(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案

第四章 线性方程组
§4-1 克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（ C ）
A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；
B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；
C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；
D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）
A 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;
B 。

当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;
C 。

若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0
D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题
1．已知齐次线性方程组1231231230020
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解,
则λ= 1 ，μ= 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，
则方程组有唯一解i x =
i
D D
. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩
解：
8320
62D =
=-≠
123532
D ==-,
28212
63
D =
=-
所以，125,62D D
x y D D
=
===- 2．123123123
22
231
0x x x x x x x x x -+=-⎧⎪
+-=⎨⎪-+-=⎩
解：
2131
1
2112122
130
3550111
01
r r D r r ---=--=-≠+---
11222
10051
1321135
011011D r r ---=-+-=---,
2121215
052
1322
1310
10
1
101
D r r --=-+-=-----， 3121225
002
1122
115
1
1
110
D r r --=+=---
所以, 3121231,2,1D D D
x x x D D D =
=====
3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪
+-=⎨⎪-++=⎩
解：
132
01
0012
412041200
183
583
D c c --=-+-=≠-
13110110014114020
283285D c c -=-+=，
2322
11
2
102
112100
123
125
D c c -=-+=--, 313201
01
2
4120
4120
182
582
D c c =-=--
所以, 3121,0,1D D D
x y z D D D =
===== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩
解：
21
31
41
21
31
1111
11111214012322315
05373312110218
123123
55370138142
22180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---
32
14212
32
5111
5111022214225182315235281101211
0100
5110010
5251827332142
10252823522c c D c c c c c c --------=
----------+=-----=----
21
231
4
1
13
23
1511
15111214072322215
0123733021101518
72323013
2123733031284
315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12
34221311151
215103122452218232511113228310110100
2510200
251
52185297426
52
11228115127
c c D c c c c c c -------=
---------+=-----=----12
43232
21
1115
211531212525222312113523120
0100
215215
5525027142
51152604
c c D c c r r r r --------=
----------+=----=---
所以， 312412341,2,3,1D D D D
x x x x D D D D
=
=======-
§4-2 齐次线性方程组
一、选择题
1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =
的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。

A 。

1k α； B.2k α； C 。

12()k αα+； D 。

12()k αα-.
解：因为m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系 含1个向量。

而12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解， 所以120αα-≠为0AX =的解，则方程组0AX =的通解为12()k αα-.
2．设线性方程组123123123
0020kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩ 有非零解，则正确的是（ C ）
A 。

k 必定为0; B. k 必定为1；
C 。

k 为0或1；
D 。

这样的k 值不存在.
3．1112
12122212
n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且0i a ≠(1,2,,)i n =，0(1,2,,)j j n b ≠=， 则0Ax =的基础解系中含有（ A ）个向量.
A.1n -; B 。

n ； C.1; D.不确定. 解：因为()
1112112122
221212
n n n n n n n n a b a b a b a a b a b a b a A b b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪ ⎪
== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以,11()10()1R A a b R A ≤≠⇒≥；又，所以，()1R A =。

4．设A 为n 阶方阵，()3r A n =- ，且123,,a a a 是0Ax =的三个 线性无关的解向量，则0Ax =的基础解系为（ A ）．
A ．122331,,a a a a a a +++；
B ．213213,,a a a a a a ---；
C ．2132131
2,,2
a a a a a a ---； D ．1233213,,2a a a a a a a ++---．
二、填空题
1．n 元齐次线性方程组0m n A X ⨯=有非零解的充分必要条件是 ()R A n < 。

2．当 023λλλ===或或 时，齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪
+-+=⎨⎪++-=⎩有非零解。

3．写出一个基础解系由[]12,1,0T
η=-，[]23,0,1T
η=组成的 齐次线性方程组___ __123230x x x +-= 。

解：方程组可为123
22
3323x x x x x x x =-+⎧⎪
=⎨⎪=⎩
即123230x x x +-=
三、求解齐次线性方程组1234512345
134512345233703230226054330
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩
解:
2
131413232
23421231233712
33
7332113048
824A 102260211155
433106121236123371
0004/3(1/3)(1/4)0122601004/3220033110
011623000000
r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪----- ⎪
⎪-= ⎪
⎪----- ⎪
⎪-----⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⨯⨯- ⎪- ⎪+- ⎪+-- ⎪⎝⎭11/300
00⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
所以，同解方程组为152534544
554/34/311/3x x x x x x x x x
x x =
⎧⎪=⎪⎪
=--⎨⎪=⎪⎪=
⎩，
则1204/304/3,111/31001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为一组基础解系，
所以，通解为1122x k k ξξ=+。

四、已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组123123123
2202030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩ 的解.
①求λ的值;②证明0B =.
① 解：
因为3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组的解,所以方程组有非零解。

系数行列式A =122
2103
1
1
λ--=⇒-1λ=.
② 证明：依题意,AB O =。

假设0B ≠，则B 可逆，
11AB O ABB OB A O --=⇒=⇒=，矛盾.所以，0B =。

补充:求证：,m n n p A B ⨯⨯，0()()AB R A R B n =⇒+≤。

证明：依题意，矩阵B 的所有列向量1,
,p ββ都是齐次线性方程组
0Ax =的解，而0Ax =解空间的维数是()n R A -， 所以，1()(,
,)()p R B R n R A ββ=≤-，即()()R A R B n +≤。