导热基本定律及稳态导热
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直角坐标系：（Cartesian coordinates）
t t t grad t i j k x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量
（Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量； 不同方向上的热流密度的大小不同
2 q W m
q -grad t
[ W m2 ]
: 热导率（导热系数） （Thermal conductivity） W (m C) 直角坐标系中： t t t q q x i q y j q z k i j k x y z
t t t q x ; q y ; q z x y z
a — 热扩散率（导温系数） [ m2 s] （Thermal diffusivity） c
2 — 拉普拉斯算子
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系 值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分 一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1、气体的热导率
气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244 W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
若物性参数为常数、无内热源稳态导热：
2 2 2 t t t 2 t 2 0 2 2 x y z
圆柱坐标系 （r, , z）
qr t r 1 t q r t q z z
x r cos ; y r sin ; z z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、叠层 金属板，其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料
各向异性材料中：
t t t q x xx xy xz x y z t t t q y yx yy yz x y z t t t q z zx zy zz x y z
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加] 1、导入与导出微元体的净热量
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
通过接触面的导热实际固体表面不是理想平整的所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触给导热带来额外的热阻当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时接触热阻的影响更突出接触热阻当两固体壁具有温差时接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热对流和辐射的影响一般不大thermalcontactresistance1当热流量不变时接触热阻r较大时必然在界面上产生较大温差2当温差不变时热流量必然随着接触热阻r的增大而下降3即使接触热阻r不是很大若热流量很大界面上的温差是不容忽视的接触热阻的影响因素
t 0 t f (r ) t f ( r , )
等温面与等温线
等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来 所构成的面 ● 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到 一个等温线簇
●
等温面与等温线的特点：
(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或 者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物 体的边界上 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运动速度高
2、液体的热导率
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6 W (m C)
液体的导热：主要依靠晶格的振动 晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点 阵，即所谓晶格
qx q y qz [1] ( )dxdydzd x y z
[J]
傅里叶定律：
t t t q x ; q y ; q z x y z
t t t [1] ( ) ( ) ( ) dxdydzd x x y y z z
温度梯度 (Temperature gradient ） 等温面上没有温差，不会有热量传递 不同的等温面之间，有温差，有热 量传递 t t
n s
温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限，gradt
t t t grad t i j k x y z
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQx dx qx dx dydz d
qx dx qx qx dx x
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx dQx dx
qx dxdydz d x
三、热导率（ Thermal conductivity ）
q — 物质的重要热物性参数 -grad t 热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过 单位面积的导热量
W (m C)
热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定 影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为： u ：气体分子运动的均方根速度 1 u lcv l ：气体分子在两次碰撞间平均自由行程
3
：气体的密度； cv ：气体的定容比热
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。 除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化 气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
0.025~3W (m C)
T
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）
§2-2 导热微分方程式（Heat Diffusion Equation）
a
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处 的温度差别越小。
a木材 1.5 107 m2 s，a铝 9.45 105 m2 s
a木材 a铝 1 600
a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量 若物性参数为常数且无内热源：
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ); x y z or t a 2t
第二章 导热基本定律及稳态导热
§2-1 导热基本定律
一、温度场（Temperature field）
某时刻空间所有各点温度分布的总称
温度场是时间和空间的函数，即：
t = f ( r, )
稳态温度场 Steady-state conduction） 非稳态温度场 （Transient conduction）
t 1 t t q gradt t i j k r z r
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) qv r r r r z z
球坐标系 （r, ，）
金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
银 铜 金 铝
T
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
10K:Cu 12000 W (m C) 15K : Cu 7000 W (m C)
合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性， 干扰自由电子的运动
大多数液体（分子量M不变）：
T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变 化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样
液体的热导率随压力p的升高而增大
p
3、固体的热导率
(1) 金属的热导率：
金属 12~418 W (m C)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动 主要依靠前者
qr t r 1 t q r 1 t q r sin
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
t 1 t 1 t q gradt t i j k r r r sin t 1 2 t 1 t 1 t c 2 ( r ) 2 ( sin ) 2 2 ( ) qv r r r r sin r sin
傅里叶定律：
q -grad t
[ W m2 ]
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场: t f ( x, y, z, ) 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 一、导热微分方程式 理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 化学反应 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 发射药熔 化过程 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度 qv [W/m3]; 内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热 体在单位时间内放出的热量 qV AQ0e E RT
[J]
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy dQy dy q y y dxdydz d
[J]
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz dQz dz
qz dxdydz d z
[J]
[导入与导出净热量]:
[1] [dQx dQx dx ] [dQy dQy dy ] [dQz dQz dz ]
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热 流密度 直角坐标系中：
q
q qx i q y j q z k
q
q
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（ Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律 导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温 度梯度，方向与温度梯度相反
导热微分方程式、导热过程的能量方程 由 [1]+ [2]= [3]：
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
若物性参数 、c 和 均为常数：
q t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) v ; or x y z c q t a 2t v c
合金 纯金属
如常温下：
纯铜 398w/m.0c
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T
温度升高、晶格振动加强、导热增强
(2) 非金属的热导率： 非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小 建筑隔热保温材料：
[J]
2、微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量：
[2] qv dxdydz d [J]
3、微元体热力学能的增量
d dxdydz d [J]
(mcdt dxdydzc t d )
t t t grad t i j k x y z
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
热流密度矢量
（Heat flux）
热流密度：单位时间、单位面积上所传递的热量； 不同方向上的热流密度的大小不同
2 q W m
q -grad t
[ W m2 ]
: 热导率（导热系数） （Thermal conductivity） W (m C) 直角坐标系中： t t t q q x i q y j q z k i j k x y z
t t t q x ; q y ; q z x y z
a — 热扩散率（导温系数） [ m2 s] （Thermal diffusivity） c
2 — 拉普拉斯算子
热扩散率 a 反映了导热过程中材料的导热能力（ ） 与沿途物质储热能力（ c ）之间的关系 值大，即 值大或 c 值小，说明物体的某一部分 一旦获得热量，该热量能在整个物体中很快扩散 热扩散率表征物体被加热或冷却时，物体内各部分 温度趋向于均匀一致的能力
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1、气体的热导率
气体 0.006~0.6 W (m C)
0 C : 空气 0.0244 W (m C) ; 20 C : 空气 0.026 W (m C)
气体的导热：由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
若物性参数为常数、无内热源稳态导热：
2 2 2 t t t 2 t 2 0 2 2 x y z
圆柱坐标系 （r, , z）
qr t r 1 t q r t q z z
x r cos ; y r sin ; z z
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料 各向同性材料：热导率在各个方向是相同的
有些天然和人造材料，如：石英、木材、叠层塑料板、叠层 金属板，其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料
各向异性材料中：
t t t q x xx xy xz x y z t t t q y yx yy yz x y z t t t q z zx zy zz x y z
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加] 1、导入与导出微元体的净热量
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
通过接触面的导热实际固体表面不是理想平整的所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触给导热带来额外的热阻当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时接触热阻的影响更突出接触热阻当两固体壁具有温差时接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热对流和辐射的影响一般不大thermalcontactresistance1当热流量不变时接触热阻r较大时必然在界面上产生较大温差2当温差不变时热流量必然随着接触热阻r的增大而下降3即使接触热阻r不是很大若热流量很大界面上的温差是不容忽视的接触热阻的影响因素
t 0 t f (r ) t f ( r , )
等温面与等温线
等温面：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来 所构成的面 ● 等温线：用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到 一个等温线簇
●
等温面与等温线的特点：
(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或 者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物 体的边界上 物体的温度场通常用等温面或等温线表示
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
分子质量小的气体（H2、He）热导率较大 — 分子运动速度高
2、液体的热导率
液体 0.07~0.7 W (m C)
20 C : 水 0.6 W (m C)
液体的导热：主要依靠晶格的振动 晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点 阵，即所谓晶格
qx q y qz [1] ( )dxdydzd x y z
[J]
傅里叶定律：
t t t q x ; q y ; q z x y z
t t t [1] ( ) ( ) ( ) dxdydzd x x y y z z
温度梯度 (Temperature gradient ） 等温面上没有温差，不会有热量传递 不同的等温面之间，有温差，有热 量传递 t t
n s
温度梯度：沿等温面法线方向上的温度增量与法向 距离比值的极限，gradt
t t t grad t i j k x y z
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向、经 x+dx 表面导出的热量：
dQx dx qx dx dydz d
qx dx qx qx dx x
[J]
d 时间内、沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQx dQx dx
qx dxdydz d x
三、热导率（ Thermal conductivity ）
q — 物质的重要热物性参数 -grad t 热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过 单位面积的导热量
W (m C)
热导率的数值表征物质导热能力大小。实验测定 影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、 压力、密度等
气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为： u ：气体分子运动的均方根速度 1 u lcv l ：气体分子在两次碰撞间平均自由行程
3
：气体的密度； cv ：气体的定容比热
气体的压力升高时：气体的密度增大、平均自由行程 减小、而两者的乘积保持不变。 除非压力很低或很高，在2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内， 气体的热导率基本不随压力变化 气体的温度升高时：气体分子运动速度和定容比热随 T升高 而增大。 气体的热导率随温度升高而增大
0.025~3W (m C)
T
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：国家标准规定，温度低于350度时热导率小于 0.12W/(mK) 的材料（绝热材料）
§2-2 导热微分方程式（Heat Diffusion Equation）
a
在同样加热条件下，物体的热扩散率越大，物体内部各处 的温度差别越小。
a木材 1.5 107 m2 s，a铝 9.45 105 m2 s
a木材 a铝 1 600
a反应导热过程动态特性，研究不稳态导热重要物理量 若物性参数为常数且无内热源：
t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ); x y z or t a 2t
第二章 导热基本定律及稳态导热
§2-1 导热基本定律
一、温度场（Temperature field）
某时刻空间所有各点温度分布的总称
温度场是时间和空间的函数，即：
t = f ( r, )
稳态温度场 Steady-state conduction） 非稳态温度场 （Transient conduction）
t 1 t t q gradt t i j k r z r
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) qv r r r r z z
球坐标系 （r, ，）
金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
银 铜 金 铝
T
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
10K:Cu 12000 W (m C) 15K : Cu 7000 W (m C)
合金：金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性， 干扰自由电子的运动
大多数液体（分子量M不变）：
T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变 化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样
液体的热导率随压力p的升高而增大
p
3、固体的热导率
(1) 金属的热导率：
金属 12~418 W (m C)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动 主要依靠前者
qr t r 1 t q r 1 t q r sin
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
t 1 t 1 t q gradt t i j k r r r sin t 1 2 t 1 t 1 t c 2 ( r ) 2 ( sin ) 2 2 ( ) qv r r r r sin r sin
傅里叶定律：
q -grad t
[ W m2 ]
确定热流密度的大小，应知道物体内的温度场: t f ( x, y, z, ) 确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务 一、导热微分方程式 理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律 化学反应 假设：(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质 发射药熔 化过程 (2) 热导率、比热容和密度均为已知 (3) 物体内具有内热源；强度 qv [W/m3]; 内热源均匀分布；qv 表示单位体积的导热 体在单位时间内放出的热量 qV AQ0e E RT
[J]
d 时间内、沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy dQy dy q y y dxdydz d
[J]
d 时间内、沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz dQz dz
qz dxdydz d z
[J]
[导入与导出净热量]:
[1] [dQx dQx dx ] [dQy dQy dy ] [dQz dQz dz ]
热流密度矢量：等温面上某点，以通过该点处最大热流密度的
方向为方向、数值上正好等于沿该方向的热 流密度 直角坐标系中：
q
q qx i q y j q z k
q
q
q q cos
二、导热基本定律(Fourier’s law）
1822年，法国数学家傅里叶（ Fourier）在实验研究基础上， 发现导热基本规律 —— 傅里叶定律 导热基本定律：垂直导过等温面的热流密度，正比于该处的温 度梯度，方向与温度梯度相反
导热微分方程式、导热过程的能量方程 由 [1]+ [2]= [3]：
t t t t c ( ) ( ) ( ) qv x x y y z z
若物性参数 、c 和 均为常数：
q t 2t 2t 2t a( 2 2 2 ) v ; or x y z c q t a 2t v c
合金 纯金属
如常温下：
纯铜 398w/m.0c
黄铜 109w/m.0c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T
温度升高、晶格振动加强、导热增强
(2) 非金属的热导率： 非金属的导热：依靠晶格的振动传递热量；比较小 建筑隔热保温材料：
[J]
2、微元体中内热源的发热量 d 时间内微元体中内热源的发热量：
[2] qv dxdydz d [J]
3、微元体热力学能的增量
d dxdydz d [J]
(mcdt dxdydzc t d )