2019年高中三年级数学下期中试题（附答案）（2）

2019年⾼中三年级数学下期中试题（附答案）（2）
2019年⾼中三年级数学下期中试题(附答案)(2)
⼀、选择题
1．设,x y 满⾜约束条件330280440x y x y x y -+≥??
+-≤??+-≥?
，则3z x y =+的最⼤值是（）
A ．9
B ．8
C ．3
D ．4
2．⼀个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等⽐数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±
B ．3
C ．2
D ．1
3．设数列{}n a 是以2为⾸项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，则1210b b b a a a ++?+=（）
A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
4．若直线2y x =上存在点(,)x y 满⾜30,230,,x y x y x m +-≤??
--≥??≥?
则实数m 的最⼤值为
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．3
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
6．朱载堉(1536～1611)，是中国明代⼀位杰出的⾳乐家、数学家和天⽂历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“⼗⼆
平均律”．⼗⼆平均律是⽬前世界上通⽤的把⼀组⾳(⼋度)分成⼗⼆个半⾳⾳程的律制，各相邻两律之间的频率之⽐完全相等，亦称“⼗⼆等程律”．即⼀个⼋度13个⾳，相邻两个⾳之间的频率之⽐相等，且最后⼀个⾳是最初那个⾳的频率的2倍．设第三个⾳的频率为1f ，第七个⾳的频率为2f ，则2
1
f f ＝ A ．1242 B ．1116
C ．82
D ．32
7．已知锐⾓三⾓形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（）
A ．()8,10
B ．()
22,10
C ．()
22,10
D ．(
)
10,8
8．设函数
是定义在
上的单调函数，且对于任意正数
有
，已知
，若⼀个各项均为正数的数列满⾜
，其中
是数列
的前项和，则数列
中第
18项（）
A ．
B ．9
C ．18
D ．36
9．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（）
A ．16
B ．26
C ．8
D ．13
10．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等⽐数列，则{}n a 的前n 项和
n S =（）
A ．2744n n +
B ．2533n n
+
C ．2324
n n
+
D ．2n n +
11．已知x ，y 满⾜条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若⽬标函数z ＝x ＋3y 的最⼤值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
12．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最⼩值时的n 的值为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
⼆、填空题
13．已知实数
，且
，则
的最⼩值为____
14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则y
x
的最⼩值为
__________．
15．已知等⽐数列{}n a 满⾜232,1a a ==，则
12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞
+++=L ________________.
16．设122012(1)(1)(1)n n
n x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且
2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____
17．在ABC ?中，⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
7
4sin
cos 222
A B C +-=，且5,7a b c +==，则ab 为．
18．设
是定义在上恒不为零的函数，对任意
，都有
，若
，
，
，则数列
的前项和
的取值范围是__________．
19．定义在R 上的函数()f x 满⾜()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ?-+≤<=?-≥?
若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成⽴，则实数m 的最⼤值是 ____________
20．已知⽆穷等⽐数列{}n a 的各项和为4，则⾸项1a 的取值范围是__________．
三、解答题
21．已知函数f(x)＝x 2
－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝
()
f x x
(x>0)的最⼩值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成⽴，试求a 的取值范围．
22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等⽐数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．
23．ABC V 的内⾓,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的⾯积2
1tan 6
S b A = (1)证明: 3 b ccos A =;
(2)若1,c a ==
求S .
24．已知,,a b c 分别是ABC △的⾓,,A B C 所对的边，且2
2
2,4c a b ab =+-=．（1）求⾓C ；
（2）若2
2
sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的⾯积． 25．已知数列{}n a 的⾸项123a =
，且当2n ≥时，满⾜12313
12
n n a a a a a -++++=-L ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2
n n n
b a =
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 26．已知在等⽐数列{a n }中，2a ＝2，，45a a ＝128，数列{b n }满⾜b 1＝1，b 2＝2，且{1
2
n n b a +
}为等差数列．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项和
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⼀、选择题 1．A 解析：A 【解析】
绘制不等式组表⽰的平⾯区域如图所⽰，结合⽬标函数的⼏何意义可知⽬标还是在点
()3,2C 处取得最⼤值，其最⼤值为max 33329z x y =+=+?=.
本题选择A 选项.
2．C
解析：C 【解析】【分析】【详解】
解：∵234,,1a a a +成等⽐数列，∴
，
∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ，∴，
即
，
⼜数列{}n a 前三项的和，
∴
，即
，
即d ＝2或d ＝?2（舍去），则公差d ＝2．故选：C ．
3．A
解析：A 【解析】【分析】【详解】
⾸先根据数列{a n }是以2为⾸项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，求出等差数列和等⽐数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进⾏求和．
解：∵数列{a n }是以2为⾸项，1为公差的等差数列，∴a n =2+（n-1）×
1=n+1，∵{b n }是以1为⾸项，2为公⽐的等⽐数列，∴b n =1×
2n-1，依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033，故选A ．
4．B
解析：B 【解析】【分析】
⾸先画出可⾏域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最⼤值. 【详解】
不等式组表⽰的平⾯区域如下图所⽰，
由2230y x x y =??--=?，得：1
2x y =-??=-?，
即C 点坐标为（－1，－2），
平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平⾯区域内，所以，m ≤－1，即实数m 的最⼤值为－1.
【点睛】
本题主要考查线性规划及其应⽤，属于中等题.
5．B
解析：B 【解析】【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等⽐数列，确定出该数列的公⽐，利⽤等⽐数列的通项公式可求出5a 的值.
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列，则4
51216a =?=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利⽤n S 来求通项n a ，⼀般利⽤公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?，同时也要注意等差数
列和等⽐数列定义的应⽤，考查运算求解能⼒，属于中等题.
6．D
解析：D 【解析】【分析】
：先设第⼀个⾳的频率为a ，设相邻两个⾳之间的频率之⽐为q ，得出通项公式，根据最后⼀个⾳是最初那个⾳的频率的2倍，得出公⽐，最后计算第三个⾳的频率与第七个⾳的频率的⽐值。

【详解】
：设第⼀个⾳的频率为a ，设相邻两个⾳之间的频率之⽐为q ，那么1
q n n a a -=，根据最
后⼀个⾳是最初那个⾳的频率的2倍，112
12
2q q 2a a a ==?=
，所以
47
213
q a f f a ===D 【点睛】
：本题考查了等⽐数列的基本应⽤，从题⽬中后⼀项与前⼀项之⽐为⼀个常数，抽象出等⽐数列。

7．B
解析：B 【解析】【分析】
根据⼤边对⼤⾓定理知边长为1所对的⾓不是最⼤⾓，只需对其他两条边所对的利⽤余弦定理，即这两⾓的余弦值为正，可求出a 的取值范围．【详解】
由题意知，边长为1所对的⾓不是最⼤⾓，则边长为3或a 所对的⾓为最⼤⾓，只需这两个
⾓为锐⾓即可，则这两个⾓的余弦值为正数，于此得到222
222
1313a a ?+>?+>?
，由于0a >
，解得a <
本题考查余弦定理的应⽤，在考查三⾓形是锐⾓三⾓形、直⾓三⾓形还是钝⾓三⾓形，⼀般由最⼤⾓来决定，并利⽤余弦定理结合余弦值的符号来进⾏转化，其关系如下：
A 为锐⾓cos 0A ?>；A 为直⾓cos 0A ?=；A 为钝⾓cos 0A ?<. 8．C 解析：C 【解析】
∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=
a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0
∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以
故选C
9．D
解析：D 【解析】【详解】
试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，
∴1134101313()13()
1322
a a a a S ++=
==，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.
10．A
解析：A 【解析】【分析】【详解】设公差为d 则
，故选A.
11．B
解析：B 【解析】
【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－
13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所⽰，
因为⽬标函数z ＝x ＋3y 的最⼤值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代⼊直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
12．C
解析：C 【解析】
因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以611611115
0,0,,2
a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2
n d
S n =
--，所以当8n =时前n 项和取最⼩值.故选C. ⼆、填空题
13．3+54【解析】【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代⼊代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代⼊代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分⼦分母中同时除以t 利⽤基本不等解析：
【解析】【分析】
由a +b ＝2得出b ＝2﹣a ，代⼊代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜3，再代⼊代数式化简后得出，然后在分式分⼦分母中同时除以t ，利⽤基本不
等式即可求出该代数式的最⼩值．【详解】
解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2，所以，
，
令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1，所以，
．当且仅当，即当时，等号成⽴．因此，的最⼩值为
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利⽤基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进⾏化简变形，考查计算能⼒，属于中等题．
14．【解析】【分析】根据两个向量平⾏的充要条件写出向量的坐标之间的关系之后得出利⽤基本不等式求得其最⼩值得到
结果【详解】∵其中且与共线∴即∴当且仅当即时取等号∴的最⼩值为【点睛】该题考查的是有关向量共线解析：2【解析】【分析】
根据两个向量平⾏的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出2
y x x x
=+，利⽤基本不等式求得其最⼩值，得到结果. 【详解】
∵()1,a x =r ， (),2b x y =-r ，其中0x >，且a r 与b r
共线
∴()12y x x ?-=?，即2
2y x =+
∴222
22y x x x x x
+==+≥，当且仅当2x x =即2x =时取等号
∴
y
x
的最⼩值为22 【点睛】
该题考查的是有关向量共线的条件，涉及到的知识点有向量共线坐标所满⾜的条件，利⽤基本不等式求最值，属于简单题⽬.
15．【解析】【分析】求出数列的公⽐并得出等⽐数列的公⽐与⾸项然后利⽤等⽐数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是⾸项
为公⽐为的等⽐数列故答案为【点睛】本题考查等⽐数列基本量的计算同时解析：
323
【解析】【分析】
求出数列{}n a 的公⽐，并得出等⽐数列{}1n n a a +的公⽐与⾸项，然后利⽤等⽐数列求和公式求出12231n n a a a a a a
++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】由已知321
2a q a =
=，23112()()22
n n n a --=?=，3225211111
()()()2()2224
n n n n n n a a ----+=?==?，所以数列{}1n n a a +是⾸项为128a a =，公
⽐为1
'4
q =
的等⽐数列， 11223118[(1()]
3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，
1223132132
lim ()lim [1()]343
n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=
L . 故答案为323
. 【点睛】
本题考查等⽐数列基本量的计算，同时也考查了利⽤定义判定等⽐数列、等⽐数列求和以及数列极限的计算，考查推理能⼒与计算能⼒，属于中等题.
16．9【解析】【分析】记函数利⽤等⽐数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常⽤赋值法整体代⼊求解体现出转化与化归思想
解析：9 【解析】【分析】
记函数122012()(1)(1)(1)n n
n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，
012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利⽤等⽐数列求和公式即可求解.
【详解】
由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n
n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，
02
1222(12)
(21)212
n n
n f a a a a -=++++++=
-=+L L ，
即1221022n +-=，121024,9n n +== 故答案为：9 【点睛】
此题考查多项式系数之和问题，常⽤赋值法整体代⼊求解，体现出转化与化归思想.
17．6【解析】试题分析：即解得所以在中考点：1诱导公式余弦⼆倍⾓公式；2余弦定理
解析：6 【解析】试题分析：2
74sin
cos 222A B C +-=Q ，27
4sin cos 222
C C π-∴-=，2
74cos cos 222C C ∴-=，()7
2cos 1cos 22
C C ∴+-=，24cos 4cos 10C C ∴-+=，即()2
2cos 11C -=，解得1
cos 2
C =．所以在ABC ?中60C =o ．
2222cos c a b ab C =+-Q ，()2
222cos60c a b ab ab ∴=+--o
，
()2
2
3c
a b ab ∴=+-，(
)2
2
257
633
a b c ab +--∴==
=．
考点：1诱导公式，余弦⼆倍⾓公式；2余弦定理．
18．121)【解析】试题分析：由题意对任意实数xy ∈R 都有f(x)f(y)=f(x+y)则令x=ny=1可得f(n)f(1)=f(n+1)即
f(n+1)an+1an=f(n+1)f(n)=12即数列{a 解析：
【解析】
试题分析：由题意，对任意实数
，都有
，则令
可得，即，即数列是以
为⾸项，
以为公⽐的等⽐数列，故
考点：抽象函数及其应⽤，等⽐数列的通项及其性质
19．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数⼜所以函数为偶函数因此不等式恒成⽴等价于不等式
解析：1
3
-
【解析】【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,x
x x f x x ?-+≤<=?-≥?
为单调递减函数，⼜()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成⽴，等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成⽴，即1x x m -≥+，平⽅化简得()2211m x m +≤-，
当10m +=时，x R ∈；当10m +>时，12
对[],1x m m ∈+恒成⽴，111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-；当10m +<时，12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成⽴，11
23
m m m -≥
∴≥（舍）；综上113
m -≤≤-，因此实数m 的最⼤值是1
3
-. 【点睛】
解函数不等式：⾸先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
20．【解析】【分析】由⽆穷等⽐数列的各项和为4得且从⽽可得的范围【详解】由题意可得且且故答案为【点睛】本题主要考查了等⽐数列的前n 项和⽽⽆穷等⽐数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题解析：(0,4)(4,8)?
【解析】【分析】
由⽆穷等⽐数列{}n a 的各项和为4得,1
41a q
=-,，||1q <且0q ≠,从⽽可得1a 的范围. 【详解】由题意可得,1
4,||11a q q
=<- ，且0q ≠
14(1)a q =-
108a ∴<<且14a ≠
故答案为(0,4)(4,8)? 【点睛】
本题主要考查了等⽐数列的前n 项和,⽽⽆穷等⽐数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.
三、解答题
21．（1）2-；（2）3,4??+∞
【解析】【分析】
（1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据⼆次函数图像确定满⾜条件的不等式，解不等式得结果. 【详解】
(1)依题意得y=()f x x =2-41x x x +=x+1
x -4. 因为x>0,所以x+
1x ≥2.当且仅当x=1
x
f x x
的最⼩值为-2.
(2)因为f(x)-a=x 2-2ax-1,
所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a 成⽴”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]恒成⽴”.
不妨设g(x)=x 2-2ax-1,
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成⽴即可.
所以(0)0,(2)0,g g ≤??≤? 即0-0-10,4-4-10,a ≤??≤?
解得a≥
34,则a 的取值范围为3,4∞??
+
. 【点睛】
在利⽤基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满⾜基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另⼀边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应⽤，否则会出现错误.
22．（1）21n a n =-；（2）2
31
2
n n -+
【解析】【分析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，运⽤通项公式，可得
3,2q d ==，进⽽得到所求通项公式；
（2）由（1）求得1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运⽤等差数列和等⽐数列的求和公式，即
可得到数列{}n c 和．【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，因为233,9b b ==，可得3
2
3b q b =
=，所以2212333n n n n b b q ---==?=，⼜由111441,27a b a b ====，所以141
2141
a a d -=
=-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-?=+-=-．
（2）由题意知1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，
则数列{}n c 的前n 项和为
1
n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+
-L L ．【点睛】
本题主要考查了等差数列和等⽐数列的通项公式和求和公式的运⽤，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等⽐数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能⼒，属于基础题．
23．(1)证明解析,(2)2
【解析】【分析】
（1）由正弦定理⾯积公式得：211sin tan 26S bc A b A ==，再将sin tan cos A A A
=代⼊即可.
（2）因为1c =，a =
3b cosA =.代⼊余弦定理2222cos a b c bc A =+-得
22
cos 3A =
，cos 3
A =tan 2A ?=，b =?16622S =??=. 【详解】
（1）由211
sin tan 26
S bc A b A ==，得3sin tan c A b A = 因为sin tan cos A A A =
，所以sin 3sin cos b A
c A A
=，⼜0A π<<，所以sin 0A ≠，因此3cos b c A =.
（2）由（1）得3b ccosA =.
因为1c =，a =
3b cosA =.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：
2229cos 16cos A A =+-,解得：2
2cos 3
因为3b cosA =，所以cos 0A >，cos 3
A =
.
tan 2
A ?=
，b .
211tan 666S b A ==?=
【点睛】
本题第⼀问主要考查正弦定理中的⾯积公式和边⾓互化，第⼆问考查了余弦定理的公式应⽤，属于中档题.
24．（1）3
C π
=（2 【解析】
试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三⾓形内⾓范围求⾓C ；（2）由正弦定理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代⼈解得
3
a =
，3b =，2c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直⾓三⾓形⾯积公式得
ABC V 的⾯积．
试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221
222
a b ab ab ab +-==，
⼜()0,C π∈，所以3
C π
=
．
sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-，得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=，得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，
再由正弦定理得2
2
2
4cos b c a ac A +-=，所以222
cos 4b c a A ac
+-=．①
⼜由余弦定理，得222
cos 2b c a A bc
+-=，②
由①②，得222222
42b c a b c a bc bc
+-+-=
，得42ac bc =，得2a b =，
联⽴2242a b ab b a ?+-=?=?
，得a =，b =
所以222b a c =+．所以2
B π
=
．
所以ABC V
的⾯积1122233
S ac ==?=
． 25．（1）23n n a =（2）3231443
n
n n T +=-? 【解析】【分析】
（1）由题可得12313
12n n a a a a a +++++=-
L ,与已知作差可得13322
n n a a +=,进⽽利⽤等⽐数列的通项公式求解即可；（2）由（1）可得23 n n n n n
b a =?=,利⽤错位相减法求和即可. 【详解】
解:（1）当2n ≥时,由12313
12
n n a a a a a -++++=-L , 则12313
12
n n a a a a a +++++=-L , 两式相减得133
22
n n n a a a +-=-
+, 即
113
22n n a a +=, ∴11
3
n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-
,得22
9
a =, ∴
211
3
a a =, 综上,对任意1n ≥,11
3
n n a a +=, ∴{}n a 是以2
3为⾸项,13
为公⽐的等⽐数列, ∴23n n
a =
. （2）由（1）23
n n n n n b a =?=, ∴231111
233333
n n T n =
+?+?++?L , 2311111112(1)33333
n n n T n n +=?+?++-?+?L ,
∴
231211111333333n n x T n +=++++-?L 1111233
n n +??=
--
, 则3231443n n n T +=
-? 【点睛】
本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等⽐数列通项公式的应⽤,考查利⽤错位相消求解数列前n 项和. 26．（1）1
232;2,122n n n n a b n n --==
-?（＝，，）；（2）213312442
n n T n n -=+-+. 【解析】【分析】
(1)根据等⽐数列的性质得到7a ＝64，2a ＝2，进⽽求出公⽐，得到数列{a n }的通项，再由等差数列的公式得到结果；（2）根据第⼀问得到通项，分组求和即可. 【详解】
（1）设等⽐数列{a n }的公⽐为q ．
由等⽐数列的性质得a 4a 5＝27a a ＝128，⼜2a ＝2，所以7a ＝64．
所以公⽐2q =
==．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 2q n －2＝2×2n －2＝2n －1．设等差数列{1
2n n b a +
}的公差为d ．由题意得，公差221111113221122222
d b a b a =+-+=+?-+?= ? ? ? ??
，所以等差数列{1
2
n n b a +
}的通项公式为()()11113331122222n n b a b a n d n n ?
+=++-=+-=
．
所以数列{b n }的通项公式为1231313
2222222
n n n n b n a n n --=-=-?=-（n ＝1，2，…）．（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ．
由（1）知，23
22
n n b n -=-（n ＝1，2，…）．记数列{
3
2
n n A n n ??+ ==+，()
111212
2122n
n B --==--．所以数列{b n }的前n 项和为()1213133112242442
n n n T A B n n n n --=-=+-+=+-+．【点睛】
这个题⽬考查了数列的通项公式的求法，以及数列求和的应⽤，常见的数列求和的⽅法有：分组求和，错位相减求和，倒序相加等.。