时）答：（1）仓库内没有⼈领⼯具的概率为0.6；（2）仓库内领⼯具的⼯⼈的平均数为0.5⼈；（3）排队等待⼯具的⼯⼈的平均数为0.1⼈；（4）⼯⼈在系统中的平均花费时间为0.13⼩时；（5）⼯⼈平均排队时间为0.03⼩时。

10.4某车间的⼯具仓库只有⼀个管理员，平均有4⼈/h 来令⼯具，到达过程为Poisson 流；领⼯具的时间服从负指数分布，平均为6min 。

由于场地限制，仓库内领⼯具的⼈最多不能超过3⼈，求：
（1）仓库内没有⼈领⼯具的概率；（2）仓库内领⼯具的⼯⼈的平均数；（3）排队等待领⼯具的⼯⼈的平均数；（4）⼯⼈在系统中的平均花费时间；（5）⼯⼈平均排队时间。

解：该系统属于M/M/1/3模型
5
210410
6
4=
====
=µλρµλ（1）ρo =5
35211=-
=-ρ
(2)3
2
5
3521==-=
ρρL （⼈） (3)Lq 154
5232=-=-=ρL （⼈）
(4)6
1
432===λL W （⼩时）
(5)15
1
41154=?==λLq W （⼩时）
答：（1）仓库内没有⼈领⼯具的概率为
53；（2）仓库内领⼯具的⼯⼈的平均数为32⼈；（3）排队等待⼯具的⼯⼈的平均数为154⼈；（4）⼯⼈在系统中的平均花费时间为6
1
⼩时；
（5）⼯⼈平均排队时间为15
1
⼩时。

10．6 在第10.1题中，若顾客平均到达率增加到每⼩时6⼈，仍为普阿松流，服务时间不变，这时增加了⼀个⼯⼈。

（1）根据µλ/的值说明增加⼯⼈的原因；
（2）增加⼯⼈后求店内空闲概率，店内有2⼈或更多顾客（即⼯⼈繁忙）的概率。

（3）求.,,,s q q s W W L L
解（1）6/λ=⼈⼩时，6µ=⼈⼩时，因为c ＝1，λµ=，意味着系统的流⼊量等于流
出量，系统没有空闲时间。

所以要增加⼯⼈。

（2）增加1个⼯⼈后，此系统变成M/M/2排队系统
{}0012660.51,1,266
121.c n
n c n c p n p p p cc λλρρµµλµ∞
-==
==<===
≥==--
∑
1
1
101
001
111
11!!1210.511111,20.53k c c k c p k c λλρρµρµ---=-=+?
=++ --
=++=
∑
1
101111,133
p p λµ??==?=
故 {}01111211.333
p n p p ≥=--=-
-= （3）2
201111
1,2236
c p p p λµ??===??=
()()
222
0.510.51160.563110.5c q c c L p ρρ=
=?=?=-- 14
1,33
s q L L ρ=+=+=
4/3269
s s L W λ===⼩时，
q
q 1/36L W λ1＝
＝＝⼩时。

18
10.7 有⼀M/M1/5/∞模型，平均服务率10＝µ，就两种到达率：；＝6λ（分钟）＝15λ已计算出相应的概率n p 如表10－9所⽰，试就这两种情况计算：
（2）系统中顾客的平均数；（3）系统的满⾜率；（4）服务台应从那些⽅⾯改进⼯作？理由是什么？551
02
6100.04,
0.6(1).(1)6(10.04) 5.766
(1)(10.04)10
0.60.960.576
(2);[1()(1)](1)!()
0.60.420!(10.6)
n N e
s q c N c N c
q c c c p p p C p L L L p N c c c λµλ
ρµ
λλλµλµ
ρρρρρ---===
==-=-==
-?-=?==+=?
-----=-e 解当＝，＝时,有
有达到效率服务台的服务强度
系统中平均顾客数51515[10.6(51)(10.6)0.6]
0.6962
4.80.6962 1.1762,10
0.04.
e s q L L p λµ------?==+
=+==(3)系统的满意率为
1
02
(4).
1510 1.5.
(1)(1)15(10.37)9.45,
15
(1)(10.37)0.945;10
,
[1()(1)]
(1)!()
0.05e N N e s q c N c N c q c c c p C p L L L p N c c c p λµρλλλµλ
µ
ρρρρ+--=-=?-==-=-==+=?
------=服务台降低服务强度，原因是因为系统中没有顾客的概率⽐重较⼤当＝，＝时，＝有效到达率服务台的服务强度为(2)系统中平均顾客数25151
2
5 1.5[1 1.5(51)(1 1.5) 1.5](1 1.5)
1.6369;9.451.6369
2.5819.10
0.37.(4)1.
e s q L L p λµλ
µ
--?----?-≈=+
=+==>(3)系统的满⾜率服务台应提⾼服务率的原因是
，会使排队队长增⼤⽽等待空间有限，⽽致使有些顾客得不到服务⽽⾃动离开 10-7
有M/M/1/5系统，平均服务率µ=10，就两种到达率λ=6，λ=15，已得到相应得概率n p ,如。