北师大版高中数学必修第一册 第三章 1-《指数幂的拓展》课件PPT
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一种写法.
2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
3.0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.
2
1
4.这里的 是既约分数,即, 互素,否则式子可能会有歧义.例如(-8)6 与(-8)3 意义就不同,前者是一个正数,后
者是一个负数.
即时巩固
1.用根式表示下列各式:
(1)已知5
第三章
§1-2
指数幂的拓展
指数幂的运算性质
学习目标
1.通过对有理指数幂 ( > 0, 且 ≠ 1, , 为整数, 且 > 0)、实数指数幂( > 0, 且 ≠ 1, ∈ )
含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.
“整体法”求值时常用的变形公式如下:
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
(1) ± 2 + =( ± ) ;
1
2
1
2
(2) − =( + )( − );
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(3) + =( + )(- + );
1
2
1
2
(4) − =( − )( + + ).(其中 > 0, > 0)
8
−1
-
81-0.25+
3
38
−13 −1
2
1
3
-10×0.027 .
反思感悟
1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式
中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同
时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
25
9
−0.010.5;(2)
7 0.5
29
+0.1-2+
10
2 27
−23
1
×
1
4 2
9
+ 0.12 +
1
−
64
27
1 2
1
=1+
100
6
−23
37
1
16
9
10
3
2
37
-3+48 = 3+100+16-3+48=100.
1
1
1
(3)原式=0.4-1-1+2-4+2-3+0.1= 4 -1+16 + 8 + 10 =
1
2
1
−
−
−
解 (1)将 + 2 = 5的两边平方,得 + 1 + 2 = 5,即 + 1 = 3.
1
2
(2)由 +
−1
= 3,两边平方,得2 +
(3)设 = 2 −
−2
,两边平方,得2
所以 = ±3 5,即2 −
−2
−2
= 4 +
= ±3 5.
当1 ≤ < 3时,原式= ( − 1) − ( + 3) = −4.
−2−2,−3 < < 1,
−4,1 ≤ < 3.
∴原式= ቊ
反思感悟
(1)化简 时,首先明确根指数是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简( )时,关键是明确
是否有意义,只要 有意义,则( ) = .
1
A.8
B.8
C.
3
4
4
3
D.2 2
2
1
3
1
1
1
−
解析 由 3 = 4,得 3 2 = 4,∴ 2 = 4,∴ 2 = 64,∴ = 8( > 0).
二、根式的化简(求值)
例2
求下列各式的值:
5
6
(1)( a−b)5+( −)6( > );(2) 2 −2 + 1 − 2 + 6 + 9(-3< <3).
+
1
2)3
+
2
+
3
3
1
2)3
1
3=
1
+
3
3
1
3
1
1
1
+
1
3
1 1
1
3
1
3
=
3
1
3
1
+ + 3= 3,
= + + .
1
+ +
1
1
3
= .
反思感悟
1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数,然后以为媒介化简,这样使问题容易
= 5;(−2)3 = (−1)3 · (2)3 = −6 ≠ (−3)2;当 − 1 ≠ 0时,( −
1)0 = 1;(−2)5 = (−1)5 · 10 = −10,所以正确选项为D.
典例剖析
一、利用分数指数幂的定义求值
2
−
例1 如果 =(2) ( > 0),则 =(
10
(4)原式= 3 -(3×1)-1- 3−1 +
− 3×
− 10 = 15.
5
1
−1 −2
143
.
80
10
1
37
-3π0+48;
1
4
1
7 0
10 000 4
−
3
0
.
75
3 +16
2 ;(4)
+(2
)
+|-0
.
01|
8
81
1
(1)原式=1+4
1
2
−12
-10×0.3= 3 − 3-1-3=-1.
7 0
÷
=
−
,
=
.
2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行计算.
即时巩固
下列运算中正确的是( D )
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
解析 2 · 3 = 2
+3
C.( -1)0=1
D.(-2)5=−10
3
跟踪训练 计算: 3 8
解 原式=
=
3
2
−2
27
8
7
3
−23
+ −
1
5
+
−23
49
9
−2
1
2
+
−
2
4 0.5
−
59
-(0.008) 3
8
1 000
÷5 2 ×
2 2
5
−23
1
2
÷50 ×
4
7
÷
2 2
5
1
50
=
−12
×
3 3
2
= 9 + 3 − 25÷5 2 ×
2 2
.
5
−23
2 2
5
1
+
4
7 2 2
1
∴
1
2 − 2
1
1
2 + 2
1
=
1
1
( 2 − 2 ) 2
1
1
1
1
( 2 + 2 )( 2 − 2 )
=
(+)−2()2
−
1
=
12−2×92
−6 3
=−
3
.
3
五、用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例5
分析
已知3
=
3
=
1
3,且
1
+ +
1
2+
=1.求证:(
−2
= 7.
− 2 = (2 +
−2 2
)
+ 2 = 9,即2 +
−4
− 4 = 72 − 4 = 45.
反思感悟
解决条件求值问题的一般方法——整体法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将
所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用
运算与初中所学的指数运算有什么差异呢?
一、指数幂的拓展
1.正分数指数幂
给定正数和正整数, ( > 1, 且, 互素),若存在唯一的正数,使得 = ,则称为的 次幂,记作 =
,这就是正分数指数幂.
有时,也把 写成 ( > 0, , ∈ +, > 1)的形式.
3
7
−
7
= 9 + 3 − 2 = 9.
2 3
10
−23
1
2
1
2
÷(25 × 2 )×
2 2
5
四、条件求值
1
−
例4 已知 + 2 = 5( > 0),求下列各式的值:(1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2.
1
2
1
−
分析 解答本题可从整体上寻求各式与条件 + 2 = 5的联系,进而整体代入求值.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定
中的正负,再结合的奇偶性给出正确结果.
跟踪训练 (1)该例中的(2),若 < −3呢?
(2)该例中的(2),若 > 3呢?
解 由例题解析可知原式可化为| − 1| − | + 3|.
(1)若 < −3,则 − 1 < 0, + 3 < 0,
核心素养：数学抽象、数学运算
新知学习
情景引入
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t(年)满足关系式
S=S0·1.057t,其中S0(单位:hm2)为侵害面积的初始值.
如果求10年后侵害的面积,则S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数
1
A.2 2
1
B.2
C.
1
2 2
)
D.
1
2
2
1
1
−
解析 由 = (2) ,则 = (2) − 2 = 4 2,2 = 4 ,得 =
1
2
( > 0).
答案 D
反思感悟
解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与根式的对应关系,转化求解.
2
−
跟踪训练 已知 > 0, 3 = 4,则等于( A )
1
1
2 − 2
跟踪训练 已知 + = 12, = 9,且 < ,求
1
1
2
+ 2
的值.
解 ∵ + = 12, = 9,
∴ ( − )2 = ( + )2 − 4 = 122 − 4 × 9 = 108.
∵ < ,∴ − = −6 3.
70w,∴
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 70 ≠ 1.同理 =70 , =70 .
1
1
1
1
1 1 1
+ +
∴ · · =70 ·70 ·70 ,即() =70
1
1
.
1
又 = + + ,∴ = 70. ∵a,b,c为正整数,且ax=by=cz≠1,
=2 020,则 =
5
2 020 ; (2)已知4 = 2 020,则 = ± 4 2 020
2.已知7 = 5,用指数幂的形式表示 =
1
57
.
.
思考
( )与 的含义一样吗?其化简结果是什么?
( )表示对于实数先求次方根,再对其进行次方运算,当为任意正整数时,都有( ) = .
分析 (1)首先利用根式的性质直接化简两个根式,然后进行运算;(2)首先将被开方数化为完全平方式,
然后开方化为绝对值的形式,根据x的取值范围去掉根号即可.
解 (1)原式= − + − = 0.
(2)原式= (−1)2 − ( + 3)2 = | − 1| − | + 3|.
∵ −3 < < 3,∴当−3 < < 1时,原式= −( − 1) − ( + 3) = −2 − 2;
2
1
3
1
3
1
3
= + + .
看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.
证明 令pa3=qb3=rc3=k,
则pa2=,qb2=,rc2= ,p=3,q=3,r= 3.
∴所证等式左边= + +
1
所证等式右边=
∴(2
2.负分数指数幂
−
给定正数和正整数, ( > 1, 且, 互素),定义 =
1
=
1
.
3.无理数指数幂
1
一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,aα都是一个确定的实数.自然地规定a-α= aα .
这样指数幂中指数的范围就扩展到了全体实数.
名师点析
1.有了分数指数幂的定义,就把指数幂拓展到了有理指数幂.分类指数幂 不可理解为 个相乘,它是根式的
∴a,b,c均不为1.∴1<a≤b≤c.又70=2×5×7,∴a=2,b=5,c=7
随堂小测
3
1.计算 (2−π)3 + (3−π)2 的值为(
A.5
B.-1
3
解析
B
D.5-2π
C.2π-5
)
(2−π)3 + (3−π)2 = 2 − π + π − 3 = −1.故选B.
2.下列各式正确的是( D )
A.
1
7
7
= m7
2.正数的负分数指数幂总表示正数,而不是负数.
3.0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂没有意义.
2
1
4.这里的 是既约分数,即, 互素,否则式子可能会有歧义.例如(-8)6 与(-8)3 意义就不同,前者是一个正数,后
者是一个负数.
即时巩固
1.用根式表示下列各式:
(1)已知5
第三章
§1-2
指数幂的拓展
指数幂的运算性质
学习目标
1.通过对有理指数幂 ( > 0, 且 ≠ 1, , 为整数, 且 > 0)、实数指数幂( > 0, 且 ≠ 1, ∈ )
含义的认识,了解指数幂的拓展过程.
2.理解根式运算与指数运算的内在联系.
3.掌握指数幂的运算性质,能正确进行有理数指数幂的运算.
“整体法”求值时常用的变形公式如下:
1
2
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
(1) ± 2 + =( ± ) ;
1
2
1
2
(2) − =( + )( − );
3
2
3
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(3) + =( + )(- + );
1
2
1
2
(4) − =( − )( + + ).(其中 > 0, > 0)
8
−1
-
81-0.25+
3
38
−13 −1
2
1
3
-10×0.027 .
反思感悟
1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式
中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同
时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.
25
9
−0.010.5;(2)
7 0.5
29
+0.1-2+
10
2 27
−23
1
×
1
4 2
9
+ 0.12 +
1
−
64
27
1 2
1
=1+
100
6
−23
37
1
16
9
10
3
2
37
-3+48 = 3+100+16-3+48=100.
1
1
1
(3)原式=0.4-1-1+2-4+2-3+0.1= 4 -1+16 + 8 + 10 =
1
2
1
−
−
−
解 (1)将 + 2 = 5的两边平方,得 + 1 + 2 = 5,即 + 1 = 3.
1
2
(2)由 +
−1
= 3,两边平方,得2 +
(3)设 = 2 −
−2
,两边平方,得2
所以 = ±3 5,即2 −
−2
−2
= 4 +
= ±3 5.
当1 ≤ < 3时,原式= ( − 1) − ( + 3) = −4.
−2−2,−3 < < 1,
−4,1 ≤ < 3.
∴原式= ቊ
反思感悟
(1)化简 时,首先明确根指数是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简( )时,关键是明确
是否有意义,只要 有意义,则( ) = .
1
A.8
B.8
C.
3
4
4
3
D.2 2
2
1
3
1
1
1
−
解析 由 3 = 4,得 3 2 = 4,∴ 2 = 4,∴ 2 = 64,∴ = 8( > 0).
二、根式的化简(求值)
例2
求下列各式的值:
5
6
(1)( a−b)5+( −)6( > );(2) 2 −2 + 1 − 2 + 6 + 9(-3< <3).
+
1
2)3
+
2
+
3
3
1
2)3
1
3=
1
+
3
3
1
3
1
1
1
+
1
3
1 1
1
3
1
3
=
3
1
3
1
+ + 3= 3,
= + + .
1
+ +
1
1
3
= .
反思感悟
1.对于“连等式”,常用换元法处理.如本例,我们可令它等于一个常数,然后以为媒介化简,这样使问题容易
= 5;(−2)3 = (−1)3 · (2)3 = −6 ≠ (−3)2;当 − 1 ≠ 0时,( −
1)0 = 1;(−2)5 = (−1)5 · 10 = −10,所以正确选项为D.
典例剖析
一、利用分数指数幂的定义求值
2
−
例1 如果 =(2) ( > 0),则 =(
10
(4)原式= 3 -(3×1)-1- 3−1 +
− 3×
− 10 = 15.
5
1
−1 −2
143
.
80
10
1
37
-3π0+48;
1
4
1
7 0
10 000 4
−
3
0
.
75
3 +16
2 ;(4)
+(2
)
+|-0
.
01|
8
81
1
(1)原式=1+4
1
2
−12
-10×0.3= 3 − 3-1-3=-1.
7 0
÷
=
−
,
=
.
2.在幂和根式的化简运算中,一般将根式化为分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行计算.
即时巩固
下列运算中正确的是( D )
A.a2·a3=a6
B.(-a2)3=(-a3)2
解析 2 · 3 = 2
+3
C.( -1)0=1
D.(-2)5=−10
3
跟踪训练 计算: 3 8
解 原式=
=
3
2
−2
27
8
7
3
−23
+ −
1
5
+
−23
49
9
−2
1
2
+
−
2
4 0.5
−
59
-(0.008) 3
8
1 000
÷5 2 ×
2 2
5
−23
1
2
÷50 ×
4
7
÷
2 2
5
1
50
=
−12
×
3 3
2
= 9 + 3 − 25÷5 2 ×
2 2
.
5
−23
2 2
5
1
+
4
7 2 2
1
∴
1
2 − 2
1
1
2 + 2
1
=
1
1
( 2 − 2 ) 2
1
1
1
1
( 2 + 2 )( 2 − 2 )
=
(+)−2()2
−
1
=
12−2×92
−6 3
=−
3
.
3
五、用换元法处理指数幂中的化简与证明问题
例5
分析
已知3
=
3
=
1
3,且
1
+ +
1
2+
=1.求证:(
−2
= 7.
− 2 = (2 +
−2 2
)
+ 2 = 9,即2 +
−4
− 4 = 72 − 4 = 45.
反思感悟
解决条件求值问题的一般方法——整体法
对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母的取值未知或不易求出,这时可将
所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件相同的结构,从而通过“整体法”巧妙地求出代数式的值.利用
运算与初中所学的指数运算有什么差异呢?
一、指数幂的拓展
1.正分数指数幂
给定正数和正整数, ( > 1, 且, 互素),若存在唯一的正数,使得 = ,则称为的 次幂,记作 =
,这就是正分数指数幂.
有时,也把 写成 ( > 0, , ∈ +, > 1)的形式.
3
7
−
7
= 9 + 3 − 2 = 9.
2 3
10
−23
1
2
1
2
÷(25 × 2 )×
2 2
5
四、条件求值
1
−
例4 已知 + 2 = 5( > 0),求下列各式的值:(1)a+a-1; (2)a2+a-2; (3)a2-a-2.
1
2
1
−
分析 解答本题可从整体上寻求各式与条件 + 2 = 5的联系,进而整体代入求值.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定
中的正负,再结合的奇偶性给出正确结果.
跟踪训练 (1)该例中的(2),若 < −3呢?
(2)该例中的(2),若 > 3呢?
解 由例题解析可知原式可化为| − 1| − | + 3|.
(1)若 < −3,则 − 1 < 0, + 3 < 0,
核心素养：数学抽象、数学运算
新知学习
情景引入
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一,它侵害田地的面积S(单位:hm2)与年数t(年)满足关系式
S=S0·1.057t,其中S0(单位:hm2)为侵害面积的初始值.
如果求10年后侵害的面积,则S=S0·1.05710;如果求15.5年后侵害的面积,就需要计算S=S0·1.05715.5,这个指数
1
A.2 2
1
B.2
C.
1
2 2
)
D.
1
2
2
1
1
−
解析 由 = (2) ,则 = (2) − 2 = 4 2,2 = 4 ,得 =
1
2
( > 0).
答案 D
反思感悟
解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与根式的对应关系,转化求解.
2
−
跟踪训练 已知 > 0, 3 = 4,则等于( A )
1
1
2 − 2
跟踪训练 已知 + = 12, = 9,且 < ,求
1
1
2
+ 2
的值.
解 ∵ + = 12, = 9,
∴ ( − )2 = ( + )2 − 4 = 122 − 4 × 9 = 108.
∵ < ,∴ − = −6 3.
70w,∴
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= 70 ≠ 1.同理 =70 , =70 .
1
1
1
1
1 1 1
+ +
∴ · · =70 ·70 ·70 ,即() =70
1
1
.
1
又 = + + ,∴ = 70. ∵a,b,c为正整数,且ax=by=cz≠1,
=2 020,则 =
5
2 020 ; (2)已知4 = 2 020,则 = ± 4 2 020
2.已知7 = 5,用指数幂的形式表示 =
1
57
.
.
思考
( )与 的含义一样吗?其化简结果是什么?
( )表示对于实数先求次方根,再对其进行次方运算,当为任意正整数时,都有( ) = .
分析 (1)首先利用根式的性质直接化简两个根式,然后进行运算;(2)首先将被开方数化为完全平方式,
然后开方化为绝对值的形式,根据x的取值范围去掉根号即可.
解 (1)原式= − + − = 0.
(2)原式= (−1)2 − ( + 3)2 = | − 1| − | + 3|.
∵ −3 < < 3,∴当−3 < < 1时,原式= −( − 1) − ( + 3) = −2 − 2;
2
1
3
1
3
1
3
= + + .
看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构建能用到题干中已知值的式子.
证明 令pa3=qb3=rc3=k,
则pa2=,qb2=,rc2= ,p=3,q=3,r= 3.
∴所证等式左边= + +
1
所证等式右边=
∴(2
2.负分数指数幂
−
给定正数和正整数, ( > 1, 且, 互素),定义 =
1
=
1
.
3.无理数指数幂
1
一般地,给定正数a,对于任意的正无理数α,aα都是一个确定的实数.自然地规定a-α= aα .
这样指数幂中指数的范围就扩展到了全体实数.
名师点析
1.有了分数指数幂的定义,就把指数幂拓展到了有理指数幂.分类指数幂 不可理解为 个相乘,它是根式的
∴a,b,c均不为1.∴1<a≤b≤c.又70=2×5×7,∴a=2,b=5,c=7
随堂小测
3
1.计算 (2−π)3 + (3−π)2 的值为(
A.5
B.-1
3
解析
B
D.5-2π
C.2π-5
)
(2−π)3 + (3−π)2 = 2 − π + π − 3 = −1.故选B.
2.下列各式正确的是( D )
A.
1
7
7
= m7