现代控制理论课件(第九章)

an1
an 2

ann

bn1
bn 2

bnp

34
输出变量方程
y1 c11x1 c12x2 c1nxn d11u1 d1pup y2 c21x1 c22x2 c2nxn d21u1 d2 pup
第九章
状态空间分析方法
1
引言：前面几章所学的内容称为经典控制理论；
下面要学的内容称为现代控制理论。两者作一简 单比较。
经典控制理论 (50年代前)
现代控制理论 (50年代后)
研究对象
单输入单输出的线 可以比较复杂 性定常系统
数学模型 数学基础
传递函数 (输入、输出描述)
运算微积、复变函 数
状态方程 (可描述内部行为)

x&2
=
3
4
1


x2

+
1

v
z& 2 1 -1 z 0
x1
y y1 2
1
0

x2

z
31
多输入-多输出系统
图9-6 多变量系统
32
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b1pu p
1
R(s) 1
1
s3 3s2 2s 1
s(s 1)(s 2)
则：
y(3) 3y(2) 2y& y r
取：
xx12

y x&1
y&
x3 x&2 y(2)
19
得： 其中：
x&1 x2

x&2

x3

x&3

x1

2x2

3x3

sx1 sx2
x1 2
x2
x2 2x1

3x3
+u

y
sx3 x3 2x1 x2 +u y

g
x1 x1 x2
g x2 2x1 2x2 3x3 +u y
g

x3

2x1

x2

x3 +u

y

g
x1

x1

• 10. 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统 BIBO稳定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方 法和判别系统BIBO稳定的方法。
• 11. 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在 的条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 稳定性分析。
5
§9-1 状态空间方 法基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来 设计和分析单输入、单输出系统。
组变量
x1(t)。, , xn (t)
7
状态向量：
如果完全描述一个给定系统
x1 t

x2

t


的动态行为需要n个状态变量， 那么状态向量定义为X(t)

X t




xn t
状态空间：由X (张t) 成的n维向量空间。
对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一个 点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间中的 一条轨迹。
线性代数、矩阵理论
设计方法的 非唯一性、试凑成 设计的解析性，与计
特点
份多, 经验起很大 算机结合，主要在时 作用。主要在复数 间域进行。
域进行。
2
基本要求
• 1. 掌握由系统输入—输出的微分方程式、系统 动态结构图、及简单物理模型图建立系统状态 空间模型的方法。
• 2. 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由 时域和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握 由动态方程计算传递函数的公式。
解： 串联后输入 u2，为输出为 y1。
y2 u1= u1=
27
g




0 -3
1 -4



Βιβλιοθήκη 0 1g
2 u2

g
1

0
1
01 0
g
2 g

=

-3 0
-4 0
1

0 1 0 0
0
x1

x2


0
0
1
0



0 0
x


,A









,B







xn
0 0 0 1 a0 a1 a2 an1
3

x2

x3
26
例6 设系统1和系统2状态空间表达式分别为
系统1：
g



0 -3
1 -4




0
1

u1
系统2：
g


2

u2
y2
y1 -2 1
以 y2 u1 的形式把系统1和系统2串联起来，求串联后的状态
空间表达式。状态变量选为： T T 。
……….
yq cq1x1 cq2x2 cqnxn dq1u1 dqpup
35
y Cx Du
• 在现代控制理论中，用状态变量来 描述系统。采用矩阵表示法可以使 系统的数学表达式简洁明了，为系 统的分析研究提供了有力的工具。
6
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息 的集合。
已知t0 时状态，t t0时的输入，可确定 t t0
时任一变量的运动状况。
状态变量：确定动力学系统状态的最小一
写成
x&

R L
1
C
1 L 0

x




1 L 0



u
11
二、系统的状态空间表达式
单输入-单输出线性定常系统 y n an1 y n1 an2 y n2 a0 y u
若给出 (t=0) 时的初值y(0) 、y(0) 、… 、y(n1) (0) 和
8
例1
• 设一RLC网络如图所示。 回路方程为
e(t)

Ri(t)

L
di(t) dt

1 C

i(t)dt
图9-2 RLC网络
9
选择状态变量
x1(t) i(t) x2 (t) i(t)dt
则有
x&1

R L
x1

1 LC
x2

1 L
e
x&2 x1
写成
x&

R L

x2
g x2 x2 +u
g

x3

4x3 +u
25

g
x1

1
1

g
x2

=

0
1
0 x1 0
0

x2



1

u
g

x2

0
0 4 x3 1
x1
y 2
1

x3

2 s
x1
21
y x1 x2 u

sx1 3x1 sx2 x2

u u

x3 x3
sx3 2x1
g x1 3x1 u x3

g
x2 x2
u x3
g

x3

2x1
22

g
x1
=-3x1

x3 +u
x1

x2


0 3
1 x1 4x 2


0 1u
y 2
1

x1 x2

( A2 , B2 , C2 )
z z u2 y2 z
将两系统反馈联接（如图）所示。
试求：整个系统的状态空间表达式。
30
解：
ut , t 0 就可确定系统行为。
选取状态变量
x1 y, x2 y, , xn yn1
12
x&1 x2 x&2 x3
M x&n1 xn x&n a0 x1 a1x2 an1xn u （9-17）
13
或写成
x& Ax Bu

g
x2 =-x2 x3 +u
g

x3

2x1
y x1 x2 u

g
x1
g
x2
g
x3




3 0 2
0 1 0
1 x1 1
1

x2



1

u
0 x3 0

xx&&12

0


2
1
2


x1 x2


0
2

u
17
输出
y 1
0

x1 x2

图9-4 例9-3系统的结构图
18
例3 设某控制系统的结构图如图，试写出系统的状态空间表 达式
解：
1
Y(s) s(s 1)(s 2)
• 3. 正确理解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性 变换前、后动态方程各矩阵的关系。
• 4. 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌 握和运用可控性判据和可观性判据。
3
• 5. 熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法, 能将可 控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控 性分解。
• 6. 正确理解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性 的问题转化为对偶系统的可控性问题来研究。


2

+

0

u2
2 1
由 y1 -2 1 得：
1
y1 -2
1
0


2


28
也可以先画图再求解
29
有两个单输入单输出系统 (A1, B1, C1) 和(A2 , B2 , C2 ) ，
其中 (A1, B1, C1 ) ：
• 7. 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可 控、可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标 准形实现、可观性标准形实现的构成方法。
• 8. 正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响, 正 确理解状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。
4
• 9. 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状态 值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点配置 和观测器极点配置。
y1, y2 , , yq
为状态变量； 为输入量； 为输出变量。
33
矩阵形式：
x& Ax Βu
式中
a11 a12 a1n
b11 b12 b1p
A a21
a22

a2n

B b21
b22

b2
p


1 CL

x


1 L

u
1 0 0
输出
y (t )

c(t )

1 C
x2
0
1 C

x
10
若选另一组状态变量
x1(t) i(t)
1 x2 (t) C i(t)dt
则有
x&1

R L
x1

1 L
x2

1 L
e(t)
x2

1 c
x1

x&1
x&2


0 3
1 4

x1 x2


10（
+z）
(u1

y2

z)
x&1 x2
x&2=-3x1 4x2 +z
z& z u2 = z 2x1 x2
x&1 0 1 0 x1 0

r
X& AX Br
0
A


0
-1
1 0 0 1 -2 -3
0 B 0
1
C 1 0 0
20
例4 一线性定常系统结构图如图所示，试列写出其动态方程。
解：

x1


s
1
[u 3

x3 ]

x2


s
1 [u 1

x3 ]
x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21u1 b2 pu p
………
xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1u1 bnpu p
x1, x2 , , xn
u1, u2 , , u p
1
（9-19）
14
系统结构图如图所示
x&n
图9-3
15
例2
考虑用下列常微分方程描述的系统 &y& 2 y&2 y 2u
输入为 u ，输出为y 。 试求系统的状态方程和输出方程。
16
解：
取状态变量 x1 y, x2 y&
状态方程为 写成
x&1 x2
x&2 2x1 2x2 2u

x1
y (1
1
0)

x2


u
x3
23
例5 根据图中所给的系统状态 x1、x2、x3, 求系统动态方程。
解：

x1

s
1 1
x2

x2


s
1
2
(u

y

2x1

3x3 )

x3

1 u
s 1

y
2x1

x2
24
y 2x1 x2 3x3