2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷 解析版

2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个
A．4B．3C．2D．1
2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）
A．2B．24C．2D．12
3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：
根据该统计图，下列说法错误的是（）
A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多
B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）
A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣
5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）
A．3B．C．D．
6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M 到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN ＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）
A．20B．18C．10D．9
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为．
8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cos A＝，则＝．
9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是．（结果用m，n表示）
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半
轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为．
11．（4分）如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC 是等腰三角形，则k的值是．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；
（2）已知a＜b＜0，且+＝6，求（）3的值．
14．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资
源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价（万元）
A1518 1.5
B2030 2.1
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B 型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
15．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．
（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；
（2）当FH∥BE时，求AE的长；
（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？
如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．
16．（14分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求a，c的值；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）
1．（4分）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（）个
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据数轴上各数的位置得出a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，依此即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，
则①a2﹣a﹣2＝（a﹣2）（a+1）＞0；
②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，
|a﹣c|＝﹣a+c，
∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；
③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，
∴（a+b）（b+c）（c+a）＞0；
④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，
∴|a|＞1﹣bc；
故正确的结论有②③，一共2个．
故选：C．
2．（4分）已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（）
A．2B．24C．2D．12
【分析】依据题意得到三个关系式：a﹣b＝﹣c，ab＝8，a2+b2＝c2，运用完全平方公式即可得到c的值．
【解答】解：∵点P（﹣1，）在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，
∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，
又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，
∴ab＝4，即ab＝8，
又∵a2+b2＝c2，
∴（a﹣b）2+2ab＝c2，
即∴（﹣c）2+2×8＝c2，
解得c＝2，
故选：A．
3．（4分）5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：
根据该统计图，下列说法错误的是（）
A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多
B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量
D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量
【分析】根据图象逐一分析即可．
【解答】解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；
对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；
对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；
对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷（1﹣14.7%）＝3569.05，
8月出货量为：3087.5÷（1﹣5.3%）＝3260.3，
因为3260.3＜3569.05，
故12月更高，故D错误．
故选：D．
4．（4分）已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（）
A．m≥﹣2B．0≤m≤C．﹣2≤m≤﹣D．m≤﹣
【分析】先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是﹣，得出m≤﹣；再求得当x＝1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m的下限．
【解答】解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，
∴m≤﹣；
∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，
∴当x＝﹣﹣[1﹣（﹣）]＝﹣2时，y＝1，
∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；
∴﹣2≤m≤﹣．
故选：C．
5．（4分）如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（）
A．3B．C．D．
【分析】由勾股定理求出AB，由旋转的性质可得AO＝A′O，A′B′＝AB，再求出OE，从而得到OE＝A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，由三角形的面积求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E＝2EF，然后由B′E＝A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，
∴AB＝＝＝4，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，
∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝BO＝×8＝4，
∴OE＝A′O＝4，
过点O作OF⊥A′B′于F，
S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，
解得OF＝，
在Rt△EOF中，EF＝＝＝，
∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，
∴A′E＝2EF＝2×＝，
∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝；
故选：B．
6．（4分）如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M 到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN
＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（）
A．20B．18C．10D．9
【分析】由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，则tan∠MAB＝tan∠NMC，即，即，化简得：y＝﹣x2+﹣9，当x＝﹣＝时，y＝
﹣9+＝，即可求解．
【解答】解：由图2知：AB+BC＝9，设AB＝m，则BC＝9﹣m，
如图所示，当点M在BC上时，
则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝9﹣x，NC＝y，
∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，
tan∠MAB＝tan∠NMC，即，
即，化简得：y＝﹣x2+x﹣9，
当x＝﹣＝时，
y＝﹣9+＝，
解得：m＝5，
则AM＝5，BC＝4，
故ABCD的面积＝20，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
7．（4分）2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，
则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．
故答案为：．
8．（4分）在△ABC中，AB＝AC，若cos A＝，则＝．
【分析】过B点作BD⊥AC于点D，设AD＝4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB 与BD，BC，然后求结果便可．
【解答】解：过B点作BD⊥AC于点D，
∵cos A＝，
∴，
设AD＝4x，则AB＝5x，
∴，
∵AB＝AC，
∴AC＝5x，
∴CD＝5x﹣4x＝x，
∴BC＝，
∴，
故答案为：．
9．（4分）如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是m+2019n．（结果用m，n表示）
【分析】用2020个这样的图形（图1）的总长减去拼接时的重叠部分2019个（m﹣n），即可得到拼出来的图形的总长度．
【解答】解：由图可得，2个这样的图形（图1）拼出来的图形中，重叠部分的长度为m ﹣n，
∴用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度＝2020m﹣2019（m﹣n）＝m+2019n，故答案为：m+2019n．
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN＝8，PN＝4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为4+4．
【分析】取MN的中点E，连接OE，PE，OP，根据勾股定理和矩形的性质解答即可．
【解答】解：如图，取MN的中点E，连接OE，PE，OP，
∵∠MON＝90°，
∴Rt△MON中，OE＝MN＝4，
又∵∠MQP＝90°，MN＝8，PN＝4，NE＝4，
∴Rt△PNE中，PE＝，
又∵OP≤PE+OE＝4+4，
∴OP的最大值为4+4，
即点P到原点O距离的最大值是4+4，
故答案为：4+4．
11．（4分）如图，已知直线y＝kx（k＞0）分别交反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y＝的图象于点C，连接AC．若△ABC 是等腰三角形，则k的值是或．
【分析】根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A、B、C的坐标（用k表示），再讨论①AB＝BC，②AC＝BC，即可解题．
【解答】解：∵点B是y＝kx和y＝的交点，y＝kx＝，
∴点B坐标为（，2），
同理可求出点A的坐标为（，），
∵BD⊥x轴，
∴点C横坐标为，纵坐标为，
∴BA＝，AC＝，BC＝，
∴BA2﹣AC2＝k＞0，
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
①当AB＝BC时，则＝，
解得：k＝±（舍去负值）；
②当AC＝BC时，同理可得：k＝；
故答案为：或．
12．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点M在CD边上，且DM＝1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为5．
【分析】连接BM．先判定△F AE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根据BC＝CD ＝AB＝4，CM＝3，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝5，进而得出EF的长．【解答】解：如图，连接BM．
∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，
∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．
∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，
∴AF＝AM，∠F AB＝∠MAD．
∴∠F AB＝∠MAE，
∴∠F AB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．
∴∠F AE＝∠MAB．
∴△F AE≌△MAB（SAS）．
∴EF＝BM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AB＝4．
∵DM＝1，
∴CM＝3．
∴在Rt△BCM中，BM＝＝5，
∴EF＝5，
故答案为：5．
三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程）13．（12分）（1）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；
（2）已知a＜b＜0，且+＝6，求（）3的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2k﹣1、x1x2＝k2，结合x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值；
（2）先通分可得a2+b2＝6ab，再根据完全平方公式的变形可得的值，进而可得（）3的值．
【解答】解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴x1+x2＝2k﹣1≤0，
而x1x2＝k2≥0，
∴x1≤0，x2≤0，
∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，
∴x1•x2+x1+x2＝2，
即k2+（2k﹣1）＝2，
整理得k2+2k﹣3＝0，
解得k1＝﹣3，k2＝1，
而k≤，
∴k＝﹣3；
（2）∵+＝6，
∴a2+b2＝6ab，
∴（a+b）2＝8ab，
∴（b﹣a）2＝（a+b）2﹣4ab＝4ab，
∴（）2＝＝2，
∴＝±，
∵a＜b＜0，
∴a+b＜0，b﹣a＞0，
∴＜0，
∴＝﹣
∴（）3＝﹣2．
答：（）3的值为﹣2．
14．（12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价（万元）
A1518 1.5
B2030 2.1
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B 型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）
【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y 与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；
（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．
【解答】解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．
依题意得：，
解得6≤x≤9.17，
∵x为整数，
∴x＝6，7，8，9有四种方案；
设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，∵﹣0.6＜0，
∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），
∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；
（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），
当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，
∵0，故有最小值，
当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），
当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，
当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），
∵240＜250，
故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，
∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，
∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），
故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．15．（14分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．
（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；
（2）当FH∥BE时，求AE的长；
（3）若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？
如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．
【分析】（1）连接EF，F A，由CE为圆的切线且又和EB垂直，可知CE∥F A，推出∠CEF＝∠AFE，而∠AFE＝∠FEB可得∠CEF＝∠BEF，所以EF为∠BEC的平分线．又因为∠EFB为直角可知EF⊥BC，所以△BEC为等腰三角形，得到BF为BC的一半，又因为EA∥CF，可知四边形CEAF为平行四边形，即AD＝BF＝2.5；
（2）根据平行线的性质得到BE⊥CE，由余角的性质得到∠ABE＝∠DEC，证得△ABE ∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）连接EF，由圆周角定理得出∠BFE＝90°，设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE ＝x，CF＝DE＝5﹣x，由已知条件得出点G在点F上方，连接BG、EG，设BG、EF交于点K，得出△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF＝KF＝x，BK＝x，EK
＝2﹣KF＝2﹣x，GK＝EG＝（2﹣x），BG＝GK+BK＝（2+x），证明△BEG∽△CEF，得出＝，得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）如图1，连接EF，F A，
∵CE为圆的切线且又和EB垂直，
∴CE∥AF
∴∠CEF＝∠AFE；
又∵∠AFE＝∠FEB，
∴∠CEF＝∠BEF，
∴EF为∠BEC的平分线；
∵∠EFB＝90°，
∴EF⊥BC，
∴BE＝CE
∴△BEC为等腰三角形，
∴BF为BC的一半；
∵EA∥CF，
∴四边形CEAF为平行四边形，
即AE＝CF＝2.5；
（2）解：∵FH∥BE，FH⊥CE，
∴BE⊥CE，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DEC，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
∵AB＝2，AD＝5，
∴CD＝AB＝2，
∴＝，
∴AE＝1或AE＝4．
（3）连接EF、OF、OG，如图3所示：
则∠BFE＝90°，
设AE＝x，则EF，＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5﹣x，
若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°，
连接BG、EG，设BG、EF交于点K，
∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形，
∴BF＝KF＝x，BK＝x，EK＝2﹣KF＝2﹣x，
在等腰直角△EGK中，根据勾股定理得：GK＝EG＝（2﹣x），BG＝GK+BK＝（2+x），又∵∠EBG＝∠EFG＝∠FCH，
∴△BEG∽△CEF，
∴＝，即＝，
解得：x＝，或x＝，
∴AE的长度是或．
16．（14分）如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，），点D 是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．
（1）求a，c的值；
（2）求线段DE的长度；
（3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？
【分析】（1）：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），求出a、c的值；
（2）由（1）得抛物线解析式：y＝，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，），所以D（2，），DH＝，再证明△ACO∽△EAH，于是＝即＝，解得：EH＝2，则DE＝2；
（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝＝，m ＝时，△MPF面积有最大值．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2+x+c（a≠0），
，
∴a＝﹣，c＝
（2）由（1）得抛物线解析式：y＝
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，）
∴D（2，），
∴DH＝，
令y＝0，即﹣x2+x+＝0，
得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵AE⊥AC，EH⊥AH，
∴△ACO∽△EAH，
∴＝即＝，
解得：EH＝2，
则DE＝2；
（3）找点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣），连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP ＝GF+PF+PN最小，
∴直线GN的解析式：y＝x﹣，
由（2）得E（2，﹣），A（﹣1，0），
∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，
联立
解得
∴F（0，﹣），
∵DH⊥x轴，
∴将x＝2代入直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，
∴P（2，）
∴F（0，﹣）与P（2，）的水平距离为2
过点M作y轴的平行线交FH于点Q，
设点M（m，﹣m2+m+），则Q（m，m﹣）（＜m＜）；∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣m2+m+）﹣（m﹣），S△MFP＝＝
∵对称轴为：直线m＝，
∵开口向下，＜m，
∴m＝时，△MPF面积有最大值为..。