多项式除法

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多项式除法
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关于多项式除以多项式
两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算．例如，我们来计算(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)，仿照672÷21，计算如下：
∴(7x＋2＋6x2)÷(2x＋1)=3x＋2．
由上面的计算可知计算步骤大体是，先用除式的第一项2x去除被除式的第一项
6x2，得商式的第一项3x，然后用3x去乘除式，把积6x2＋3x写在被除式下面(同类项对齐)，从被除式中减去这个积，得4x＋2，再把4x＋2当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止．上式的计算结果，余式等于0．如果一个多项式除以另一个多项式的余式为0，我们就说这个多项式能被另一个多项式整除，这时也可说除式能整除被除式．
整式除法也有不能整除的情况．按照某个字母降幂排列的整式除法，当余式不是0而次数低于除式的次数时，除法计算就不能继续进行了，这说明除式不能整除被除式．例如，计算(9x2＋2x3＋5)÷(4x－3＋x2)．
解：
所以商式为2x＋1，余式为2x＋8．
与数的带余除法类似，上面的计算结果有下面的关系：
9x2＋2x3＋5＝(4x－3＋x2)(2x＋l)＋(2x＋8)．
这里应当注意，按照x的降幂排列，如果被除式有缺项，一定要留出空位．当然，也可用补0的办法补足缺项．
当除式、被除式都按降幂排列时，各项的位置就可以表示所含字母的次数．因此，计算时，只须写出系数，算出结果后，再把字母和相应的指数补上去．这种方法叫做分离系数法．按照分离系数法，上面例题的计算过程如下：于是得到
商式=2x＋1，余式=2x＋8．
对于多项式的乘法也可用分离系数法进行计算，例如，(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)按分离系数法计算如下：
所以，
(2x3－5x－4)(3x2－7x＋8)
=6x5－14x4＋x3＋23x2－12x－32．
如果你有兴趣，作为练习，可用上面的方法计算下面各题．
1．(6x3＋x2－1)÷(2x－1)．
2．(2x3＋3x－4)÷(x－3)．
3．(x3－2x2－5)(x－2x2－1)．
4．(x＋y)(x2－xy＋y2)．
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式
二. 重点、难点
整式的除法与我们以前所学的整式的加法、减法、乘法有很多不同，特别是多项式除以多项式，虽然是选学内容，但多项式除以多项式在解决代数式求值，及复杂的因式分解都有很大的用处。

【典型例题】
[例1] 化简求值：
，其中，
解：
当，时
原式
[例2]
A. B. C. D. 以上都不对
解析：解这道题如用正规途径应对比等式左右两边系数从左边到右边少了，所以所求代数式的系数为2而最后一项为1，所以所求代数式为。

但这是一道选择题可以用代入法把A、B、C四个答案代入试试，很快发现也是A。

说明：同学们在做选择题时应选用较为灵活的方法。

[例3] 化简
解：原式
[例4] 计算
我们仿照小学学习的多位数除以多位数的法则建立多项式除以多项式的法则
所以
规则：
1. 先把除式与被除式按降幂排列，如果除式与被除式中有缺项，缺项的位置补0。

2. 用被除式的第一项除以除式的第一项，得商式的第一项再用这个商式去乘以除式，再把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积再把差当作新的被除式，按照上面的方法继续计算，直到得出余式为止。

[例5] 计算
此题已把除式与被除式按降幂排列好了先用被除式的首项除以除式的首项得商式首项，再用乘以得把它写在被除式下面同类项对齐作减法得（），再把作为新的被除式，用除以得再用乘以得写在下面作减法得0除完。

[例6]
在用多项式除以多项式法则之前，我们观察被除式，发现被除式有缺项，如果忽视这个问题那么按法则去做，则同类项不能对齐。

所以应该在缺项的地方补0。

现在新的问题出来了，再用除以会得负指数，这是不行的，这时除法已经结束，我们仿照多位数除以多位数把叫做余式。

所以
说明：如果多项式除以多项式有除不尽的情况，那么写成被除式= 除式×商式+余式
余式的定义：当在做多项式除以多项式的除法时，如果新的被除式的最高次项小于除式的最高次项，则这个新的被除式为余式。

[例7] 已知多项式能被整除求值。

解：
∵ 多项式能被整除
∴ 余式∴
[例8] 已知能被整除，求的值。

解：
∵ 能被整除
∴ ∴
[例9] 已知求的值
分析：设法把用含有的代数式表示
∴
∵
∴
说明：在这里我们用除以，有些同学存在困惑怎能做除数，这里作除法是寻找两个多项式之间的关系，并不是除0这一点，同学们要好好体会。

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 计算①
②
2. 计算①
②
③
3. 计算
4. 已知多项式能被整除且商式是，求的值。

5. 如果能被整除，求的值。

6. 已知，求
7. 确定a的值使多项式能被除余数为1。

8. 求除以的商式和余数
9. 已知多项式可被和整除，求、的值及此式的因式。

一、選擇：
（）若多項式A除以多項式B得商式為Q，餘式為R，則下列敘述何者恆正確？
(A)A－R是Q的倍式
(B)A－R是B的因式
(C)A是B的倍式
(D)B是A的倍式
《答案》A
詳解：由題意得：A＝BQ＋R
(B)A－R＝BQ，即A－R是B的倍式
(C)當R＝0時，A才是B的倍式
(D)當R＝0時，A是B的倍式，B是A的因式
故選(A)
（）若2x＋x＋mx－6為x－2的倍式，則2x＋x＋mx－6亦為下列何者的倍式？
(A)x＋3 (B)x－3 (C)2x＋3 (D)2x－3
《答案》C
詳解：因為2x＋x＋mx－6為x－2的倍式
所以x－2能整除2x＋x＋mx－6
用x－2去除2x＋x＋mx－6得到：
－6＋2(m＋10)＝0
解得m＝－7
2x＋x＋mx－6
＝(x－2)(2x＋5x＋3)
＝(x－2)(x＋1)(2x＋3)
故選(C)
（）3x－13x＋ax－b是x－2x＋3的倍式，則a＋b＝？
(A)152 (B)44 (C)38 (D)2
《答案》B
詳解：用x－2x＋3除3x－13x＋ax－b
得：a－23＝0，－b＋21＝0
所以a＝23，b＝21
故a＋b＝44，選(B)
（）若(x＋2)和(2x＋3)都是8x＋mx＋17x＋n的因式，試求n＝？
(A)－6 (B)6 (C)－12 (D)12
《答案》A
詳解：(x＋2)(2x＋3)＝2x2＋7x＋6
用2x2＋7x＋6除8x＋mx＋17x＋n得：
n－3(m－28)＝0
又m＝26
解得n＝－6，故選(A)
（）若(x＋2)和(2x＋3)都是8x＋mx＋17x＋n的因式，則m＝？
(A)26 (B)－26 (C)30 (D)－30
《答案》A
詳解：(x＋2)(2x＋3)＝2x2＋7x＋6
用2x2＋7x＋6除8x＋mx＋17x＋n得：
－7－(m－28)＝0
解上式得：m＝26，故選(A)
（）若不是2x－1的倍式，則下列哪一個不可能是a的值？
(A)－3 (B)－1 (C)1 (D)3
《答案》A
詳解：用2x－1去除得餘式為a＋3
因為不是2x－1的倍式
所以餘式a＋3不可能為0
即a值不可能為－3
故選(A)
二、填充：
已知x＋2與4x＋1都是8x－2x－41x－10的因式，則因式分解8x－2x－41x－10＝。

《答案》(x＋2)(4x＋1)(2x－5)
詳解：(x＋2)(4x＋1)＝4x2＋9x＋2
用4x2＋9x＋2除8x－2x－41x－10
得商式為2x－5
所以8x－2x－41x－10＝(x＋2)(4x＋1)(2x－5)
如圖，翊寧做了一個多項式直式除法，發現多項式2x－3是多項式4x＋ax ＋9x＋b的因式，其中部分係數以a、b、c、d、e、f表示，則：
(1)a＝，b＝，
c＝，d＝，
e＝，f＝。

(2)4x＋ax＋9x＋b的另一個因式為。

《答案》(1)－8，－9，－1，－2，3，0
(2)2x－x＋3
詳解：(1)由直式除法可知：
2c＝－2，c＝－1
e＝－3c＝3
d＋2＝0，d＝－2
f＝0(整除，餘式為0)
b－9＝0，b＝9
(2)2x2＋cx＋3＝2x2－x＋3是4x＋ax＋9x＋b的因式
若x－3x＋m為5x－9x＋nx－12的因式，則m＝，n＝。

《答案》－2，－28
詳解：用x－3x＋m除5x－9x＋nx－12
得：(n－5m)＋18＝0，－12－6m＝0
解得：m＝－2，n＝－28
已知x＋x＋1為x＋k的因式，則：
(1)k＝。

(2)因式分解x＋k 。

《答案》(1)－1 (2)(x＋x＋1)(x－1)
詳解：(1)用x＋x＋1除x＋k
得：k＋1＝0，故k＝－1
(2) 用x＋x＋1除x＋k得到的商式為x－1
所以x＋k＝x－1＝(x－1)( x＋x＋1)
若x－1與x－2皆為x－6x＋kx－6的因式，則：
(1)k＝。

(2)因式分解x－6x＋kx－6＝。

《答案》(1)11 (2)(x－1)(x－2)(x－3)
詳解：(1)(x－1)(x－2)＝x2－3x＋2
用x2－3x＋2除x－6x＋kx－6
得：(k－2)－9＝0
解得：k＝11
(2)用x2－3x＋2除x－6x＋kx－6
得商式為：x－3
所以x－6x＋kx－6＝(x－1)(x－2)(x－3)
已知x－x＋x－1有因式x＋1，則因式分解x－x＋x－1＝。

《答案》(x＋1)(x－1)
詳解：用x＋0x＋1(缺項補0)除x－x＋x－1
得商式為：x－1
故x－x＋x－1＝(x＋1)(x－1)
若x＋mx＋nx＋10為x－2與x＋5的倍式，則：
(1)(m , n)＝。

(2)x＋mx＋nx＋10的因式分解為。

《答案》(1)(2 , －13) (2)(x－2)(x＋5)(x－1)
詳解：(1)(x－2)(x＋5)＝x2＋3x－10
用x2＋3x－10除x＋mx＋nx＋10
得：(n＋10)－3(m－3)＝0
10－10(m－3)＝0
解得：m＝2，n＝－13
故(m , n)＝(2 , －13)
(2) 用x2＋3x－10除x＋2x－13x＋10
得商式為x－1
所以x＋2x－13x＋10＝(x2＋3x－10)( x－1)
＝(x－2)(x＋5)(x－1)
已知3x－11x＋27x－14是x－3x＋7的倍式，則因式分解3x－11x＋27x－14＝。

《答案》(x－3x＋7)(3x－2)
詳解：用x－3x＋7除3x－11x＋27x－14
得商式為：3x－2
即3x－11x＋27x－14＝)( x－3x＋7) (3x－2
設2x＋1是4x＋mx－6的因式，則：
(1)m＝。

(2)x－2是否為4x＋mx－6的因式？答：。

(3)因式分解4x＋mx－6＝。

《答案》(1)－13 (2)是
(3)(2x＋1)(x－2)(2x＋3)
詳解：(1)用2x＋1除4x＋0x2＋mx－6(缺項補0)
得：－6－(m＋1)＝0
解得：m＝－13
(2)用x－2除4x＋0x2－13x－6(缺項補0)
得商式為4x2＋8x＋3，餘式為0，整除
故)x－2是4x＋mx－6的因式
(3)由(2)知：
4x－13x－6＝(x－2)( 4x2＋8x＋3)
用2x＋1除4x2＋8x＋3
得商式為2x＋3，餘式為0
即4x2＋8x＋3＝(2x＋1)( 2x＋3)
故4x－13x－6＝(2x＋1)(x－2)(2x＋3)
若x－x－1是多項式2x－5x－ax＋3的因式，則a＝。

《答案》－1
詳解：用x－x－1除2x－5x－ax＋3
得(－a＋2)－3＝0
故a＝－1
設x＋1及2x－3都是6x＋ax－13x＋b的因式，則2a＋b＝。

《答案》－2
詳解：(x＋1)(2x－3)＝2x2－x－3
用2x2－x－3除6x＋ax－13x＋b
得：－4＋(a＋3)＝0，b＋(a＋3)＝0
解得：a＝5，b＝－12
故2a＋b＝2×5＋(－12)＝－2
若多項式(x－2)(x＋2x＋4x＋8)有因式x＋4，則此多項式可因式分解為《答案》(x－2)(x＋4)(x＋2)
用x＋0x＋4(缺項補0)除x＋2x＋4x＋8
得商式為：x＋2
所以x＋2x＋4x＋8＝(x＋4)(x＋2)
故(x－2)(x＋2x＋4x＋8＝(x－2)(x＋4)(x＋2)
若x＋ax－3x＋b為x＋2x＋1的倍式，則：
(1)a＝。

(2)b＝。

《答案》(1)0 (2)－2
詳解：用x＋2x＋1除x＋ax－3x＋b
得：－4－2(a－2)＝0，b－(a－2)＝0
解得：a＝0，b＝－2
欲使x－3x＋1為x－4的倍式，則必須在x－3x＋1中加上常數k，則k ＝。

《答案》－5
詳解：用x－4除x－3x＋1＋k
得餘式為：k＋5
因為x－3x＋1為x－4的倍式
所以k＋5＝0
故k＝－5
三、計算：
若x－2x＋b為3x－2x＋ax＋12的因式，則：
(1)a、b的值分別為何？
(2)因式分解3x－2x＋ax＋12＝？
《答案》(1)a＝1，b＝3
(2)(x－2x＋3)(3x＋4)
詳解：
(1)因為x－2x＋b為3x－2x＋ax＋12的因式
所以x－2x＋b可以整除3x－2x＋ax＋12
即(a－3b)－(－8)＝0
a－3b＝－8 (1)
12－4b＝0b＝3 (2)
將(2)式代入(1)式中，解出a＝1
(2)由上面的除法可知
(3x－2x＋ax＋12)÷(x－2x＋b)＝3x＋4
也就是說3x－2x＋ax＋12可以因式分解為(x－2x＋3)(3x＋4)
若2x－3x＋b是2x－7x＋ax＋2的因式，則：
(1)a、b之值分別為何？
(2)承上題，請因式分解2x－7x＋ax＋2。

《答案》(1)a＝5，b＝－1
(2)(2x－3x－1)(x－2)
詳解：(1)
∵2x－3x＋b是2x－7x＋ax＋2的因式
∴2x－3x＋b能整除2x－7x＋ax＋2
則
(2)∵2x－7x＋ax＋2＝(2x－3x＋b)(x－2)
又a＝5，b＝－1
∴2x－7x＋5x＋2＝(2x－3x－1)(x－2)
已知6x－11x－19x－6是x－3與2x＋1的倍式，則因式分解6x－11x－19x－6＝？
《答案》(x－3)(2x＋1)(3x＋2)
詳解：因為(x－3)(2x＋1)＝2x－5x－3
而且6x－11x－19x－6是x－3與2x＋1的倍式
所以6x－11x－19x－6是2x－5x－3的倍式
又6x－11x－19x－6＝(2x－5x－3)(3x＋2)
所以6x－11x－19x－6可以因式分解為(x－3)(2x＋1)(3x＋2)
已知x＋x－1是2x＋3x－x－1的因式，則因式分解2x＋3x－x－1＝？《答案》(x＋x－1)(2x＋1)
詳解：因為x＋x－1是2x＋3x－x－1的因式
所以x＋x－1可以整除2x＋3x－x－1
又(2x＋3x－x－1)÷(x＋x－1)＝2x＋1
所以2x＋3x－x－1可以因式分解為(x＋x－1)(2x＋1)
已知x＋2是x＋bx－6的因式，則b＝？
《答案》－1
詳解：
因為x＋2是x＋bx－6的因式
所以x＋bx－6能被x＋2整除
即b＋1＝0，解出b＝－1。