新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第4讲 函数的图象与性质(解析版)

第4讲函数的图象与性质
函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．
函数的性质与图象
【知识要点】
函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．
本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．
1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．
由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P'(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：
奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．
2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量∆x＝x2－x1＞0，则
当∆y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；
当∆y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．
3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．
4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
【复习要求】
1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，
会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；
2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．
3．了解函数周期性的含义．
4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．
函 数
【知识要点】
要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．
1、设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．记作f ：A →B ，其中x 叫原象，y 叫象．
2、设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种映射叫做集合A 上的一个函数．记作y ＝f (x )，x ∈A ．
其中x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y ｜y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．
3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．
【复习要求】
1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．
2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．
3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f (x )(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．
4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．
【教材回归】1．函数的定义域和值域
(1)求函数定义域的类型和相应方法
若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．
(2)常见函数的值域
①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；
②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 2
4a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 2
4a ；
③反比例函数y ＝k x (k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}．
【例题分析】
1.函数f （x ）＝
+的定义域为（ ） A ．[0，2）
B ．（2，+∞）
C ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）
D ．[0，2）∪（2，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法． 【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：
，解得：， 故x ∈[0，2）∪（2，+∞），
故选：D ．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．
2.函数
的定义域为（ ） A ．[﹣2，0] B ．（﹣2，0） C ．（﹣2，0] D ．（﹣2，+∞）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】C
【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：要使函数有意义，则1﹣log 2（x +2）≥0得log 2（x +2）≤1，即0＜x +2≤2，得﹣2＜x ≤0，
即函数的定义域为（﹣2，0]，
故选：C ．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合根式成立的条件进行转化是解决本题的关键，是基础题．
3.下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）
A ．y ＝
B ．
C ．y ＝2﹣2x +1
D ．
【考点】函数的值域．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】C
【分析】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．
【解答】解：x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4≥﹣4，∴y＝的值域是R，不满足条件．
∵0≤1﹣2x＜1，则函数的值域为[0，1），不满足条件．
y＝2﹣2x+1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．
y＝∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．
2．函数的奇偶性、周期性
(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．
【例题分析】
1.下列函数中，是奇函数且在其定义域内单调递增的是（）
A．y＝e x B．y＝x3C．y＝sin x D．y＝tan x
【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】B
【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．
【解答】解：A．函数是非奇非偶函数，不满足条件．
B．y＝x3是奇函数，在R上是增函数，满足条件．
C．y＝sin x是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．
D．y＝tan x是奇函数，在定义域上不单调，不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数为（）
A．y＝cos x B．y＝﹣log2x C．y＝2x D．y＝x﹣2
【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】D
【分析】可看出选项A的函数在（0，+∞）上没有单调性，选项B，C的函数都是非奇非偶函数，从而只能选D．
【解答】解：y＝cos x在（0，+∞）上没有单调性；y＝﹣log2x和y＝2x都是非奇非偶函数；y＝x﹣2是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数．
故选：D．
【点评】本题考查了偶函数和减函数的定义及判断，偶函数图象的对称性，考查了计算能力，属于基础题．
3.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上单调递增的是（）
A．y＝x2+1 B．C．y＝3|x|D．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】AC
【分析】判断每个选项函数的奇偶性，以及在（0，+∞）上的单调性即可．
【解答】解：y＝x2+1和y＝3|x|都是偶函数，在（0，+∞）上都单调递增，∴AC正确；
和都不是偶函数，∴BD错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了偶函数的定义，二次函数和指数函数的单调性，考查了计算和推理能力，属于基础题．
4.写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）＝．
【考点】奇函数、偶函数；函数的周期性．
【专题】开放型；函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【答案】sinπx
【分析】先考虑熟悉的基本初等函数，再结合周期性和奇偶性即可得到答案．
【解答】解：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的是y＝sin x，
又最小正周期为2，故函数可为f（x）＝sinπx．
故答案为：f（x）＝sinπx．
【点评】本题属于开放性问题，主要考查的是函数的奇偶性和周期性的应用，解题的关键了解基本初等函数的性质并能够进行灵活的应用．
5.设函数f （x ）是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若
，则a 的
取值范围是（ ）
A ．（﹣2，3）
B ．（﹣3，2）
C ．（﹣∞，3）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，0）∪（3，+∞） 【考点】函数奇偶性的性质与判断；奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【答案】A
【分析】根据函数是以5为周期的奇函数，得f （2）＝f （﹣3），结合函数为奇函数，得f （﹣3）＝﹣
．由此结合f （2）＞1建立关于a 的不等式，解之可得a 的取
值范围． 【解答】解：∵函数f （x ）以5为周期，∴f （2）＝f （﹣3），
又∵
函数是奇函数 ∴f （﹣3）＝﹣
因此，f （2）＝f （﹣3）＝
＞0，
即（a +2）（a ﹣3）＜0，
解之得﹣2＜a ＜3．
故选：A ．
【点评】本题在已知函数为奇函数且是周期函数的情况下，解关于a 的不等式，考查了函数的奇偶性和周期性，以及不等式的解法等知识，属于基础题．
3．关于函数周期性、对称性的结论
(1)函数的周期性
①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期； ②若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期； ③若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．
(2)函数图象的对称性
①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，
则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．
②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (b －x )，
则函数f (x )的图象关于点⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，0对称． 【例题分析】 1.函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （﹣x ）的图象关于（ ）对称
A ．x 轴
B ．y 轴
C ．坐标原点
D ．不能确定
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】利用图象关于x ＝0的对称特点分别判断．
【解答】解：因为函数y ＝f （x ）关于x ＝0对称的函数为y ＝f （﹣x ），
所以函数y ＝f （x ）与函数y ＝f （﹣x ）的图象关于y 轴对称．
故选：B ．
【点评】本题主要考查几种常见函数的对称关系，要求熟练掌握这些对称对应函数的变化．
2.下列函数中，其图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称的是（ ）
A ．y ＝ln （1﹣x ）
B ．y ＝ln （3﹣x ）
C ．y ＝ln （1+x ）
D ．y ＝ln （3+x ）
【考点】奇偶函数图象的对称性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】B
【分析】根据题意，设y ＝g （x ）的图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称，分析可得g （x ）＝f （2﹣x ），结合f （x ）的解析式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设y ＝g （x ）的图象与函数y ＝ln （x +1）的图象关于直线x ＝1对称，
则有g （x ）＝f （2﹣x ），即g （x ）＝ln [（2﹣x ）+1]＝ln （3﹣x ），
故选：B ．
【点评】本题考查函数图象的对称性，注意关于直线x ＝1对称的函数的性质．
3.函数f （x ）＝
的图象关于（ ） A ．y 轴对称
B ．x 轴对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
【考点】奇偶函数图象的对称性． 【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】根据条件判断函数的奇偶性即可判断函数的图象关系．
【解答】解：∵函数f （x ）＝，
定义域为：{x |x ≠±1}关于原点对称，
且f （﹣x ）＝＝＝f （x ），
∴函数f （x ）＝
为偶函数，图象关于y 轴对称，
故选：A ． 【点评】本题主要考查函数图象的对称，根据函数奇偶性和图象之间的关系是解决本题的关键．
4．函数的单调性
函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．
①单调性的定义的等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1≠x 2，
那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔
f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性．
【例题分析】
1.若a ＝3e ，b ＝e 3，c ＝π3，其中e 为自然对数的底数，则（ ）
A ．a ＜b ＜c
B ．b ＜a ＜c
C ．a ＜c ＜b
D ．b ＜c ＜a
【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】A
【分析】根据题意，由幂函数＝x 3的单调性可得b ＜c ，对于
，求出其导数，分析可得在[1，+∞）单调递减，由此可得
，变形得a ＜b ，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以b ＜c ；
对于，其导数y ′＝，在区间（1，+∞）上，y ′＜0，则在[1，+∞）单调递减，
故，即3e＜e3，从而得a＜b，
故a＜b＜c，
故选：A．
【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意常见函数的单调性，属于基础题．2.已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），
则实数a的取值范围是（）
A．B．[2，6）
C．D．（0，6）
【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】C
【分析】由函数的定义域和单调性可得2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，
若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），则2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，
解得0＜a≤或2≤x＜6，
所以实数a的取值范围为（0，]∪[2，6），
故选：C．
【点评】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围，考查了转化思想，属于基础题．3若函数f（x）对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（）A．f（x）＝﹣2x+1 B．f（x）＝x2+2x+1
C．f（x）＝x2﹣log2x D．f（x）＝x2﹣x+
【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【答案】ACD
【分析】根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，分析可得g（x）在[1，+∞）为减函数与f （x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”等价，据此分析选项，即可得答案．
【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣x2，
若f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，则对∀x1，x2∈（1，+∞），（x1≠x2），不等式＜1成立，
则有﹣1＝＝×＝＜0，
则有＜0，则函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，
反之，若函数g（x）＝f（x）﹣x2在[1，+∞）为减函数，则有＝（x1+x2）
＜0，即f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”，
分析选项：
对于A，f（x）＝﹣2x﹣1，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x2﹣2x﹣1，为开口向下，对称轴为x＝﹣1的二次函数，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；
对于B，f（x）＝x2+2x+1，g（x）＝f（x）﹣x2＝2x+1，g（x）在区间[1，+∞）为增函数，则f（x）在（1，+∞）上不是“平方差减函数”；
对于C，f（x）＝x2﹣log2x，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣log2x，g（x）在区间[1，+∞）为减函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；
对于D，f（x）＝x2﹣x+，g（x）＝f（x）﹣x2＝﹣x+，g（x）在区间[1，+∞）为减
函数，则f（x）在（1，+∞）上为“平方差减函数”；
故选：ACD．
【点评】本题考查函数的单调性的判断，注意分析“平方差减函数”的定义，属于基础题．
5.函数的图象
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．【例题分析】
1.函数（e为自然对数的底数）的部分图象大致为（）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．
【答案】A
【分析】根据条件判断函数的奇偶性，结合函数值的符号，即可排除错误选项．
【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，
f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，图
象关于原点对称，排除BD，
当0＜x＜1时，f（x）＞0，排除C，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，通常利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法解决此类题目，是基础题．
2.托马斯说：“函数是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合M＝
{﹣1，2，4}到集合N＝{1，2，4，16}的函数的是（）
A．y＝2x B．y＝x+2 C．y＝x2D．y＝2x
【考点】函数的概念及其构成要素．
【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，分别进行判断即可．
【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝﹣2，没有对应值，不满足条件．
B．当x＝4时，y＝x+2＝6，没有对应值，不满足条件．
C．满足条件
D．当x＝﹣1时，y＝，没有对应值，不满足条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的概念，利用函数的对应性是解决本题的关键，是基础题．【易错点】
1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．
2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．
3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．
4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．。