高中数学 转化与化归思想

第四讲转化与化归思想
知识整合
一、转化与化归思想的含义
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法，一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．
二、转化与化归的常见方法
1．直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
2．换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
3．数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
4．等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．
5．特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．
6．构造法：构造一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
7．坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．8．类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．
9．参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题进行解决．
10．补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁U A使原问题获得解决，体现了正难则反的原则．
1.特殊与一般的转化
典题例析
例1(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，
则cos A＋cos C
1＋cos A cos C＝
4
5.
[思路探究]看到a，b，c成等差数列，可联想到等边三角形举特例求解．
[解析]显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以
cos A＋cos C
1＋cos A cos C＝
cos60°＋cos60°1＋cos60°cos60°
＝11＋14
＝4
5.
(2)已知f (x )＝3
3x ＋3
，则f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝
__2_020__.
[思路探究] 看到求f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)的值，想到求f (x )＋f (1－x )的值．
[解析] f (x )＋f (1－x )＝33x ＋3＋331－x ＋3＝33x ＋3＋3x
3＋3x ＝3x ＋33x ＋3＝1，
所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 019)＋f (2 020)＝1，
所以f (－2 019)＋f (－2 018)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 020)＝2 020. 规律总结
化一般为特殊的应用
(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． (2)对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．
(3)对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
1．AB 是过抛物线x 2＝4y 的焦点的动弦，直线l 1，l 2是抛物线两条分别切于A ，B 的切线，则l 1，l 2的交点的坐标为__(0，－1)__．
[解析] 找特殊情况，当AB ⊥y 轴时，AB 的方程为y ＝1，则A (－2,1)，B (2,1)，过点A 的切线方程为y －1＝－(x ＋2)，即x ＋y ＋1＝0.同理，过点B 的切线方程为x －y －1＝0，则l 1，l 2的交点为(0，－1)．
2．在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →
，则AM →·NM →
＝( C )
A ．20
B ．15
C ．36
D ．6
[解析] 方法一：由BM →＝3MC →，DN →＝2NC →
知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝
34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM →＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD
→
＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－(AD →＋23AB →)＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM →＝(AB →＋3
4
AD →)·(13AB →－14AD →)＝13(AB →＋34AD →)·(AB →－34AD →
)＝13(AB →2－916AD →2)＝13(144－916
×64)＝36，故选C.
方法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM →＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.
2.函数、方程、不等式之间的转化 典题例析
例2 (1)已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[1
e ，1]，总存在唯一的y ∈[－1,1]，
使得ln x －x ＋1＋a ＝y 2e y 成立，则实数a 的取值范围是( B )
A ．[1
e ，e]
B ．(2
e ，e]
C ．(2
e
，＋∞)
D ．(2e ，e ＋1e
)
[解析] 设f (x )＝ln x －x ＋1＋a ，当x ∈[1
e ，1]时，
f ′(x )＝1－x x ≥0，f (x )是增函数，所以
x ∈[1e ，1]时，f (x )∈[a －1
e ，a ]．设g (y )＝y 2e y ，则g ′(y )＝e y y (y ＋2)，则g (y )在[－1，0)单调
递减，在[0,1]单调递增，且g (－1)＝1e <g (1)＝e.因为对任意的x ∈[1
e ，1]，存在唯一的y ∈[－
1,1]，使得f (x )＝g (y )成立，所以[a －1e ，a ]⊆[1e ，e]，∴2
e
<a ≤e ，故选B.
(2)(文)(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若对∀x 1∈[1
2，3]，∃x 2∈[2,3]
使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( C )
A ．(－∞，1]
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，0]
D ．[0，＋∞)
[解析] 当x ∈[1
2
，3]时，f (x )≥2
x ·4
x
＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.
(理)(2019·济南调研)已知m ，n ∈(2，e)，且1n 2－1m 2<ln m
n ，则( A )
A ．m >n
B ．m <n
C ．m >2＋1
n
D ．m ，n 的大小关系不确定
[解析] 由不等式可得1n 2－1m 2<ln m －ln n ，即1n 2＋ln n <1m 2＋ln m .设f (x )＝1
x 2＋ln x (x ∈(2，e))，
则f ′(x )＝－2x 3＋1x ＝x 2－2
x
3.
因为x ∈(2，e)，所以f ′(x )>0，故函数f (x )在(2，e)上单调递增．因为f (n )<f (m )，所以n <m .故选A ． 规律总结
函数、方程与不等式相互转化的应用
1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助． 2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．
1．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，若对一切x ∈[1
2，2]，f (x )>0都成立，则实数a 的取值范
围为( B )
A ．[1
2，＋∞)
B ．(1
2，＋∞)
C ．[－4，＋∞)
D ．(－4，＋∞)
[解析] 由题意得，对一切x ∈[12，2]，f (x )>0都成立，即a >2x －2x 2＝－2x 2＋2x ＝－2(1x －1
2)2
＋12在x ∈[12，2]上恒成立，而－2(1x －12)2＋12≤12，则实数a 的取值范围为(1
2
，＋∞)． 2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝1
4ln4，则( B )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．c <a <b
D ．b <c <a
[解析] a ＝13ln 94＝13ln(32)2＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5
454，c ＝14ln4＝14×2ln2＝ln2
2
.
故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f (32)，b ＝f (5
4)，c ＝f (2)．
因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln x
x
2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.
故当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，e]上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， 函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54<32<2<e ，所以f (54)<f (3
2
)<f (2)，即b <a <c ，故选
B.
3.正难则反的转化 典题例析
例3 (1)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋(m
2＋2)x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函
数，则实数m 的取值范围是( B )
A ．(－5，－10
3)
B ．(－37
3，－5)
C ．(－5，－2)
D ．(－5，＋∞)
[解析] g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2， 若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，
则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，
即m ＋4≥2
x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，
所以m ＋4≥2
t －3t 恒成立，又t ∈[1,2]，
则m ＋4≥2
1－3×1＝－1，即m ≥－5；
②得m ＋4≤2
x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，
则m ＋4≤23－9，即m ≤－37
3
.
所以函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－37
3
<m <－5.
(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为 (0，1
8) .
[解析] f ′(x )＝2ax －1＋1
x
.
(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1
x ≥0，
得a ≥12(1x －1
x
2)．①
令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈(1
2
，1)．
设h (t )＝12(t －t 2)＝－12(t －12)2＋18，t ∈(12，1)，显然函数y ＝h (t )在区间(1
2，1)上单调递减，
所以h (1)<h (t )<h (12)，即0<h (t )<1
8
.
由①可知，a ≥1
8
.
(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1
x ≤0，
得a ≤12(1x －1
x
2)．②
结合(ⅰ)可知，a ≤0.
综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[1
8，＋∞)．
所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为(0，1
8)．
规律总结
转化化归思想遵循的原则
1．熟悉化原则：将陌生的问题转化为我们熟悉的问题． 2．简单化原则：将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．
3．直观化原则：将较抽象的问题转化为比较直观的问题(如数形结合思想，立体几何向平面几何问题转化)．
4．正难则反原则：若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题．
1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( D )
A ．(－∞，1
2]
B ．(－∞，1
2)
C ．(－1
2
，＋∞)
D ．[－1
2
，＋∞)
[解析] 设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 2
2
x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的
中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k (x 21＋x 2
2
2)＝k (x 1＋x 22－3)＝－6k ＋12
，所以中
点P (－12k ，－6k ＋12)．由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>(－1
2k )2，整理得(2k ＋1)(6k 2
－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－1
2时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，
于是当k ≥－1
2时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x ＝3)对称．所以实数k 的取值范
围是[－1
2
，＋∞)．故选D.
2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是 (－3，3
2
) .
[解析] 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )>0， 因为Δ＝36p 2≥0恒成立，
则⎩⎪⎨⎪⎧
f (－1)≤0，f (1)≤0
解得⎩⎨⎧
p ≤－1
2
或p ≥1，
p ≤－3或p ≥32
.
所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3<p <3
2，
即满足题意的实数p 的取值范围是(－3，3
2
)．
4.形体位置关系的转化 典题例析
例4 (1)如图所示，已知多面体ABCDEFG 中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，
AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为__4__.
[解析] 方法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝(1
2
×2×1)×2＝2，
V 三棱柱EBF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝(1
2×2×1)×2＝2.
故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.
方法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．
又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8， 故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEGH ＝1
2
×8＝4.
(2)如图1所示，正△ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．现将△ABC 沿CD 翻折，使翻折后平面ACD ⊥平面BCD (如图2)，求三棱锥C －DEF 的体积．
[解析] 方法一：如图，取CD 的中点M ，连接EM ，则EM ∥AD ，且EM ＝12AD ＝a
2，
又AD ⊥平面BDC ，故EM 为三棱锥E －DFC 的高．
求三棱锥C －DEF 的体积，即求三棱锥E －DFC 的体积． 由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，F 为BC 的中点， 所以S △CDF ＝12S △BCD ＝12×12CD ·BD ＝14(2a )2－a 2·a ＝3
4a 2.
所以V 三棱锥E －CDF ＝13S △CDF ·EM ＝13×34a 2×12a ＝3
24a 3.
即V 三棱锥C －DEF ＝
324
a 2.
方法二：如图所示，知三棱锥C －DEF 与三棱锥E －DFC 的体积相等，且三棱锥E －DFC 是三棱锥A －BDC 的一部分．
因为平面ACD ⊥平面BCD ，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，故三棱锥E －DFC 的底面积和高分别是三棱锥A －BDC 的底面积和高的一半．
由题意，知CD ⊥BD ，AD ⊥CD ，AD ⊥BD ，AD ＝BD ＝a ，DC ＝3a ，所以S △BCD ＝1
2×3
a ·a ＝
32
a 2. 故V 三棱锥A －BDC ＝13S △BCD ·AD ＝13×32a 2×a ＝36a 3，则V 三棱锥C －DEF ＝14V 三棱锥A －BCD ＝14×
3
6a 3＝
324
a 3
. 规律总结
形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．
1．(2019·吉林模拟)
已知如图，四边形ABCD 和四边形BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ，CE ∥BG ，∠BCD ＝∠BCE ＝π
2，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC ＝CD ＝CE ＝2AD ＝2BG ＝2，则五面体EGBADC
的体积为 7
3
.
[解析] 如图所示，连接DG ，BD .
由平面ABCD ⊥平面BCEG ， ∠BCD ＝∠BCE ＝π
2，
可知EC ⊥平面ABCD ， 又CE ∥GB ， 所以GB ⊥平面ABCD .
又BC ＝CD ＝CE ＝2，AD ＝BG ＝1，
所以V 五面体EGBADC ＝V 四棱锥D －BCEG ＋V 三棱锥G －ABD
＝13S 梯形BCEG ·DC ＋13S △ABD ·BG ＝13×2＋12×2×2＋13×12×1×2×1＝73.故填73
. 2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是∠ABC ＝60°的菱形，M 为PC 的中点．
(1)求证：PC ⊥AD ；
(2)求点D 到平面P AM 的距离．
[解析] (1)证明：如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，AC ，由题意可知△P AD ，△ACD 均为正三角形，所以OC ⊥AD ，OP ⊥AD .
又OC ∩OP ＝O ，所以AD ⊥平面POC ， 又PC ⊂平面POC ，所以PC ⊥AD .
(2)点D 到平面P AM 的距离即点D 到平面P AC 的距离，由(1)可知，PO ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，即PO 为三棱锥P －ACD 的高．
在Rt △POC 中，PO ＝OC ＝3，PC ＝6，在△P AC 中， 因为P A ＝AC ＝2，PC ＝6，所以边PC 上的高 AM ＝P A 2－PM 2＝
22－(
62)2＝10
2
， 所以△P AC 的面积S △P AC ＝12PC ·AM ＝12×6×102＝15
2
.
设点D 到平面P AC 的距离为h ，由V D －P AC ＝V P －ACD ，得13S △P AC ·h ＝1
3S △ACD ·PO ，
又S △ACD ＝12×2×3＝3，所以13×152×h ＝13×3×3，解得h ＝215
5.
故点D 到平面P AM 的距离为215
5
.。