江西省景德镇市2023届高三上学期第一次质检试题数学(理)试题

江西省景德镇市2023届高三上学期第一次质检试题数学（理）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}{}2
230,ln 0A x x x B x x =--<=≤，则A B =I （ ）
A ．{11}x x -<<
B ．{11}x x -<≤
C ．{01}x x <≤
D ．{01}x x ≤<
2．已知复数z 满足()12i i 1z -+=（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）
A ．15-
B ．15
C ．1i 5-
D ．1i 5
3．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙恰好一人入选的概率为（ ）
A ．35
B ．25
C ．15
D ．
310
4．将函数()()cos 2f x x φ=+的图像向右移6
π
后关于原点中心对称，则ϕ可能的取值是（ ） A ．3
π
-
B ．6
π-
C ．6
π D ．
3
π 5．若实数x ，y 满足约束条件30230210x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．135
-
B ．3
C ．6
D ．10
6．执行如图的程序框图，输出的S 值是（ ）
A ．0
B ．12
C ．12
-
D ．
-1
7．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，它是由正方体的各条棱的中点连接形成的几何体.它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它的棱长为2，则下列说法错误的是（ ）
A ．该二十四等边体的外接球的表面积为16π
B ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E ，满足关系式2V F E +-=
C ．直线AH 与PN 的夹角为60°
D ．QH ⊥平面ABE
8．已知点F 为抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点，过点F 且倾斜角为60°的直线交抛
物线C 于A ，B 两点，若3FA FB ⋅=，则p =（ ） A ．1
2
B ．1
C ．32
D ．2
9．已知函数()1
1,041,0x x
f x x x
⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，若()()12f x f x =，则12x x -的最小值为（ ）
A ．4
B ．92
C ．
143
D ．5
10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11A D 中点，过11AC 且与1CD 平行的平面交平面1C CM 于直线l ，则直线l 与平面1BCMA 所成角的正弦值是（ ）
A
B
C
D
11．已知双曲线C ：2
2
14
y x -=的左、右顶点为P 、Q ，点D 在双曲线上且位于第一象
限，若PD QD μ=且2DQP DPQ ∠=∠，则μ=（ ） A
B
C
D
12．已知ABC V 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC V 的面积为S ，若
()223sin 2sin sin sin 2sin sin B C A A B C +=+，则
2
S
b 的值为（ ） A ．14
B ．12
C ．1
D ．2
二、填空题
13．已知()5
1ax +的展开式中，所有项的系数的和为243，则其展开式中2x 项的系数为___________.
14．已知单位向量a r ，b r
，且()
2a a b ⊥-r r r ，则a b +=r r ___________.
15．对任意实数x ，都有sin cos24a x x +≤恒成立，则a 的取值范围为____________. 16．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列且公比2q =.数列{}n a 和数列{}n b 的前n 和分别为n S 和n T ，且满足222n n T S +=，则等差数列{}n a 的通项公式为_____________.
三、解答题
17．数列{}n a 满足1123n n a a ++
=，且13
2
a =. (1)证明：数列121n n a a ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭为等比数列；
(2)求数列21n n a ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
的前n 项和n S .
18．如图，正三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是棱1AA ，
1CC 上的点，CM ∥平面BEF ，且M 是AB 的中点.
ABB A；
(1)证明：平面BEF⊥平面11
=，求平面BEF与平面BCE夹角的余弦值.
(2)若AC AE
19．某核酸检测机构为了提高核酸检测效率，对核酸检测设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：小时）数据，整理如下：
改造前：141，140，146，127，147，159，136，162，140，126，
178，134，125，139，121，178，128，138，129，142；
改造后：145，136，127，148，156，172，169，121，172，182，
181，124，147，181，140，175，156，132，115，137.
(1)完成下面的列联表，并判是否有90%以上的把握认为判断技术改造前后的连续正常运行时间有差异
(2)核酸检测机构的检测设备的运行需要进行维护，核酸检测机构对检测设备的维护费用包括正常维护费和额外维护费两种，对检测设备设定维护周期为144小时（开机运行144小时内检测一次）进行维护，检测设备在一个月内（720小时）设5个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若检测设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生额外维护费；若检测设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费
外，还产生额外维护费，经测算，正常维护费为0.56万元/次，额外维护费第一次为0.22万元/周期，此后每增加一次则额外维护费增加0.22万元.已知检测设备在技术改造后一
个周期内能连续正常运行的概率为3
，求一个月内维护费的分布列及均值.
()
()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d χ-=
++++（其中n a b c d =+++）
20．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>，长轴是短轴的2倍，点()
P 在椭圆C 上，
且P 在x 轴上的投影为点Q . (1)求椭圆C 的方程；
(2)若过点Q 且不与y 轴垂直的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，在x 轴的正半轴上是否存在点(),0T t ，使得直线TM ，TN 斜率之积为定值?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数()()2e e x
f x x =-+，()()2112
g x a x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，()()ln 1ln h x x x a =-+，
其中a 为常数，若()()()()F x f x g x h x =-+. (1)讨论()F x 的单调区间；
(2)若()F x 在()1x t t =≠取得极小值，且()()f t mh t ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为323x t
y t =+⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原
点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：4cos ρθ=-. (1)求1C 的普通方程和2C 直角坐标方程；
(2)若1C ，2C 交于A 、B 两点，点P 的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，求11PA PB +的值.
23．已知()23f x x x =-++. (1)解不等式()9f x ≥.
(2)记()f x 的最小值为m ，若a b c m ++=，求z =
的最小值.。