第3章 3.1 独立性检验

第3章 3.1 独立性检验
3.1独立性检验
1．了解独立性检验的概念，会判断独立性检验事件．
2．能列出2×2列联表，会求χ2(卡方统计量的值)．
3．能够利用临界值，作出正确的判断．(重点)
4．应用独立性检验分析实际问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理12×2列联表的意义
阅读教材P91～P94“例1”以上部分，完成下列问题
一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B(如吸烟与不吸烟)；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病)．我们得到如下表所示的抽样数据：
Ⅱ
类1类2合计
Ⅰ
类A a b a＋b
类B c d c＋d
合计a＋c b＋d a＋b＋c＋d
列联表，2×2列联表经常用来判断Ⅰ和Ⅱ之间是
否有关系．
下面是一个2×2列联表：
y1y2合计
x1 a 2173
x282533
合计 b 46
则表中a，b
【解析】∵a＋21＝73，∴a＝52.
又b＝a＋8＝52＋8＝60.
【答案】52,60
教材整理2独立性检验
阅读教材P93～P94“例1”以上部分完成下列各题．
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
绘制2×2列联表
在一项有关医疗保健的社会调查中，调查的男性为530人，女性为670人，发现其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．
【精彩点拨】分成两类，找出不同类情况下的两个数据再列表．
【自主解答】作2×2列联表如下：
喜欢甜食不喜欢甜食合计
男117413530
女492178670
合计609591 1 200 1
2．表中排成两行两列的数据是调查得来的结果．
3．选取数据时，要求表中的四个数据a，b，c，d都要不小于5，以保证检验结果的可信度．
[再练一题]
1．某电视公司为了研究体育迷是否与性别有关，在调查的100人中，体育迷75人，其中女生30人，非体育迷25人，其中男生15人，请作出性别与体育迷的列联表．
【解】
体育迷非体育迷合计
男451560
女 30 10 40 合计
75
25
100
利用χ2
值进行独立性检验
某矿石粉厂当生产一种矿石粉时，在数天内即有部分工人患职业
性皮肤炎，在生产季节开始，随机抽取75名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数如下：
阳性例数
阴性例数
合计 新防护服 5 70 75 旧防护服 10 18 28 合计
15
88
103
【精彩点拨】 通过有关数据的计算，作出相应的判断．
【自主解答】 提出假设H 0：新防护服对预防皮肤炎没有明显效果． 根据列联表中的数据可求得 χ2＝
103×(5×18－70×10)2
75×28×15×88
≈13.826.
因为H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈13.826>10.828，所以我们有99.9%的把握说新防护服比旧防护服对预防工人患职业性皮肤炎有效．
根据2×2列联表，利用公式n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算χ2的值，再与临
界值比较，作出判断．
[再练一题]
2．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175人秃顶．根据以上数据判断男性病人的秃顶与患心脏病是否有关系？
【解】 提出假设H 0：男性病人的秃顶与患心脏病没有关系． 根据题中所给数据得到如下2×2列联表：
患心脏病 未患心脏病
合计 秃顶
214
175
389
不秃顶 451 597 1 048 合计
665
772
1 437
根据列联表中的数据可以求得
χ2＝1 437×(214×597－175×451)
2389×1 048×665×772
≈16.373.
因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈16.373>10.828，所以有99.9%的把握认为，男性病人的秃顶与患心脏病有关系．
[探究共研型]
独立性检验的综合应用
探究1 利用χ2进行独立性检验，估计值的准确度与样本容量有关吗？ 【提示】 利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n 越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．
探究2 在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断变量相关时，P (χ2≥6.635)≈0.01和P (χ2≥7.879)≈0.005，哪种说法是正确的？
【提示】 两种说法均正确．P (χ2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P (χ2≥7.879)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．
为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现
统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关？
【精彩点拨】 解答本题可先列出2×2列联表，然后具体分析． 【自主解答】 (1)2×2列联表如下：
合格品数 次品数 合计 甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场
493 17 510 合计
1 475
25
1 500
程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．
(2)由2×2列联表中数据，计算得到χ2的观测值为 χ2＝
1 500×(982×17－493×8)2
990×510×1 475×25
≈13.097>10.828，
因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关．
判断两个变量是否有关的三种方法
[再练一题]
3．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．
(1)将下面的2×2列联表补充完整；
晚上 白天 合计 男婴 女婴 合计
系？
【解】 (1)
晚上 白天 合计 男婴 24 31 55 女婴 8 26 34 合计
32
57
89
(2)χ2＝
89×(24×26－31×8)2
55×34×32×57
≈3.689>2.706.
根据临界值表知P (χ2≥2.706)≈0.10.
因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为婴儿的性别与出生时间有关系．
[构建·体系]
1．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的________倍．
【解析】由公式χ2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
中所有值变为原来的2倍，
得(χ2)′＝2n(2a·2d－2b·2c)2
(2a＋2b)(2c＋2d)(2a＋2c)(2b＋2d)
＝2χ2，
故χ2也变为原来的2倍．
【答案】 2
2．下列说法正确的是________．(填序号)
①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．
【解析】对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错．
【答案】②
3．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科文科合计
男131023
女72027
合计203050
χ2＝50×(13×20－10×7)2
23×27×20×30
≈4.844.
则有__________的把握认为选修文科与性别有关．
【答案】95%
4．在2×2列联表中，两个比值
a
a＋b
与________相差越大，两个分类变量
有关系的可能性越大. 【导学号：29440066】
【解析】根据2×2列联表可知，比值
a
a＋b
与
c
c＋d
相差越大，则|ad－bc|
就越大，那么两个分类变量有关系的可能性就越大．
【答案】
c c＋d
5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：
喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080
北方学生101020 合计7030100
品的饮食习惯方面有差异”．
【解】将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
χ2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
＝100×(60×10－20×10)2
80×20×70×30
＝
100
21≈4.762.
因为 4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)。