第6章状态反馈和状态观测器习题与解答

第6章 “状态反馈和状态观测器”习题与解答

6.1 判断下列系统能否用状态反馈任意地配置特征值。 1) 121310⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

x x u 2) 100100210100200⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦x x u

解 1) []1103⎡⎤

==⎢⎥⎣⎦

c u b Ab ，秩2c u =，系统完全能控，所以可以用状态反馈任意配置特征值。 2) 2101010010204000000⎡⎤

⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

c u b

Ab

A b ，秩2c =u ，系统不完全能

控，所以不能通过状态反馈任意配置特征值。

6.2 已知系统为

1223

31233x x x x x x x x u

===---+

试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是3-，并画出闭环系统的结构图。 解 根据题意，理想特征多项式为 *

3

3

2

()(3)92727s s s s s α=+=+++

010*********u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

x =x +

令[]1

2

3u k k k =-x ，并带入原系统的状态方程，可得

1

2

30

10

01131313k k k ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥------⎣⎦x x 其特征多项式为32

321()(13)(13)(13)s s k s k s k α=++++++，通过比较系数得

3139,k += 21327,k += 31327,k += 即，1263k =

，2263k =，183k =，2626

83

3

3u x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦

。 闭环系统的结构图：

6.3 给定系统的传递函数为

1

()(4)(8)

G s s s s =

++

试确定线性状态反馈律，使闭环极点为2 4 7---，，。 解 根据题意，理想特征多项式为

*

3

2

()(2)(4)()1350567s s s s s s s α=+++=+++由传递函数

3211

()(4)(8)1232g s s s s s s s

=

=++++

可写出原系统的能控标准形

01000010032121u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦x =x +

令[]123u k k k =-x ，并带入原系统的状态方程，可得

1

2

3010

013212k k k ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦

x x 其特征多项式为

32321()(12)(32)3s s k s k s k α=+++++

通过比较系数得

156,k = 23250,k += 31213,k +=

即 156,k =218,k =31k =。

6.4 给定单输入线性定常系统为：

0001160001120u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

x x

试求出状态反馈u kx =-使得闭环系统的特征值为***

1232, 1, 1 j j λλλ=-=-+=--。

解 易知系统为完全能控，故满足可配置条件。系统的特征多项式为

2200det()det 16018720112s

s s s s s s ⎡⎤⎢⎥-=-+=++⎢⎥

⎢⎥-+⎣⎦

I A

进而计算理想特征多项式

*

*323

1

()()(2)(1)(1)464i i s s s s j s j s s s αλ==-=++-++=+++∏

于是，可求得

[]***

001122,,4,66,14αααααα⎡⎤=---=--⎣⎦k

再来计算变换阵

12

2211007218110016181010

0001100721811210100ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

P b Ab A b

并求出其逆

100

10112118144-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

Q P

从而，所要确定的反馈增益阵k 即为：

[][

]00

14,66,14011214,186,1220118144⎡⎤⎢⎥==---=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

k kQ

6.5 给定系统的传递函数为

(1)(2)

()(1)(2)(3)

s s g s s s s -+=

+-+

试问能否用状态反馈将函数变为：

(1)()(2)(3)k s g s s s -=

++和(2)

()(1)(3)k s g s s s +=

++

若有可能，试分别求出状态反馈增益阵k ，并画出结构图。

解 当给定任意一个有理真分式传递函数()G s 时，都可以得到它的一个能控标准形实现，利用这个能控标准形可任意配置闭环系统的极点。 对于传递函数(1)(2)

()(1)(2)(3)

s s G s s s s -+=

+-+，所对应的能控标准型为

010*********u ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

x x

利用上面两题中方法可知，通过状态反馈[]18

215u x =-能将极点配置为

2,2,3---，此时所对应的闭环传递数为(1)

()(2)(3)

k s g s s s -=

++。通过状态反馈

[]341u x =-能将极点配置为1,1,3--，此时所对应的闭环传递数为

(2)()(1)(3)

k s g s s s +=

++。从而，可看出状态反馈可以任意配置传递函数的极点，但不能任意配置其零点。 闭环系统结构图