东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023届高三二模数学试题含答案

哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学
2023年高三第二次联合模拟考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1.已知集合{}1,2,3A =，{}
2
0B x x x m =-+=，若{}2A
B =，则B =（ ）
A.{}2,1
B.{}2,4
C.{}2,3
D.{}2,1-
2.已知复数z 满足24i z z +=+，则z =（ ） A.34i +
B.34i -
C.34i -+
D.34i --
3.已知向量()1,0a =
，1,22b ⎛=-
⎝⎭
，则a b -
=（ ） A.3
C.1
4.有7名运动员（5男2女）参加A 、B 、C 三个集训营集训，其中A 集训营安排5人，B 集训营与C 集训营各安排1人，且两名女运动员不在同一个集训营，则不同的安排方案种数为（ ） A.18
B.22
C.30
D.36
5.两条直线()0y kx k =>和2y kx =-分别与抛物线2
4y x =交于异于原点的A 、B 两点，且直线AB 过点
()1,0，则k =（
）
A.
12
B.1
D.2
6.如图，直角梯形ABCD 中，3AB CD =，30ABC ∠=︒，4BC =，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周，所得几何体的外接球的表面积为（ ）
A.
1123
π
B.48π
C.128π
D.208π
7.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且在[]0,1上单调递减，若方程()10f x +=在[)0,1有实数根，则方程()1f x =在区间[)1,11-上所有实数根之和是（ ） A.6
B.12
C.30
D.56
8.已知三个互异的正数a ，b ，c 满足2ln c
c a
a
=+，()2
1a
b =+，则关于a ，b ，
c 下列判断正确的
是（ ） A.a b c <<
B.a b c >>
C.2a c b -<-
D.2a c b ->-
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A.()f x 为偶函数
B.()f x 的最小正周期是π
C.()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 D.()f x 的最小值为1-
10.金枪鱼因为肉质柔嫩鲜美、营养丰富深受现代人喜爱，常被制作成罐头食用.但当这种鱼罐头中的汞含量超过1.0mg/kg 时，食用它就会对人体产生危害.某工厂现有甲、乙两条金枪鱼罐头生产线，现从甲、乙两条生产线中各随机选出10盒罐头并检验其汞含量（单位为mg/kg ），其中甲生产线数据统计如下：0.07，0.24，0.39，0.54，0.61，0.66，0.73，0.82，0.95，0.99，其方差为2
10.08s =.乙生产线统计数据的均值为20.4x =，方差为
220.11s =，下列说法正确的是（ ）
A.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.82
B.甲生产线的金枪鱼罐头汞含量数值样本的上四分位数是0.775
C.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值高于两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量平均值
D.由样本估计总体，甲生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值较两条生产线生产的金枪鱼罐头汞含量数值更稳定
11.已知正方体1111ABCD A B C D -E ，F 是棱1DD ，1CC 的中点，点M 是侧面11CDD C 内
运动（包含边界），且AM 与面11CDD C 所成角的正切值为
2
，下列说法正确的是（ ）
A.1MC 2
B.存在点M ，使得AM CE ⊥
C.存在点M ，使得AM ∥平面BDF
D.所有满足条件的动线段AM 形成的曲面面积为
6
12.已知函数()()1
,*m
n f x x m n N x
=+
∈，下列结论正确的是（ ） A.对任意m ，*n N ∈，函数()f x 有且只有两个极值点 B.存在m ，*n N ∈，曲线()y f x =有经过原点的切线 C.对于任意10x >，20x >且12x x ≠，均满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
D.当0x >时，()()f x f x -≤恒成立
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.大气压强p =
压力受力面积
，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，2
1Pa 1N/m =），已知大气压强()Pa p 随高度()
m h 的变化规律是0kh
p p e -=，其中0p 是海平面大气压强，1
0.000126m k -=.当地高山上一处大气压强是海平面
处大气压强的
1
3
，则高山上该处的海拔为______米.（答案保留整数，参考数据ln3 1.1≈） 14.曲线2
2
x y x y +=+围成的图形的面积是______.
15.已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点为(),0F c ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线C 的两
条渐近线分别交于M 、N 两点，若P 是线段MN 的中点，且PF =
，则双曲线的离心率为______. 16.A 、B 、C 、D 、E 五个队进行单循环赛（单循环赛制是指所有参赛队在竞赛中均能相遇一次），胜一场得3分，负一场得0分，平局各得1分.若A 队2胜2负，B 队得8分，C 队得9分，E 队胜了D 队，则D 队得分为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17.（本小题满分10分）
记ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()2
1cos 4bc A a +=.
（1）证明：3b c a +=； （2）若2a =，7
cos 9
A =
，角B 的内角平分线与边AC 交于点D ，求BD 的长. 18.（本小题满分12分）
调查问卷中常常涉及到个人隐私或本人不愿正面回答的问题，被访人可能拒绝回答，即使回答，也不能期望答案是真实的.某小区要调查业主对物业工作是否满意的真实情况，现利用“随机化选答抽样”方法制作了具体调查方案，其操作流程如下：在一个箱子里放3个红球和2个白球，被调查者在摸到球后记住颜色并立即将球放回，如果抽到的是红球，则回答“你的性别是否为男性？”如果抽到的是白球，则回答“你对物业工作现状是否满意？”两个问题均用“是”或“否”回答.
（1）共收取调查问卷100份，其中答案为“是”的问卷为60份，求一个业主对物业工作表示满意的概率，已知该小区共有业主500人，估计该小区业主对物业工作满意的人数；
（2）现为了提高对物业工作满意的业主比例，对小区业主进行随机访谈，请表示不满意的业主在访谈中提出两个有待改进的问题.
（ⅰ）若物业对每一个待改进的问题均提出一个相应的解决方案，该方案需要由5名业主委员会代表投票决定是否可行.每位代表投赞同票的概率均为1
3
，方案需至少3人投赞成票，方能予以通过，并最终解决该问题，求某个问题能够被解决的概率0p ；
（ⅱ）假设业主所提问题各不相同，每一个问题能够被解决的概率都为0p ，并且都相互独立.物业每解决一个问题，业主满意的比例将提高一个百分点.为了让业主满意的比例提高到80%，试估计至少要访谈多少位业主？ 19.（本小题满分12分）
如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影
为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，1
1
2
AO =，1AA BC ⊥.
（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；
（2）若M 为线段11B D 上一点，且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为
7
，求直线1A M 与平面MBC
所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，设()12*n
n a a a m n N n
++
+=
∈，若{}n a 满足性质Ω：存在常数c ，使得对于任意两两不
等的正整数i 、j 、k ，都有()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=，则称数列{}n a 为“梦想数列”. （1）若()2
*n
n b n N =∈，判断数列{}n b 是否为“梦想数列”
，并说明理由； （2）若()21*n c n n N =-∈，判断数列{}n c 是否为“梦想数列”，并说明理由； （3）判断“梦想数列”{}n a 是否为等差数列，并说明理由. 21.（本小题满分12分）
已知椭圆()2212
2:10x y C a b a b +=>>的离心率为3
，
x 轴被抛物线22:4x C y b =-截得的线段长与1C 长轴长的比为2:3.
（1）求1C 、2C 的方程；
（2）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A 、B ，直线MA 、MB 分别与1C 相交与D 、E .
（ⅰ）设直线MD 、ME 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k 的值； （ⅱ）记MAB △、MDE △的面积分别是1S 、2S ，求1
2
S S 的最小值. 22.（本小题满分12分）
已知函数()()ln 10f x x ax a =-->.
（1）当1a =时，求过原点且与()f x 相切的直线方程；
（2）若()()()0ax
g x x e f x a =+⋅>有两个不同的零点1x 、()2120x x x <<，不等式212m
x x e ⋅>恒成立，求
实数m 的取值范围.
三省三校第二次模拟答案
一、单选题
二、多选题
三、填空题：
13、8730
14、2π+
15 16、1
8.2ln 2ln c c a a -=-
考虑：()()2ln 0f x x x x =->，则()221x f x x x
-'=-
= ()f x 在()0,2递减；()f x 在()2,+∞递增(
)()()min 221ln 20f x f =
=->
（1
）当02a <<，2c >时，21a
+=
设(
)x x
g x =
+
，是减函数，且()21g =
()()2121
a
a
a
g a g b a =+>=⇒=+>⇒> 2212152a b =+<+=⇒<所以，22c b a a c b >>>⇒->-
（2）当02c <<，2a >时，同理可得：22a b c a c b >>>⇒->- 综上可得：2a c b ->-成立. 12.如图：
（1）在第一象限+都是凹函数（二阶导数大于零） （2）图二、图三有过原点的切线 （3）极值点的个数是一个或两个
（4）当m ，n 同奇数或同偶数时，()()f x f x =-；当m ，n 是一奇，一偶数时，()()
f x f x >-； 15.设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y
22
11222
222
2222
00
MN OP x y b a b k k a x y a b ⎧-=⎪⎪⇒⋅=⎨⎪-=⎪⎩，则OP 的方程为222b y x a =，MN 的方程为：()2y x c =- (
)2
2222
4242P b y x
a c x c OP e a a
b y x
c ⎧=⎪⇒==+⇒=⎨-⎪=-⎩
16.
A 队：2胜2负（无平局） C 队：3胜1负（无平局）
B 队：2胜2平，则B 队和D 、E 是平局；B 队胜了A 、C
这样找到了C 队负的一场，输给B 队 这样B 、C 结束；A 队赢D 、E 最后，E 胜D ，则D 的1分.
四、解答题
17.（本题满分10分）
（1）证明：()2222
2
1cos 4142b c a bc A a bc a bc ⎛⎫+-+=⇒+= ⎪⎝⎭
()
2
29b c a +=，则3b c a +=……5'
（2）由余弦定理得：2
2
2
2cos a b c b A =+-，
则9bc =，又3b c a +=，则3b c ==由角分线可得，9
5
AD =
所以，在ABD △中，由余弦定理得：222
2cos BD AD c AD c A =+-⋅，BD =
10'
18.（本题满分12分）
（1）记：事件A =“业主对物业工作表示满意”，则()()2316035521004
P A P A ⋅+⋅=⇒= 所以，3
5003754
⨯
=（人）……4' 答：该小区业主对物业工作表示满意的人数约为375人.
（2）（ⅰ）3
245
345055512121173333381P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……8' （ⅱ）设至少要访谈n 位业主31738101280%10047.6481417n n ⎛
⎫⎛⎫⋅-⋅⋅≥-⨯⇒≥≈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
答：至少要访谈48位业主.……12' 19.（本题满分12分）
（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===则，60ABC ∠=︒……2'
1
BC AC
BC BC AA ⊥⎧⇒⊥⎨
⊥⎩平面11A ACC ，BC ⊂平面ABCD ，则平面ABCD ⊥平面11A ACC ，……4' （2）建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则
)
A
，()0,1,0B
，2O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，1
31,0222CD BA ⎛⎫==-
⎪ ⎪⎝⎭ 1133,022B D
BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，1112DD AA ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，11
10,,22D
⎛
⎫- ⎪⎝⎭ 设111,0D M D B λ
⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，131,,222M λ⎛⎫
-+ ⎪ ⎪⎝⎭
(6)
'
设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =
1310
22220n CM y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭
⋅⎪⎪⎩
=⎩
，取1x =，则()
1,0,n =-……8' 取平面ABCD 的法向量()0,0,1m =
221cos ,417m n m n m n
λ⋅=
=
⇒
=，则12
λ= 即：11,04A M ⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭，1,0,n ⎛= ⎝
⎭……10' 设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则1113
sin cos ,7
A M n A M n A M n
θ⋅==
=⋅
所以，直线1A M 与平面MBC
……12' 20.（本题满分12分）
（1）()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=
()()()k j i j i m i k m k j m c -+-+-=所以，0c =
当2n
n b =时，12m =，23m =，3143
m =
()
()()142612232313033
-+-⋅+-⋅=≠所以，{}n b 不是“梦想数列”……4' （2）21i a i =-，21j a j =-，21k a k =-
()()()222
0k i j i j j k k i k i j
-+-+-=所以，{}n c 不是“梦想数列”……6'
（3）①令1i =，2j =，3k = ()
()()123112
1223310312
a a a a a a +++-+-+-= 所以，1322a a a +=，即：1a 、2a 、3a 成等差数列……8' ②令1i =，2j =，()3k n n =≥ ()
()()2112210
2
n S S n a n n -+-+-= ()()2122310n S n n a n n a +---= ()()
2
112
2210
n S n n a n n a ++---+= 所以，11121122220n n a na a na a a nd +++--=⇒=+ 所以，()()114n a a n d n =+-≥，当1,2,3n =时也成立. 综上可得，“梦想数列”{}n a 是等差数列. ……12' 21.（本题满分12分）
（1）椭圆方程：()22
2210x y a b a b
+=>>
1332
3c b a a ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨=⎩=，所以，22
1:19x C y +=，22
1:14C y x =-……4' （2）设直线l 的方程为y kx =，()11,A x y ，()22,B x y
2
2440114
y kx
x kx y x =⎧⎪⇒--=⎨=-⎪⎩，则121244x x k x x +=⎧⎨
⋅=-⎩……6' 又111114y x k x +=
=，12121
164
x x k k ==- 联立122
114014
y k x x k x x y =-⎧⎪⇒-=⎨=-⎪⎩，则114x k =，同理：224x k = 联立()122
1122
191180990
y k x k x k x x y =-⎧⇒+-=⎨
+-=⎩ 13211891k x k =
+，同理：2
42
21891
k x k =+……8' ()()22
1122
1
sin 429191181sin 2
MA MB AMB
S k k S MD ME DME ∠==++∠……10' 2
1
21481916919811616324
k k ⎛⎫=
+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112k =±时，取等号 所以，
12S S 的最小值为169
324
. ……12' 22.（本题满分12分）
（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ()11
1f x a x x
'=
-=- 设切点坐标()000,ln 1x x x -+，则切线方程为：()()00001ln 11y x x x x x ⎛⎫
--+=--
⎪⎝⎭
把点()0,0带入切线得：2
0x e =所以，()f x 的切线方程为：2
21e y x e
-=……4' （2）()()ln 1ax
g x x e
x ax =+--有两个不同零点，则
()()()ln ln 10ln 1ln 10ax x ax ax x
x e x ax x ax e x ax e
-+--=⇒
+--=+--=……6' 构造函数()1x
u x e x =+-，()1x
u x e '=+
()u x 为(),-∞+∞增函数，且()00u =即：ln 0x ax -=有两个不等实根11
22
ln ln ax x ax x =⎧⎨=⎩
令1122ln ln x x t x x ==，()01t <<，则12ln ln x t x =，12ln ln ln x x t =+ 122ln 2ln ln 1
t x x t t ++=-……8' 设()()2ln 011x v x x x x +=<<-，()()
22123ln 1x x v x x x x ⎡⎤+-'=-+⎢⎥-⎣⎦ 设()23ln 1x x x x
φ=-+-+，()()()212x x x x φ--'= ()x φ在()0,1递增，()10φ=，则()v x 在()0,1递减，且()10v =所以，()v x 的最小值()1v ，……10' ()()()112ln lim 2ln 31x x x x x x x =→+'=+=-所以，()v x 的最小值为3，即：m 的取值范围为(],3-∞. ……12'。