广西壮族自治区贺州市平桂区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题(含答案解析)

广西壮族自治区贺州市平桂区2022-2023学年九年级上学期
期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．tan45︒的值等于（）A
B
C ．1
D ．1
2
2．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．y ＝
6
x B ．y ＝6x
C ．x +y ＝6
D ．y ＝
6x
3．抛物线23(6)3y x =++的顶点坐标是（）A ．(3,6)
B ．(3,6)
-C ．(6,3)D ．(6,3)
-4．如果线段5mm,10mm a b ==，那么a
b
的值为（）
A ．
120
B ．1
2
C ．
52
D ．2
5．
如图，在四边形ABCD 中，AD BC AC ，与BD 相交于点O ，则下列三角形中，与AOD 一定相似的是（
）
A ．BOC
B ．AOB
C ．DOC
D ．ABC 6．关于二次函数()2
322y x =-+的图象，下列说法正确的是（）
A ．函数的最大值是2
B ．当2x >时，y 随x 的增大而增大
C ．图象的开口向下
D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大
7．已知111ABC A B C ∽△△，且112
3
AB A B =．若ABC 的周长为8，则111A B C △的周长是（）A ．4
B ．8
C ．12
D ．18
8．已知二次函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）
A ．4k ≤且3
k ≠B ．4k <且3
k ≠C ．4
k <D ．4
k ≥9．若点123123A y B y C y -（，）,（，）,（，）在反比例函数2
y x
=-的图象上，则123y y y 、、的
大小关系是（）
A ．123y y y ＜＜
B ．231＜＜y y y
C ．321y y y ＜＜
D ．213
y y y ＜＜10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =12，BC =5，则sin B 的值为（
）
A ．
512
B ．
513
C ．
125
D ．
1213
11．如图，
正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME AM ⊥，ME 交AD 的延长线于点E ，若8AB =，6BM =，则DE 的长为（
）
A ．
263
B ．
253
C ．
125
D ．
1213
12．如图是二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）图象的一部分，与x 轴的交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线1x =．对于下列说法：①0ab <；②20a b +=；③30a c +>；④()a b m am b +≥+（m 为实数）；⑤当13x -<<时，0y >，其中正确的是（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
13．已知25y x =，则:x y =________．
14．二次函数2y ax =的图像经过点()28-，
，则a 的值为_____．15．在锐角三角形ABC 中，1
sin 2
B =
，则B ∠的大小是_____．16．如图，ABC 的面积为8，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则四边形BCED 的面
积为_____．
17．如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥，2BE =，3
cos 5
A =
，则菱形的周长为_____．
18．如图所示，反比例函数y =
k
x
（k ≠0，x ＞0）的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D ．若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为_____________．
191
1220203tan 303-⎛⎫
++-+ ⎪⎝⎭
三、解答题
20．如图，在边长均为1的小正方形网格中，以点O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的2倍，得到A B C ''' ．
(1)请在网格中画出A B C ''' ；(2)直接写出C ∠'的正弦值．
21．如图，在ABC 中，AE 平分BAC ∠，ED CA ∥．若5BE =，6EC =，10AC =，求AD 的长．
22．如图，一次函数13y x =+的图象与反比例函数2m
y x
=（0x <）的图象交于A ，B 两点，点A 的横坐标为2-．
(1)求m 的值及点B 的坐标；
(2)根据图象，当12y y <时，直接写出x 的取值范围．
23．一种商品每件售价为10元，一周可卖出50件．市场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件．已知该商品进价每件为8元，设每件商品售价为x 元(10)x >，每周销售的销售利润为y 元．
(1)求y 与x 之间的函数关系式．
(2)问每件商品涨价多少元时，每周销售利润最大，最大利润多少元？
24．如图，四边形BCDG 是某速滑场馆建造的滑台，已知CD EG ∥，滑台的高DG 为4米，且坡面BC 的坡度为1:1，为了提高安全性，负责人决定降低坡度，改造后的新坡面
AC 的坡度为
(1)求新坡面AC 的坡角及AC 的长；
(2)原坡面底部BG 的正前方10米外（10EB =米）是护墙EF ，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案能否通过？请说明理由．（参
1.73≈）
25．
如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE 沿BE 折叠为BFE △，点F 落在AD 上．
(1)求证：ABF DFE ；(2)若2
sin 3
DFE ∠=
，6AF =，求BF 的值．26．如图，二次函数25y ax bx =++的图象经过点(1,8)，且与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点(1,0)A -，M 为抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
△的面积；
(2)求MCB
(3)在坐标轴上是否存在点N，使得BCN
△为直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可求解．【详解】解：tan451︒=，故选：C ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握和运用特殊角的三角函数值是解决本题的关键．2．D
【分析】根据反比例函数的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A 、6
x
y =
是正比例函数，故不符合题意；B 、6y x ＝是正反比例函数，故不符合题意；C 、6x y +＝是一次函数，故不符合题意；D 、6
y x
＝是反比例函数，故符合题意．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查反比例函数的概念，熟练掌握反比例函数的概念是解题的关键．3．D
【分析】直接利用顶点式的特殊形式可得顶点坐标．【详解】∵函数23(6)3y x =++是抛物线的顶点式，∴顶点坐标为(6,3)-故选：D
【点睛】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．4．B
【分析】根据线段的比的定义，按照题中条件直接求解即可得到结论．【详解】解：∵5mm,10mm a b ==，∴
51
102
a b ==，故选：B ．
【点睛】本题考查线段的比，熟记线段的比的定义是解决问题的关键．5．A
【分析】根据平行线内错角相等即可证明两个三角形相似．【详解】解：AD BC ，
OBC ODA OCB OAD AOD BOC BOC DOA ∴∠=∠∠=∠∠=∠∴ ，，，∽，
故选：A ．
【点睛】本题考查三角形相似的判定，数量掌握几种判定定理是解题关键．6．B
【分析】根据二次函数解析式得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为()2
322y x =-+，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为()22，
，∴函数最小值为2，当2x >时，y 随x 的增大而增大，当2x <时，y 随x 的增大而减小．故选：B ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数()()2
0=-+≠y a x h k a 的顶点坐标为()h k ，，对称轴为直线x h =，当0a >时，二次函数有最小值k ，在对称轴右边y 随x 增大而增大，在对称轴左边，y 随x 增大而减小；当a<0时，二次函数有最大值k ，在对称轴右边y 随x 增大而减小，在对称轴左边，y 随x 增大而增大．7．C
【分析】根据111ABC A B C ∽△△且112
3
AB A B =，可得ABC 的周长与111A B C △的周长的比为2∶3，进一步求解即可
【详解】解：∵111ABC A B C ∽△△且
112
3
AB A B =，∴ABC 的周长与111A B C △的周长的比为23：
，∵ABC 的周长为8，∴111A B C △的周长为12，故选：C ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．8．A
【分析】根据二次函数定义二次项系数非0，与x 轴有交点240b ac ∆=-≥，分别求解不等
式取公共解即可．【详解】依题意得：
30k -≠，解得3k ≠，
()22Δ424310b ac k =-=-⨯-⨯≥，
解得4k ≤，故选：A ．
【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式0∆≥结合二次项系数非零找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．9．B
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出
123y y y 、、的值，然后比较大小即可．
【详解】解∶ 点()()()1231,,2,,3,A y B y C y -在反比例函数2
y x =-的图象上，
1232
2,1,,
3y y y ∴==-=-231.
y y y ∴<<故选∶B ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征∶反比例函数(k
y k x
=为常数，0k ≠)的图象是双曲线，图象上的点x y （，）的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．
10．D
【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．【详解】如图，根据勾股定理得，
，∴sin B =
AC AB =12
13
．故选：D ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．11．A
【分析】由勾股定理可求出AM 的长，通过证明ABM EMA △∽△，可得BM AM
AM AE
=，即可求解．
【详解】∵8AB =，6BM =，
∴10AM =
=，
∵AD BC ∥，∴DAM AMB ∠=∠，又∵90AME B ∠=∠=︒，∴ABM EMA △∽△，∴BM AM
AM AE =，∴
610108DE
=+，∴263
DE =
，故选：A ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．12．C
【分析】由抛物线的开口方向判断a 的正负，抛物线与y 轴交点判断c 的正负，再根据对称轴判断b 的正负及20a b +=，当=1x -时，y a b c =-+，然后由图象确定当x 取何值时，0y >．【详解】解：① 对称轴在y 轴右侧，
02b
a
∴-
>．a ∴、b 异号，
0ab ∴<，故①正确；
② 对称轴12b
x a
=-
=，20a b ∴+=；
故②正确；③20a b += ，
2b a ∴=-，
当=1x -时，0y a b c =-+<，
()230a a c a c ∴--+=+<，
故③错误；
④ 根据图示知，当1x =时，有最大值a b c ++；
又当x m =时，2y am bm c =++，
∴当1m ≠时，有2am bm c a b c ++<++，
当1m =时，2am bm c a b c ++=++，
2am bm c a b c ∴++≤++，
2am bm a b ∴+≤+，
()a b m am b ∴+≥+（m 为实数）．
故④正确．
⑤观察图象可得：当13x -<<时，y 也可能等于0或小于0．
故⑤错误．
综上，正确的序号由：①②④，
故选：C ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当0a >时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即0ab >），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即0ab <），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于()0,c ．
13．2:5
【分析】先根据等式的性质可直接得出x ：y 的值
【详解】解：根据等式的性质2，等式两边同除以2，得y=
52
x.则x:y=x:5 2x=2:5.故答案：2:5.
【点睛】本题需熟练运用等式的性质进行变形，用一个字母表示出另一个字母，再进一步求其比值.
14．2
【分析】直接将坐标代入二次函数表达式即可求出a 的值即可．
【详解】解：将()28-，
代入2y ax =得84a =，解得2a =，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上的点，掌握待定系数法是解本题的关键．15．30︒【分析】根据已知条件1sin 2B =，又因为1sin 302︒=，即可求出B ∠的大小．【详解】∵1
sin 302︒=，而sinB ＝12，
∴锐角B 为30︒，
故答案为：30︒
【点睛】本题主要考查锐角三角函数—正弦，熟练掌握锐角三角函数的知识点和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．6
【分析】设四边形BCED 的面积为x ，则8ADE S x =- ，由题意知DE BC ∥，且12
DE BC =
，从而可得2ADE ABC S DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，建立关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：设四边形BCED 的面积为x ，则8ADE S x =- ，
点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，
DE ∴是ABC 的中位线，
DE BC ∴∥，且12
DE BC =
，ADE ABC ∴△△∽，则2
ADE ABC S DE S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，即8184x -=，解得：6x =，
即四边形BCED 的面积为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方．
17．20
【分析】根据菱形的性质可得AB BC CD AD ===，结合3cos 5
AE A AD ==，设3AE k =，则5AD k =，再建立方程求解k 的值，从而可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB BC CD AD ===，
∵DE AB ⊥，
∴90DEA ∠=︒，∴3cos 5
AE A AD ==，设3AE k =，则5AD k =，
∴5322BE k k k =-==，
∴1k =，
∴5AD =，
∴菱形的周长44520AD ==⨯=，
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，锐角三角函数的应用，熟记锐角的余弦的定义，并灵活应用是解本题的关键．
18．2
【分析】过D 作DE ⊥OA 于E ，设D （m ，
k m
），于是得到OA =2m ，OC =2k m ，根据矩形的面积列方程即可得到结论．
【详解】过D 作DE ⊥OA 于E ，设D （m ，
k m ），∴OE =m ，DE =k m ，∵DE ⊥OA ，OC ⊥OA ，
∴OC //DE ，
∵点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点，
∴DE 是△AOC 的中位线，
∴OA =2m ，OC =2k m
，∵矩形OABC 的面积为8，
∴OA •OC =2m •
2k m
=8，∴k =2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面积列出方程是解题的关键．
19．0
【分析】根据绝对值的性质，零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则和特殊角三角函数即可求解．
1
00
1
220203tan30
3
-
⎛⎫
-++-+
⎪
⎝⎭
=
2133
--+⨯
=
213
--+
=0
【点睛】本题考查了绝对值的性质，零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则和特殊角三角函数知识．熟练掌握这些运算法则是进行实数混合运算的基础．
20．(1)见解析
2
【分析】（1）见解析
（2）先通过勾股定理求出每条边的长度，再看这些长度是否构成直角三角形．
【详解】解：（1）如图所示：A B C
'''
即为所求；
（2）222202040A B B C A C '''''' ＝，＝，＝，
∴222''A B B C A C ''+''＝，
∴A B C ''' 是等腰直角三角形，
∴45C ∠'︒＝，
∴C ∠'的正弦值为：2
．【点睛】本题考查位似的作图和勾股定理，三角函数的求解，找到直角三角形是关键．21．50
11
【分析】由角平分线的定义和平行线的性质得到DAE DEA ∠=∠，ED AD =，根据相似三角形的判定与性质得到
BE ED BC AC =，代入已知数据求解得到DE 的长，即可得到AD 的长．【详解】解：∵AE 为BAC ∠的平分线，
∴DAE EAC ∠=∠．
∵ED CA ∥，
∴DEA EAC
∠=∠∴DAE DEA
∠=∠∴ED AD
=∵ED CA ∥，
∴BED BCA
△△∽∴BE ED BC AC
=，
∵5BE =，6EC =，10AC =，∴55610
ED =+，∴50
11
ED =∴5011AD =
．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和平行线的性质，题目较为基础，证出ED AD =是解题的关键．
22．(1)2m =-，()
1,2B -(2)当12y y <时，自变量x 的取值范围为<2x -或10x -<<．
【分析】（1）先求解A 的坐标，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可；
（2）由反比例函数图象在一次函数图象的上方可得12y y <时，自变量的取值范围．
【详解】（1）解：∵一次函数13y x =+过A 点，且点A 的横坐标为2-，
∴231y =-+=，
∴()2,1A -，又∵反比例函数()20m y x x
=
<的图象过A ，B 两点，∴212m =-⨯=-，∴反比例函数关系式为2y x
=-，由32y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩，∴()1,2B -；
（2）由函数的图象可得，
当12y y <时，自变量x 的取值范围为<2x -或10x -<<．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标问题，利用图象法求解不等式的解集，熟悉数形结合的方法解题是关键．
23．(1)25140800
y x x =-+-
(2)每件商品涨价4元时，每周销售利润最大，最大利润180元
【分析】（1）依题意利润=单件利润×销售件数，可得y 与x 的函数关系式；
（2）把函数关系式用配方法化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）根据题意，得[]2(8)505(10)5140800y x x x x =---=-+-，
∴y 与x 之间的函数关系式为25140800y x x =-+-；
（2）由（1）知，2251408005(14)180y x x x =-+-=--+，
∵50-<，
∴抛物线开口向下，
∴当14x =时，y 有最大值，最大值为180，
此时104x -=．
答：每件商品涨价4元时，每周销售利润最大，最大利润180元．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，以及二次函数最值求法等知识，得出y 与x 的函数关系式是解题关键．
24．(1)30︒，8m
(2)能，理由见解析
【详解】（1）解：（1）如图，过点C 作.CH BG ⊥，垂足为H ，
∵新坡面AC 的坡度为∴tan ,
3
CAH ∠=∴30CAH ∠=︒，即新坡面AC 的坡角为30︒，
∴28AC CH ==米
（2）解：新的设计方案能通过，理由如下：
∵坡面BC 的坡度为1:1，
∴4
BH CH ==
∵tan 3
CAH ∠=
∴AH ==
∴4,
AB =
∴104)147.087,
AE EB AB =-=-=-≈>∴新的设计方案能通过．
【点睛】本题考查了解直角三角形的坡角即正切值，理解坡角的概念是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)9
【分析】（1）根据矩形的性质可知90A D ∠=∠=︒，在ABF △中可得90ABF AFB ∠+∠=︒，再由90BFE ∠=︒可得90AFB DFE ∠+∠=︒，进而可得ABF DFE =∠∠即可证明结论；
（2）由ABF DFE 可得DFE ABF ∠=∠，然后说明2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=可得23AF BF =，然后将6AF =代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴90A D ∠=∠=︒．
在ABF △中，90ABF AFB ∠+∠=︒，
∵90BFE ∠=︒，
∴90AFB DFE ∠+∠=︒，
∴ABF DFE =∠∠，
∴ABF DFE ．
（2）解：∵ABF DFE ，
∴DFE ABF ∠=∠，∵2sin 3
DFE ∠=，6AF =，∴2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=
，∴
23AF BF =，∴623
BF =，
∴9BF =．
【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
26．(1)245y x x =-++；
(2)15
(3)存在，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由MCB △的面积12
MHB MHC S S MH OB ∆∆=+=⨯⨯，即可求解；
（3）①当NCB ∠为直角时，证明NBC ∆为等腰直角三角形，即可求解；②当N BC '∠为直角时，同理可得，OBN ' 为等腰直角三角形，即可求解；③当BNC ∠为直角时，则点N 与点O 重合，即可求解．【详解】（1）由题意得：5850
a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：245y x x =-++；
（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线2x =-，
当2x =时，2459y x x =-++=，即点(2,9)M ，
过点M 作MH y ∥轴交BC 于点H ，
设直线BC 的表达式为：y mx n =+，则550n m n =⎧⎨+=⎩，解得：15m n =-⎧⎨=⎩
，故直线BC 的表达式为：5y x =-+，当2x =时，53y x =-+=，即点()2,3H ，则936MH =-=，
则MCB △的面积11651522
MHB MHC S S MH OB ∆∆=+=⨯⨯=⨯⨯=；
（3）存在，理由：
如上图，由点B 、C 的坐标知，5OB OC ==，则45BCO CBO ∠=∠=︒，①当NCB ∠为直角时，90NCB ∠=︒ ，则NBC 为等腰直角三角形，则45CNB ∠=︒，
则5NA CO ==，即点(5,0)N -；②当N BC '∠为直角时，
同理可得，OBN ' 为等腰直角三角形，则5ON BO '==，
即点(0,5)N '-；
③当BNC ∠为直角时，
则点N 与点O 重合，
即点(0,0)N ；
答案第15页，共15页综上，点N 的坐标为(5,0)-或(0,5)-或(0,0)．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．。