2017高考黄金100题解读与扩展之解三角形：专题5 正余弦定理在实际中的应用 含解析

I ．题源探究·黄金母题 【例1】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上。

行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°,求此山的高CD 。

【解析】在△ABC 中，︒=∠15A ，︒=︒-︒=∠101525C ,根据正弦定理C AB A BC sin sin =得,C A AB BC sin sin ==︒︒10sin 15sin 5≈7。

524（km),
∴DBC BC CD ∠=sin =︒8sin BC ≈1047（m)。

答：山的高约为1047米。

精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修5第14页例5．
【母题评析】本题考查正弦定理在测量的高问题中的应用，是一道典型的正余弦定理应用题．
【思路方法】先根据图形
和已知条件得到∠A,∠B,
∠DBC 的度数和AB 的长
度，再利用正弦定理求出BC 的长度，
利用解直角三角形BCD 即可求出山高
CD ． 【变式】 一架飞机在海拔8000m 的高度飞行，在高空测出前
下方海岛两侧海岸俯角分
别是27°和39°，计算这
个海岛的宽度。

（人教版A
版必修5第19页习题A
组第4题)
II．考场精彩·真题回放
【例2】【2015年高考湖北理科数学第13题】如图,一辆
汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公
路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到
达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此
山的高度CD=m。

【解析】依题意， 30
=
∠ABC,在ABC
∠BAC,
105
=
∆中，由
∠ACB
+
BAC
ABC，
∠
180
=
+
∠
所以 45=∠ACB ,因为600=AB ,由正弦定理可得 30sin 45sin 600BC =，即2300=BC m ，
在BCD Rt ∆中，因为 30=∠CBD ,2300=BC , 所以230030tan CD BC CD == ,所以6100=CD m.
【例3】【2014全国课标1,16】如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点。

从A 点测得
M 点的仰角60MAN ∠=︒，
C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m 。

【例4】【2014高考四川卷文第8题】如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，
此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）
A ．240(31)m -
B ．180(21)m -
C ．120(31)m -
D ．30(31)m +
【答案】 C.
【解析】120AC =，60sin 75AB =
，sin 30sin 45AB BC =， 所以sin 45
602120(31)sin30sin(3045)AB BC ⨯===-+.选C
【例5】【2009全国课标17】如图，为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量,已知50AB m =，120BC m =，于A 处测得水深80AD m =，于B 处测得水深200BE m =，于C 处测得水深110CF m =，求∠DEF 的余弦值。

【例6】【2014高考上海理科第21题】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为
顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，
从A 和B 看D 的仰角分别为βα和。

（1）设计中CD 是铅垂方向,若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）?
（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得
，
， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0。

01米）？
【答案】(1）28.28CD ≈米；（2）26.93CD ≈米．
【解析】(1)由题得，∵2αβ≥，且022
πβα<≤<，tan tan 2αβ∴≥ 即2403516400CD
CD CD ≥-,解得，202CD ≤28.28CD ≈米
【命题意图】本题主要考查利用正余弦定理解决实际问题的能力、空间想象能力及计算能力．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏上，考查正余弦定理的理解与应用，考查空间想象能力、运算求解能力和应用意识．
【难点中心】解答此类问题的关键是读懂题意，根据题意画出图形，将实际问题转化为数学问题．
III．理论基础·解题原理
考点一仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a)）．
考点二方位角
从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图（b）)．
考点三方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南）偏东(西)××度．
IV．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般难度中档，考查对正余弦定理的理解和应用正余弦定理解决实际问题的能力，考查考生计算能力和应用意识．
【技能方法】
1.解三角形应用题的一般步骤
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形
问题的模型．
(3）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
2.解三角形应用题的两种情形
(1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程（组），解方程（组)得出所要求的解．
【易错指导】
1。

对应用正于弦定理解决测量高度问题，要准确理解仰、俯角的概念,准确把握仰角、俯角与三角形内角的关系．
2。

对水平面的测距问题，要准确理解方位角与方向角的概念，准确把握方位角与方向角与三角形内角间的关
系．
V．举一反三·触类旁通
考向1 距离测量问题
【例7】【2016届江西吉安一中高三三模】如图,为了测量A、C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，
测出四边形ABCD各边的长度（单位：km），5=
BC，
AB，8= CD，5=
DA,且B∠与D∠互补，则AC的长为km。

=
3
【答案】7
【方法总结】对与距离测量问题，根据题意画出图形，标出图中已知边和角及所求量,分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中,通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系,然后在书写解题过程,要注意方位角、方向角与图形内角的关系。

【跟踪练习】【2015—2016学年安徽省合肥中国科大附
中高一下期中】隔河可以看到对岸两目标A、B,但不能
到达,现在岸边取相距3km的C、D两点，测得75
∠=，
ACB
∠=,45
∠=(A、B、C、D在同一平面内），
ADB
ADC
45
BCD
∠=，30
求两目标A、B间的距离.
考向2 高度测量问题
【例8】【2016届海南师大附中高三第九次月考】已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30︒,俯角为30︒的B
处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60︒，俯角为60︒的
C 处．小船沿
BC 行驶一段时间后，船到达海岛的正西
方向的D 处，此时船距岛A 有 千米. 【
解
析
】
由
已
知
可
求得
10
10cos ,10103sin 33033,3=∠=∠⇒==
=ACB ACB BC AC AB ，,所以
10
10
cos ,10103sin -
=∠=
∠ACD ACD ,在ACD ∆中, 20
10
303cos sin cos sin sin -=
∠∠+∠∠=∠ACD DAC DAC ACD ADC ,由正弦
定理可求得
13
3
9sin sin -=
∠∠=
ADC ACD AC AD 。

【方法总结】对与高度测量问题，根据题意画出空间图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量,逐步建立与已知的联系，然后在书写解题过程,要注意仰角、俯角与图形内角的关系
【跟踪练习】【2016届湖北武汉华中师大一附高三5月月考】为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型"气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示，,,A B C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点
,A B 两地相距100米,60
BAC ∠=,在A 地听到弹射声音的时间
比B 地晚217
秒，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为
030。

（1）求,A C 两地的距离；
（2)求这种仪器的垂直弹射高度HC （已知声音的传播速度为340米/秒）.
（Ⅱ)在ACH ∆中，420AC =米，30,903060HAC AHC ∠=︒∠=︒-︒=︒
由正弦定理，可得sin sin AC HC AHC HAC =∠∠,即420sin60sin30HC
=
︒︒
所以1
42021403
3
2
HC ⨯=
=(米），故这种仪器的垂直弹射高度为
1403
米．
考向3 航行问题
【例9】【2015-2016学年四川省双流中学高一下期中】如图，某观测站在港口A 的南偏西
40方向的C 处,测得一
船在距观测站31海里的B 处，正沿着从港口出发的一条南偏东
20的航线上向港口A 开去，当船走了20海里到达
D 处,此时观测站又测得CD 等于21海里，问此时船离港口
A 处还有多远？
【方法总结】对与航行问题,根据题意画出图形,标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线,根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系，然后在书写解题过程，要注意方位角、方向角与图形内角的关系.
【跟踪练习】【2016届湖南师大附中高三下学期高考模拟三】如图,位于A处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在A处南偏西30°且相距20海里的C处有一艘救援船,该船接到观测站通告后立即前往B处求助，则∠=（）
sin ACB
A ．
217
B ．
2114
C ．3
2114
D ．
2128
【答案】A
考向4 最优化问题
【例10】【2015—2016学年河北省正定中学高一下第一次月考】甲船在岛B 的正南A 处,km AB 10=，甲船以4/km h 的速度向正北航行，同时乙船自岛B 出发以6/km h 的速度向北偏东︒60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是（ ）
A 。

min 7
150 B.h 7
15 C.min 5.21
D 。

h 15.2 【答案】A
【解析】根题意可作出如下所示的示意图，设两船航行
t 小时后，甲船位于C 点，乙船位于D 点，如下图.
则104,6,120BC t BD t CBD =-=∠=，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得
()()2
222222cos 1043661042820100
CD BC BD BC BD CBD t t t t t t =+-⋅∠=-+--=-+，所以当
5
14
t =
时,2CD 取得最小值，即两船间的距离最近,所以它们的航行时间是min 7
150，故选A 。

【方法总结】对正余弦定理应用中的最值问题，根据题意画出图形，标出图中已知边和角及所求量，分析已知与未知间关系，若不在一个三角形中，通过作辅助线，根据未知量确定需要计算的量，逐步建立与已知的联系,然后根据分析将所求的量表示为某个量如角或时间的函数关系式，再利用函数求最值的方法求出最值。

【跟踪练习】【2015-2016学年江苏省泰州、靖江中学高一下期中】某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘
正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。

假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小）,使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
（2)
设小艇与轮船在B处相遇.
则()
22200
=+-⋅⋅⋅-，
40090022030cos9030
v t t t
故2
2600400
900v
t t
=-
+ ∵030v <≤，
∴2
600400900900t
t -+≤，即2
230t t
-≤,解得23
t ≥
又23
t =时,30v =，
故30v =时，t 取得最小值，且最小值等于23
此时,在OAB ∆中,有20OA OB AB ===, 故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.。