2019-2020学年高中数学人教A版选修2-1精讲优练_3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算

类型三 利用空间向量的数量积解决垂直问题 【典例】1.已知a,b是异面直线,且a⊥b,e1,e2分别为 取自直线a,b上的单位向量,且a=2e1+3e2,b=ke1-4e2, a⊥b,则实数k的值为________.
2.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交 点,G为CC1的中点,求证:A1O⊥平面GBD. 世纪金榜导 学号53162065
【解题探究】如何利用向量证明直线与平面垂直? 提示:根据题设,找出直线的方向向量及平面上两条相 交直线的方向向量,然后利用数量积证明.
【解析】1.由a⊥b,得a·b=0, 所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0, 所以2k-12=0,所以k=6. 答案:6
量积的
同向:则a·b=|a|·|b|
性质 共
线 反向:则a·b=-|a|·|b|
向量数 模
量积的
性质
|a||a|cos<a,a>
a·a= _______________=|a|2
aa
|a|=
|a·b|≤|a|·|b|
ab
|a||b|
夹角 θ 为a,b的夹角,则cos θ =_____
4.数量积的运算率
BD

1
2
BD

1.
2
2
2
3 EF DC 1 BD DC 1 BD DC cos〈BD，DC〉 1 cos 120 1 .
2
2
2
4
4AB CD AB AD AC AB AD AB AC
AB AD cos〈AB，AD〉 AB AC cos〈AB，AC〉

2
CA

1，
所以
cos〈CA1,
AB〉
|
CA1 AB CA1 || AB
|

1 1 . 2 2 2
所以〈CA1, AB〉=120°, 所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
【方法技巧】 求两个非零向量夹角的两个途径
(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角, 利用解三角形的知识求解. (2)利用数量积求夹角的余弦值:

CA

1 2
CC1

CB,
所以
|
BN
|2

2wenku.baidu.com
BN

(CA

1 2
CC1

CB)2

2
CA

1 4
CC1
2

2
CB
12 1 22 12 3,
4
所以 | BN | | BN |2 3.
(2)因为 BA1 CA1 CB CA CC1 CB,
CB1 CB CC1,
3.设a,b,c是任意的非零向量,且它们互不共线,有下列 命题: ①(a·b)·c-(c·a)·b=0; ②|a|-|b|<|a-b|; ③(b·a)·c-(c·a)·b与c垂直;
④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确的有 ( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 【解析】选D.结合向量的数量积运算律,只有②④正确.
|a||b|
长度:|a|= a2 .
【自我总结】 1.空间向量夹角定义的三个关注点 (1)任意两个空间向量都是共面的,故空间向量夹角的 定义与平面向量夹角的定义一样.
(2)作空间两个向量的夹角时要把两个向量的起点放在 一起. (3)两个空间向量的夹角是惟一的,且<a,b>=<b,a>.
2.对空间向量的数量积的四点说明 (1)运算结果:空间向量数量积的结果是个实数,而不是 向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘 积.
定义
记法 表达式
几何意义
已知两个非零 向量a,b,则 |a||b|·cos<a, a·b b>叫做a,b的数 量积
a·b=|a||b|· cos<a,b>
a的模长与向量 b在a方向上的 投影的乘积.
微提醒 向量的数量积没有逆运算.
3.两个空间向量的数量积的性质
向量数
垂 直
若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0
CB CC1 CA CB 0，
因为
|
CA1
|2
2
CA1

(CA
CC1)2

2
CA

2
CC1
12
12

2,
所以| CA1 | 2，
因为 |
AB |2
2
AB

(CB CA)2

2
CB
2
CA
12
12

2,
所以 | AB | 2，
又因为
CA1
AB
(CA CC1)(CB CA)
4.已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则<a,b>=________.
【解析】因为|a|=3,|b|=2,a·b=-3,
所以cos<a,b>=
|
ab a || b
|

3 32


1 2
,
又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= 2 .
3
答案: 2
3
类型一 空间向量的数量积运算
=cos 60°-cos 60°=0.
【方法技巧】 空间向量运算的两种方法
(1)利用定义:利用a·b=|a||b|cos<a,b>并结合运算 律进行计算. (2)利用图形:计算两个向量的数量积,可先将各向量移 到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进 行运算.
【变式训练】
在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,试计算下列各式
的值.
1 AB AC. 2 AD C1B1. 3 AA1 CD1. 4CC1 BD1.
【解析】
1 AB AC AB（AB BC） AB AB AB BC
22 0 4.
2 AD C1B1 AD CB AD DA 22 4. 3 AAl CDl AA1（CD CCl） CC1（CD CC1）
【解析】由已知得| CA || CB | 1，| CC1 || AA1 | 2，
AN

1 2
AA1

1 2
CC1.
〈CA，CC1〉〈CB，CC1〉〈CA，CB〉 90,
所以CA CC1 CB CC1 CA CB 0.
(1)因为 BN CN CB CA AN CB
所以 |
BA1
|2
2
BA1

(CA
CC1
CB)2

2
CA
2
CC1

2
CB
=12+22+12=6, | BA1 | 6,
| CB1 |2
2
CB1
(CB CC1)2

2
CB
2
CC1
=12+22=5, | CB1
|
5，
BA1 CB1 (CA CC1 CB) (CB CC1)

1 2
2
CC1
2
CB

1 2
22
12
1，
所以cos〈BN，CB1〉
|
BN CB1 BN || CB1
|

1 3
15 . 5 15
2.本例中,若CA=CB=AA1=1,其他条件不变,求异面直线
CA1与AB的夹角.
【解析】由已知得| CA || CB || CC1 | 1,CA CC1
3.1.3 空间向量的数量积运算
【自我预习】 1.两个向量的夹角
定义
图示
已知两个非零向量a, b,在OA空间O任B取一点O, 作 =a, =b,则 ∠AOB叫做向量a,b
的夹角.
表示 范围 <a,b> [0,π ]
微提醒 1.0与任意向量都共线. 2.规定:0与任意向量的数量积都为0.
2.两个向量的数量积
也在平面α内.
因为<a,b>= ,<a,c>= ,即a⊥b,a⊥c.
2
2
又因为b c,所以a⊥α,a⊥d,故<a,d>= .
2
答案:
2
2.1 EF BA 1 BD BA 1 BD BA cos〈BD，BA〉 1 cos 60 1 .
2
2
2
4
2
EF
BD

1 BD
【典例】1.已知a,b,c是3个非零向量,若<a,b>= ,
2
<a,c>= ,且b c,d=xb+yc(x,y∈R),则
2
<a,d>=___.
2.如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是
AB,AD的中点,求值:
1 EF BA. 2 EF BD. 3 EF DC. 4 AB CD.
数乘向量与数 量积的结合律 交换律 分配律
(λ a)·b=λ _a_·b_=a·(_λ__b_)
a·b=_b_·a_ a·(b+c)=_a_·b__+_a_·c_
微提醒 向量的数量积不具有结合律.
微课堂·微思考 【思考】向量的数量积主要可以解决空间立体几何中 什么问题? 提示:垂直:数量积为零. 角度:cos <a,b>= a b .
对于选项B, AB AC AD 2

2
AB

2
AC

2
AD
,
由对选项A的判断,AB AC AD DE ,而
2
AB

2
AC

2
AD

2
DE
,故B正确.
对于选项C,由于三个线段的长度未知,故C不一定正确. 对于D选项,由线面垂直可得三组向量之间都是垂直的 关系,故它们的数量积都是0,D正确.
【解析】选D. BD BD,因为△A′BD为正三角形, 所以< AB，BD >=120°.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知下列各式: ①(AB＋BC)＋CC1 ② (AA1＋A1D1)＋D1C1 ;③ (AB＋BB1)＋B1C1; ④ (AA1＋A1B1)＋B1C1 .其中运算的结果为AC1 的有 ()
=
2
CC1

2
CB
=22-12=3,
所以
cos〈BA1 , CB1〉
BA1 CB1 | BA1 || CB1
|

3 30 . 6 5 10
【延伸探究】 1.本例中条件不变,求 BN 与 CB1夹角的余弦值.
【解析】由例题知, | BN | 3，| CB1 | 5，
1 BN CB1 (CA 2 CC1 CB) (CB CC1)
论中,不一定成立的是 ( )
A. AB AC AD AB AC AD
2
2
2
2
B. AB AC AD AB AC AD
C. AB AC AD BC 0
D.AB CD AC BD AD BC
【解析】选C.对于选项A, AB AC AD AB AC AD, 等式左边 AB AC AE ,由已知条件 知 AD AE ,结合平行四边形法 则知 AD AE AE AD , 故A正确.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选D.根据空间向量的加法运算以及正方体的
性质逐一进行判断:①(AB＋BC)＋CC1= AC＋CC1 =AC1; ② (AA1＋A1D1)＋D1C1 = AD1＋D1C1 =AC1 ;③ (AB＋BB1)＋B1C1 = AB1＋B1Cl =AC1;④ (AA1＋A1B1)＋B1C1 = AB1＋B1C1 = AC1.所 以4个式子的运算结果都是 AC1 .
类型二 利用数量积求夹角和模 【典例】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点. 世纪金榜 导学号53162064
(1)求 BN 的长. (2)求 cos〈BA1,CB1〉的值.
【思路导引】(1)应用 _C_A_，__C_B_，C_C_1____表示 BN,再求 BN 的模. (2)求 cos〈BA1,CB1〉可先求__B_A_1_C_B_1__.
CC1 CD CC1 CC1 4.
4CC1 BD1 CC1（BD DD1）
CC1 BD CCl DD1 CC1（BA BC） CC1 DD1 CC1 BA CC1 BC CC1 DD1 4.
【补偿训练】
已知四面体ABCD中,AB,AC,AD两两互相垂直,则下列结
世纪金榜导学号53162063
【思路导引】1.<a,b>= ,<a,c>= ⇒a·b=0,
2
2
a·c=0,要求<a,d>,考虑_a_·__d_.
2.正四面体中 AB,AC,AD 长度和夹角已知,可作为空 间向量的基底,将所有向量用 AB,AD,AC 表示,再进行运 算.
【解析】1.将向量b,c平移到平面α内,则向量d=xb+yc
(2)运算符“·”:其中a·b中的圆点是数量积运算的符 号,不能省略也不能用“×”代替. (3)注意点:①数量积的符号由夹角的余弦值决定. ②当a≠0时由a·b=0可得a⊥b或b=0.
(4)a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 |b|cos θ的乘积.
【自我检测】 1.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为 a,设 AB =a,AD =b,AA =c,则< AB，BD >等于 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120°