高中物理必修一 讲义 第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系

第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系
学习目标要求核心素养和关键能力1.知道匀速直线运动的位移与v －t图像中矩形
面积的对应关系。

2.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式，会应用此关系式分析和计算有关问题。

3.了解利用极限思想推导位移与时间关系式的方法。

4.理解匀变速直线运动的速度与位移关系，并会分析有关问题。

1.核心素养
用科学研究中的极限方法分析物理问题，通过推理，获得结论。

2.关键能力
利用数学思维来研究物理问题的能力。

知识点一匀变速直线运动的位移
如图所示，汽车由静止以加速度a1启动，行驶一段时间t1后，又以加速度a2刹车，经时间t2后停下来。

请思考：
(1)汽车加速过程及刹车过程中，加速度的方向相同吗？
(2)汽车加速过程和减速过程中运动的位移相同吗？
提示(1)汽车加速时加速度的方向与运动方向相同，减速时加速度方向与运动方向相反，因此两过程中加速度方向不同。

(2)由于汽车加速和减速运动的加速度和时间均不同，所以加速过程和减速过程中运动的位移不一定相同。

❶利用v －t 图像求位移
v －t 图像与时间轴所围的梯形面积表示位移，如图所示，x ＝1
2(v 0＋v )t 。

❷匀变速直线运动位移与时间的关系式 x ＝v 0t ＋12at 2，当初速度为0时，x ＝1
2at 2。

1.适用条件：匀变速直线运动。

2.公式的用途：公式x ＝v 0t ＋12at 2
中包含四个物理量，知道其中任意三个量，就可以求出另外一个物理量。

3.矢量性：公式中x 、v 0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。

通常选取初速度 的方向为正方向
a 、v 0同向时，a 取正值 a 、v 0反向时，a 取负值
位移的 计算结果
正值：说明位移方向与规定的正方向相同 负值：说明位移方向与规定的正方向相反
4.两种特殊形式
(1)当a ＝0时，x ＝v 0t (匀速直线运动)。

(2)当v 0＝0时，x ＝12at 2
(由静止开始的匀加速直线运动)。

5.在v －t 图像中，图线与t 轴所围的面积对应物体的位移，t 轴上方面积表示位移为正，t 轴下方面积表示位移为负。

【例1】 物体从静止开始做匀加速直线运动，加速度为1 m/s 2，求：
(1)物体在2 s 内的位移； (2)物体在第2 s 内的位移； (3)物体在第二个2 s 内的位移。

答案 (1)2 m (2)1.5 m (3)6 m
解析 (1)物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式得x 2＝1
2at 22＝2 m 。

(2)第1 s 末的速度(第2 s 初的速度) v 1＝v 0＋at 1＝1 m/s 故物体在第2 s 内的位移
x Ⅱ＝v 1t 1＋12at 21
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1×1＋12×1×12 m ＝1.5 m 。

(3)第2 s 末的速度
v 2＝v 0＋at 2＝(0＋1×2) m/s ＝2 m/s 也是物体在第二个2 s 的初速度 故物体在第二个2 s 内的位移
x 2′＝v 2t 2′＋12at 2′2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×2＋12×1×22 m
＝6 m 。

应用位移公式解题的一般步骤
(1)确定一个方向为正方向(一般以初速度的方向为正方向)。

(2)根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负的数值表示。

(3)根据位移—时间关系式或其变形式列式、求解。

(4)根据计算结果说明所求量的大小、方向。

【例2】 汽车沿平直公路匀减速刹车，初速度大小为7 m/s ，第1 s 内的位移大小为6 m ，求：
(1)汽车刹车的加速度大小； (2)汽车刹车后4 s 内的位移大小。

答案 (1)2 m/s 2 (2)12.25 m
解析 (1)根据匀变速直线运动的位移与时间关系式x ＝v 0t ＋12at 2
可得汽车运动的加速度
a ＝2（x －v 0t ）t 2
＝2（6 m －7 m/s ×1 s ）
（1 s ）2
＝－2 m/s 2
负号表示加速度的方向与初速度的方向相反，加速度的大小为2 m/s 2。

(2)根据速度与时间关系知汽车刹车时间为 t ＝v －v 0a ＝0－7 m/s
－2 m/s 2
＝3.5 s
故汽车刹车后4 s 内的位移等于汽车刹车后3.5 s 内的位移，即 x ＝v 0t ＋12at 2＝7 m/s ×3.5 s －1
2×2 m/s 2×3.52 s 2＝12.25 m 。

刹车类问题的处理方法
实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止。

解答此类问题的方法如下：
(1)先求出刹车时间t 刹＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
v 0a ，然后比较题给时间t 和刹车时间t 刹的大小关系。

(2)若t <t 刹，表示t 时刻物体没有停止，可规定v 0为正方向，则可利用v ＝v 0－at 和x ＝v 0t －1
2at 2求v 和x 。

(3)若t >t 刹，表示t 时刻物体已经停止，则v ＝0，利用x ＝12at 2
刹或x ＝v 02t 刹求t 时间内的位移。

【训练1】 某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s 内位移是8 m ，则( ) A.赛车的加速度是2 m/s 2
B.赛车的加速度是3 m/s 2
C.赛车第4 s 内的位移是32 m
D.赛车第4 s 内的位移是14 m
答案 D
解析 赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移与时间的关系式x ＝1
2at 2，解得a ＝4 m/s 2，故A 、B 、错误；赛车第4 s 内的位移为前4 s 内的位移减去前3 s 内的位移，由Δx ＝12at 24－12at 2
3解得赛车第4 s 内的位移为14 m ，故C 错误，D 正确。

知识点二 速度与位移的关系
❶速度与位移的关系式：v 2－v 20＝2ax 。

❷推导
速度与时间的关系式v ＝v 0＋at 。

位移与时间的关系式x ＝v 0t ＋1
2at 2。

由以上两个公式消去t ，可得
【思考】 如图所示，A 、B 、C 三个标志牌的间距均为x ，汽车做匀加速直线运动，加速度为a ，已知汽车经过标志牌A 的速度为v A ，你能求出汽车经过标志牌B 和C 的速度v B 和v C 吗？
提示 能，由v 2B －v 2A ＝2ax 可求出v B ，由v 2C －v 2A ＝2a (2x )可求出v C 。

1.公式的适用条件：匀变速直线运动。

2.公式的矢量性：公式中v 0、v 、a 、x 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v 0的方向为正方向。

3.两种特殊形式
(1)当v 0＝0时，v 2＝2ax 。

(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当v ＝0时，－v 20＝2ax 。

(末速度为零的匀减速直线运动)
【例3】 随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显。

分析交通违法事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命。

一货车严重超载后的总质量为49 t ，以54 km/h 的速率匀速行驶。

发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5 m/s 2(不超载时则为5 m/s 2)。

(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？ (2)若超载货车刹车时正前方25 m 处停着一辆小轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度大小。

答案 (1)45 m 22.5 m (2)10 m/s
解析 (1)设货车刹车时速度大小为v 0，加速度为a ，末速度为v ，刹车距离为x ，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得 x ＝v 2－v 202a
由题意知v 0＝54 km/h ＝15 m/s ，v ＝0， a 1＝－2.5 m/s 2，a 2＝－5 m/s 2 代入数据得，超载时x 1＝45 m 不超载时x 2＝22.5 m 。

(2)超载货车与轿车碰撞时，由v ′2－v 20＝2a 1x ′知 相撞时货车的速度大小 v ′＝v 20＋2a 1x ′
＝
（15 m/s ）2－2×2.5 m/s 2×25 m
＝10 m/s。

【训练2】如图所示，一小车从A点由静止开始做匀加速直线运动，若到达B 点时速度为v，到达C点时速度为2v，则x AB∶x BC等于()
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
答案C
解析设小车的加速度为a，由v2－v20＝2ax得x AB＝v2
2a
，x BC＝x AC－x AB＝
（2v）2
2a
－v2 2a ＝3v2
2a
，故x AB∶x BC＝1∶3，选项C正确。

【推理思维】在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够短，速度的变化就非常小，在这段时间内就可以近似地应用匀速直线运动的公式来计算位移。

如图甲所示，如果我们把每一小段Δt内的运动看作匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移之和，显然小于匀变速直线运动在该时间内的位移，但所取时间段Δt越小，各匀速直线运动位移之和与匀变速直线运动位移之间的差值就越小，如图乙所示，当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v－t图线与时间轴所围的面积，可以想象，如果把整个运动过程划分得非常细，很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小就等于图丙所示的梯形面积。

【方法感悟】对于匀变速直线运动位移与时间关系式的推理，运用了“无限分割，逐步逼近”的微分思想。

此推理方法实质上是微积分思想在高中物理的体现。

【推广延伸】
(1)任意直线运动的v－t图像中，图像与时间轴包围的面积都表示位移大小。

(2)对任意形状的v－t图像都适用。

如图所示，运动物体的位移可用v－t图像中图形的面积表示。

【典型示例】
甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶。

在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t 图像如图所示。

在这段时间内()
A.汽车甲的平均速度比乙的大
B.汽车乙的平均速度等于v1＋v2 2
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
答案A
解析根据v－t图像中图线与t轴围成的面积表示位移大小，可以看出汽车甲的
位移x甲大于汽车乙的位移x乙，故C错误；根据v－＝x
t
得，汽车甲的平均速度v甲大于汽车乙的平均速度v乙，故A正确；汽车乙的位移x乙小于初速度为v2、末
速度为v1的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于v1＋v2
2
，故B错
误；根据v－t图像的斜率反映了加速度的大小，所以汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，故D错误。

1.(位移与时间关系的应用)一质点做初速度为零的匀加速直线运动，第3 s内的位移为15 m，则()
A.质点的加速度为6 m/s2
B.质点前3 s内的平均速度为15 m/s
C.质点第3 s末的瞬时速度为15 m/s
D.质点第5 s内的位移为75 m
答案A
解析根据x＝1
2at
2可得xⅢ＝12at23－12at22，代入数据解得a＝6 m/s2，故A正确；质
点前3 s内的位移为x3＝1
2at 2
3＝27 m，则前3 s内的平均速度为v
－
＝x3
t3
＝9 m/s，故B
错误；质点第3 s末的瞬时速度为v3＝at3＝18 m/s，故C错误；质点第5 s内的位
移为x′＝1
2at 2
5
－
1
2at
2
4
＝27 m，故D错误。

2.(v2－v20＝2ax的应用)一辆汽车在平直公路上以72 km/h的速度匀速行驶，遇到紧急情况需要刹车，刹车时加速度大小为4 m/s2，则汽车从刹车开始到停止通过的距离为()
A.20 m
B.40 m
C.50 m
D.100 m
答案C
解析汽车刹车时的初速度v0＝72 km/h＝20 m/s，由v2－v20＝2ax得x＝
0－2022×（－4）
m ＝50 m ，C 正确。

3.(位移与时间关系和速度与位移关系的综合应用)可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏，如图所示，有一企鹅在倾斜冰面上，先以加速度大小为0.5 m/s 2从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”，t ＝8 s 时，突然卧倒以肚皮贴着冰面向前以加速度大小为8 m/s 2减速滑行至最高点，最后又以加速度大小为4 m/s 2退滑到出发点，完成一次游戏(企鹅在滑动过程中姿势保持不变)。

求：
(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小及8 s 末速度大小； (2)企鹅在冰面向上滑动的最大距离；
(3)企鹅退滑到出发点时的速度大小。

(结果可用根式表示) 答案 (1)16 m 4 m/s (2)17 m (3)234 m/s 解析 (1)企鹅向上“奔跑”的位移大小为 x 1＝12a 1t 2＝1
2×0.5×82 m ＝16 m
8 s 末速度大小v 1＝a 1t ＝0.5×8 m/s ＝4 m/s 。

(2)匀减速的位移x 2＝v 212a 2
＝42
2×8 m ＝1 m
企鹅在冰面向上滑动的最大距离x max ＝x 1＋x 2＝17 m 。

(3)设退滑到出发点时的速度大小为v ′，由速度位移的关系式得v ′2＝2a 3x max 解得v ′＝234 m/s 。

题组一 匀变速直线运动的位移
1.一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s 内的位移为2 m ，则下列说法正确的是( )
A.物体运动的加速度为2 m/s 2
B.物体在前2 s 内的位移为8 m
C.物体在第2 s 内的位移为4 m
D.物体在第2 s 内的平均速度为8 m/s 答案 B
解析 根据x 1＝12at 21得，
物体运动的加速度a ＝2x 1
t 21
＝4 m/s 2，故A 错误；物体在前2 s 内的位移为x 2＝12at 22＝12×4×22 m ＝8 m ，故B 正确；物体在第2 s 内的位移x Ⅱ＝x 2－x 1＝6 m ，在第2 s 内的平均速度v －
2＝x Ⅱ
t 1
＝6 m/s ，故C 、D 错误。

2.(多选)一质点做匀变速直线运动，其位移表达式为x ＝(10t ＋t 2) m ，则( ) A.质点的初速度为10 m/s B.质点的加速度大小为1 m/s 2 C.质点的加速度大小为2 m/s 2 D.在4 s 末，质点距出发点24 m 处 答案 AC
解析 将x ＝(10t ＋t 2) m 与公式x ＝v 0t ＋1
2at 2对比可知，质点的初速度为10 m/s ，加速度大小为2 m/s 2，故A 、C 正确，B 错误；t ＝4 s 时，x ＝(10×4＋42) m ＝56 m ，故D 错误。

3.一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m 有一棵树，如图所示，汽车通过A 、B 两相邻的树用了3 s ，通过B 、C 两相邻的树用了2 s ，则下列说法正确的是( )
A.此汽车运动的加速度大小为2 m/s 2
B.此汽车经过A 树时的速度大小为3.0 m/s
C.此汽车经过B 树时的速度大小为6.5 m/s
D.此汽车经过B 树时的速度大小为6.0 m/s 答案 C
解析 设汽车经过A 树时的速度为v 1，加速度为a ，对AB 段运动由位移与时间关系式有x ＝v 1t ＋1
2at 2
对AC 段运动根据位移与时间关系式有 2x ＝v 1(t ＋t ′)＋1
2a (t ＋t ′)2
联立并代入数据解得a ＝1 m/s 2，v 1＝3.5 m/s ，故A 、B 错误； 对AB 段由速度与时间关系式v ＝v 1＋at
得通过B 点的速度为v 2＝v 1＋at ＝6.5 m/s ，故C 正确，D 错误。

题组二 速度与位移的关系
4.在交通事故分析中，刹车线的长度是很重要的依据。

在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是14 m ，假设汽车刹车时的速度大小为14 m/s ，则汽车刹车时的加速度大小为( ) A.7 m/s 2 B.17 m/s 2 C.14 m/s 2 D.3.5 m/s 2
答案 A
解析 设汽车开始刹车时的方向为正方向，由02－v 2
0＝2ax 可得a ＝－v 20
2x ＝－7 m/s 2，A 正确。

5.物体从长为L 的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v ，如果物体以v 0＝v
2的初速度从斜面底端沿斜面上滑， 上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为( ) A.L 2 B.L 3 C.L 4 D.2L
答案 C
解析 设加速度大小为a ，下滑时v 2＝2aL ，上滑时0－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
v 22
＝－2aL ′，则由以上
两式得L ′＝L
4，故C 正确。

6.列车长为l ，铁路桥长为2l ，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为v 1，车头过桥尾时的速度为v 2，则车尾过桥尾时速度为( ) A.3v 2－v 1 B.3v 2＋v 1
C.
3v 22－v 2
1
2
D.3v 22－v 212
答案 C
解析 由v 2－v 20＝2ax 得v 22－v 21＝2a ·2l ，v 23－v 2
1＝2a ·3l ，故v 3＝
3v 22－v 2
1
2，选项
C 正确，A 、B 、
D 错误。

7.一质点做匀加速直线运动，第3 s 内的位移为12 m ，第5 s 内的位移为20 m ，则该质点运动过程中( ) A.初速度大小为零 B.加速度大小为4 m/s 2 C.5 s 内的位移为50 m D.第4 s 内的平均速度为8 m/s 答案 B
解析 质点第3 s 内的位移等于前3 s 内位移与前2 s 内位移之差，即Δx 3＝x 3－x 2＝12 m ，由匀变速直线运动的位移公式x ＝v 0t ＋12at 2，代入数据得v 0×3＋1
2a ×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫
v 0×2＋12a ×22＝12，同理可得第5 s 内的位移Δx 5＝v 0×5＋12a ×52－(v 0×4＋12
a ×42)＝20 m ，联立解得v 0＝2 m/s ，a ＝4 m/s 2，A 错误，B 正确；5 s 内的位移为x ＝v 0t 5＋12at 25＝60 m ，C 错误；第4 s 内的位移为Δx 4＝x 4－x 3＝v 0t 4＋12
at 2
4－⎝ ⎛
⎭⎪⎫v 0t 3＋12at 23＝16 m ，则第4 s 内的平均速度v －＝Δx 4t ＝16 m/s ，D 错误。

8.一质点的位移—时间图像为如图所示的一段抛物线，其方程为x ＝－20t 2＋40t ，则下列说法正确的是( )
A.质点做曲线运动
B.质点做加速度先减小后增大的直线运动
C.质点做加速度大小为40 m/s2的匀变速直线运动
D.质点在0～1 s内的平均速度大于20 m/s
答案C
解析位移—时间图像只能表示直线运动的运动规律，该运动一定是直线运动，
A错误；对照位移时间关系公式x＝v0t＋1
2at
2可知，质点的初速度为40 m/s，加速
度为－40 m/s2，是匀变速直线运动，C正确，B错误；t＝0时刻质点位移为0，t ＝1 s时刻质点位移为20 m，故质点在0～1 s内的平均速度等于20 m/s，D错误。

9.(多选)一滑块冲上固定斜面后做匀减速直线运动，最终静止在斜面上的Q点，如图所示，从滑块通过斜面的底端P开始计时，已知滑块在第1 s内通过的距离为6 m，停止运动前的最后1 s内通过的距离为2 m，则()
A.滑块运动的加速度大小为4 m/s2
B.滑块通过P点时的速度大小为16 m/s
C.P、Q两点间的距离为8 m
D.滑块从P点运动到Q点的时间为2 s
答案ACD
解析滑块沿斜面向上做匀减速直线运动，逆向思考，滑块沿斜面向下做匀加速
直线运动，由x＝1
2at
2，得a＝4 m/s2，故A正确；由x′＝v0t－12at2得v0＝8 m/s，即滑块通过P点时的速度大小为8 m/s，故B错误；由v2－v20＝－2ax得P、Q两
点间的距离为x＝8 m，故C正确；由v＝v0－at′得t′＝v0－v
a
＝
8 m/s－0
4 m/s2
＝2 s，故
D正确。

10.有些航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。

设航空母舰处于静止状态。

问：
(1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？
(2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，则该舰身长至少应为多少？
答案(1)30 m/s(2)250 m
解析(1)根据v2－v20＝2ax得
v0＝v2－2ax
＝（50 m/s）2－2×5.0 m/s2×160 m
＝30 m/s。

(2)不装弹射系统时，由v2＝2aL
得L＝v2
2a ＝502 m2/s2
2×5.0 m/s2
＝250 m。

11.汽车做匀加速直线运动，初速度为10 m/s，若它在开始的10 s内位移为175 m，求：
(1)汽车的加速度；
(2)在离出发点52 m处的速度大小；
(3)第7 s内的位移大小。

答案(1)1.5 m/s2(2)16 m/s
(3)19.75 m
解析(1)由x＝v0t＋1
2at
2得
a ＝2x －2v 0t t 2
＝2×175 m －2×10 m/s ×10 s 102 s 2
＝1.5 m/s 2。

(2)由速度与位移关系式v 2－v 20＝2ax 解得v ＝2ax ＋v 2
＝
2×1.5 m/s 2×52 m ＋（10 m/s ）2
＝16 m/s 。

(3)前7 s 内的位移为x 7＝v 0t 7＋12at 2
7 前6 s 内的位移为x 6＝v 0t 6＋12at 26 第7 s 内的位移Δx ＝x 7－x 6 联立解得Δx ＝19.75 m 。

12.一辆以v 0＝90 km/h 的速度做匀速运动的汽车，司机发现前方的障碍物后立即刹车，刹车过程可看成匀减速直线运动，加速度大小为2.5 m/s 2，从刹车开始计时，求：
(1)汽车第4 s 内的位移； (2)汽车运动120 m 所用的时间； (3)前15 s 内汽车的位移大小。

答案 (1)16.25 m (2)8 s (3)125 m
解析 (1)由题意得v 0＝90 km/h ＝25 m/s ，由于汽车做匀减速直线运动，所以 a ＝－2.5 m/s 2 前4 s 内的位移
x 4＝v 0t 4＋12at 24
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
25×4－12×2.5×16 m ＝80 m 前3 s 内的位移
x 3＝v 0t 3＋12at 23
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
25×3－12×2.5×9 m ＝63.75 m 因此第4 s 内的位移
Δx ＝x 4－x 3＝(80－63.75)m ＝16.25 m 。

(2)由x ＝v 0t ＋1
2at 2知，当x ＝120 m 时 解得t ＝8 s 或12 s(舍)。

(3)设刹车时间为t 0，则 0＝v 0＋at 0 解得t 0＝10 s<15 s
故15 s 时车已停下，故前15 s 内的位移大小为刹车过程前10 s 内的位移 x ′＝v 0t ′＋12at ′2
＝125 m 。