椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理

椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.
所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2
3＝1.
2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52
－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2
24
＝1.
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11
42
2=+y x ； （2）当()02，
A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：
116
42
2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
解：因为c 2
＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9
a 2＋
4a 2
－5
＝1，所以a 2
＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2
10
＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为12
22=+y a
x ，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+1012
22y a
x y x ，得()0212
22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2
11
1a x y M M +=-=， 41
12===a x y k M M OM ，∴42=a ，
∴14
22
=+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。

例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =，∴333
1-=e ．
例2 已知椭圆
19822=++y k x 的离心率2
1
=e ，求k 的值． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12
-=k c ．由2
1
=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92
=a ，82
+=k b ，得k c -=12
．
由21=
e ，得4191=-k ，即4
5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4
5
-=k ．
六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。

解：顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5,2c ＝8，所以c ＝4，所以
b 2＝a 2－
c 2
＝9，故顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1.又A 、B 、C 三点构成
三角形，所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)答案：
x 2
25＋
y 2
9＝1(y ≠0)
2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2
25＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2
的周长．
4a ＝441.
3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的
面积．
△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝1
2×2×4＝4.
七、直线与椭圆的位置问题
例 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得
()()
023
2122212222=+-+--+k k x k k x k ．
由韦达定理得2
2212122k k
k x x +-=+．
∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得2
1
-=k ．
所以所求直线方程为0342=-+y x ．
解法二：设过⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得
①－②得
02
2
2212
221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121
-=--x x y y ，即直线的斜率为2
1
-． 所求直线方程为0342=-+y x ．
八、椭圆中的最值问题
例 椭圆
112
162
2=+y x 的右焦点为F ，过点()
31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
解：由已知：4=a ，2=c ．所以2
1
=e ，右准线8=x l ：．
过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，
即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()
332，M ．
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

例1 讨论
19252
2=-+-k
y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92
，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252
，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．
（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭
⎫
⎝⎛-
5316，Q 且焦点在坐标轴上．
（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．
（3）与双曲线
14
162
2=-y x 有相同焦点，且经过点()
223， 解：（1）设双曲线方程为
12
2=+n
y m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1259256116225
9n
m n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m
∴所求双曲线方程为19
162
2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=
c ，
∴设所求双曲线方程为：
1622
=--λ
λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164
25=--λ
λ
∴5=λ或30=λ（舍去）
∴所求双曲线方程是15
22
=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．
（3）设所求双曲线方程为：
()16014162
2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()
223，，∴144
1618=++-λ
λ
∴4=λ或14-=λ（舍）
∴所求双曲线方程为
18
122
2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。

例 3 已知双曲线
116
92
2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F
∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF
∴362212
22
1=-+PF PF PF PF ∴1002
221=+PF PF
∵()
10044122222
1=+==b a c F F
∴
9021=∠PF F
（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

例 4 已知1F 、2F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．
分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．
解：∵P 为双曲线14
22
=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F
∵
9021=∠PF F
∴在21F PF Rt ∆中，202
21222
1==+F F PF PF
∵()
162212
22
12
2
1=-+=-PF PF PF PF PF PF
∴1622021=-PF PF
∴221=⋅PF PF ∴12
1
2121=⋅=
∆PF PF S PF F 五、根据双曲线的定义求其标准方程。

例5 已知两点()051，
-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
∵5=c ，3=a
∴164352
2
2
2
2
2
==-=-=a c b
∴所求方程
116
92
2=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 例 P 是双曲线136642
2=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 解：在双曲线
136
642
2=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ．
∴12=PF 或332=PF ．
又22=-≥a c PF ，得332=PF ． 六、求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：
（1）与⊙()2222
=++y x C ：
内切，且过点()02，A （2）与⊙()112
21=-+y x C ：和⊙()412
2
2=++y x C ：都外切．
（3）与⊙()9322
1=++y x C ：
外切，且与⊙()1322
2=+-y x C ：内切． 解：设动圆M 的半径为r
（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=
-MC MA
∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：
22=
a ，2=c ，2
72
22=-=a c b ∴双曲线方程为()
217
2222
-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，
∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：
21=
a ，1=c ，4
32
22=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：
（3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切
∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：
2=a ，3=c ，5222=-=a c b
∴所求双曲线方程为：
抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42
= （2）)0(2
≠=a ay x
解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a
y 1
2
=，a p 12=∴
①当0>a 时，
a p 41
2=
，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41
-
=． ②当0<a 时，a p 41
2-=，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a
x 41
-
=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2
ay x =的焦点坐标为)0,41(a ，准线方程是：a
x 41
-
=． 二、求直线与抛物线相结合的问题
例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82
=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方
程．
解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨
⎧=-=x
y kx y 82
2
可得：04)84(2
2=++-x k x k ．
∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ．
∵AB 中点横坐标为：28
422
21=+=+∴k k x x ，
解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．
解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22
21
2188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2
121218
y y x x y y +=--．
421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，
4
48
-=
∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．
三、求直线中的参数问题
例3（1）设抛物线x y 42
=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值．
（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．
解：（1）由⎩⎨⎧+==k
x y x y 242得：0)44(42
2=+-+k x k x
设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4
,12
2121k x x k x x =⋅-=+
[][]
)
21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴
53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k
（2）9=∆S ，底边长为53，∴三角形高55
65
392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即
5
5
6124022
20=
+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．
四、与抛物线有关的最值问题
例4 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2
上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．
解：如图，设F 是x y =2
的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则
2
321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ．
设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则4
5
4123=-≥x ．
等式成立的条件是AB 过点F ．
当45=x 时，4
12
21-=-=P y y ，故
22
122)(212
221221=-=++=+x y y y y y y ，
221±=+y y ，2
2
±=y ．
所以)22,45(±
M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为4
5
． 例 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22
=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．
解：如图，
由定义知PE PF =，故2
13=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．
取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2， 所以P 点坐标为)2,2(．
椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为()02，
A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中
点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
五、求椭圆的离心率问题。

例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。

2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2
25＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2
的周长．
3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2
4
＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的
面积．
七、直线与椭圆的位置问题
例 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 八、椭圆中的最值问题
例 椭圆
112
1622=+y x 的右焦点为F ，过点()
31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

例1 讨论
19252
2=-+-k
y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭
⎫
⎝⎛-
5316，Q 且焦点在坐标轴上．
（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．
（3）与双曲线
14
162
2=-y x 有相同焦点，且经过点()
223， 三、求与双曲线有关的角度问题。

例 3 已知双曲线
116
92
2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F
∠的大小． 题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

例 4 已知1F 、2F 是双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．
五、根据双曲线的定义求其标准方程。

例5 已知两点()051，
-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 例 P 是双曲线136
6422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：
（1）与⊙()2222
=++y x C ：
内切，且过点()02，A （2）与⊙()112
21=-+y x C ：和⊙()412
2
2=++y x C ：都外切．
（3）与⊙()9322
1=++y x C ：
外切，且与⊙()1322
2=+-y x C ：内切． 抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。

例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1）y x 42
= （2）)0(2
≠=a ay x 分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程． （2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．
二、求直线与抛物线相结合的问题 例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82
=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．
三、求直线中的参数问题 例3（1）设抛物线x y 42
=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值．
（2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．
四、与抛物线有关的最值问题
例4 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2
上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．
例 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22
=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．。