(word完整版)高中数学选修2-1知识点+例题+习题(师),推荐文档

高中数学选修2－1复习 第一章：命题与逻辑结构
知识点：
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.
4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.
5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”.
6、四种命题的真假性：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．
当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题． 用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．
当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．
对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．
若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示． 含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”． 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示． 含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．
10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝．全称命题的否定是特称命题． 考点：1、充要条件的判定 2、命题之间的关系 典型例题：
★1．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是
A ．1a b >+
B ．1a b >-
C ．22
a b >
D ．33
a b >
★2．已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则⌝P 为
A ．∀n ∈N ，2n ≤1000
B ．∀n ∈N ，2n ＞1000
C ．∃n ∈N ，2n ≤1000
D ．∃n ∈N ，2n ＜1000 ★３．"1""||1"x x >>是的
A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
【基础训练A 组】 一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
A ．周期函数的和是周期函数吗？
B ．0sin 451=
C ．2
210x x +-> D ．梯形是不是平面图形呢？ 解析：B 可以判断真假的陈述句
2．在命题“若抛物线2
y ax bx c =++的开口向下，则{}
2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真 B ．都假 C ．否命题真 D ．逆否命题真 解析：D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题
3．有下述说法：①0a b >>是2
2
a b >的充要条件. ②0a b >>是
b
a 1
1<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：A ①2
2
0a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 ②0a b >>⇒b
a 1
1< ，仅仅是充分条件； ③3
3
0a b a b >>⇒>，仅仅是充分条件 4．下列说法中正确的是（ ）
A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价
C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则22
0a b +≠” D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：D 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性
5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2
(1)20x a x a +++-=的一个根大于零, 另一根小于零,则A 是B 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：A :,120A a R a a ∈<⇒-<，充分，反之不行
6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：A :12,31p x x ⌝+≤-≤≤，2
2
:56,560,3,2q x x x x x x ⌝-≤-+≥≥≤或 p q ⌝⇒⌝，充分不必要条件
二、填空题
1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

解析：若,a b 至少有一个为零，则a b ⋅为零
2．12:,A x x 是方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b
B x x a
+=-
,则A 是B 的 条件。

解析: 充分条件 A B ⇒
3．用“充分、必要、充要”填空：
①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的_____________________条件； ②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件；
③:23A x -<, 2
:4150B x x --<, 则A 是B 的___________条件。

解析：必要条件；充分条件；充分条件，:15,:219219,A x B x A B -<<-<<+⊆ 4．命题“2
230ax ax -->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是_______。

解析：[3,0]- 2
230ax ax --≤恒成立，当0a =时，30-≤成立；当0a ≠时， 2
4120
a a a <⎧⎨
∆=+≤⎩得30a -≤<；30a ∴-≤≤
5．“a b Z +∈”是“2
0x ax b ++=有且仅有整数解”的__________条件。

解析：必要条件 左到右来看：“过不去”，但是“回得来” 三、解答题
1．对于下述命题p ，写出“p ⌝”形式的命题，并判断“p ”与“p ⌝”的真假：
（1） :p 91()A B ∈I （其中全集*
U N =，{}|A x x =是质数，{}
|B x x =是正奇数）. （2） :p 有一个素数是偶数；. （3） :p 任意正整数都是质数或合数； （4） :p 三角形有且仅有一个外接圆.
解：解：（1） :91,91p A B ⌝∉∉或；p 真，p ⌝假；
（2） :p ⌝每一个素数都不是偶数；p 真，p ⌝假；
（3） :p ⌝存在一个正整数不是质数且不是合数；p 假，p ⌝真；
（4） :p ⌝存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆。

2．已知命题),0(012:,64:22
>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。

解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或
{}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或
而,p q A
⌝⇒∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪
+≤∴<≤⎨⎪>⎩。

3．若222
a b c +=，求证：,,a b c 不可能都是奇数。

证明：假设,,a b c 都是奇数，则2
2
2
,,a b c 都是奇数得22a b +为偶数，而2
c 为奇数，即222a b c +≠，与
222a b c +=矛盾 所以假设不成立，原命题成立
4．求证：关于x 的一元二次不等式2
10ax ax -+>对于一切实数x 都成立的充要条件是04a <<
证明：2
10(0)ax ax a -+>≠恒成立2
40
a a a >⎧⇔⎨∆=-<⎩ 04a ⇔<<
【综合训练B 组】 一、选择题
1．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 假
C ．q 真
D ．不能判断q 的真假
解析：B “p ⌝”为假，则p 为真，而p q ∧（且）为假，得q 为假 2．下列命题中的真命题是（ ） A ．
3是有理数 B ．2
2
是实数 C ．e
是有理数
D ．{}
|x x 是小数R
解析： B 2
2
属于无理数指数幂，结果是个实数；3和e 都是无理数；{}
|x x R =是小数
3．有下列四个命题：
①“若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若1q ≤ ,则2
20x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④ 解析：C 若0x y += , 则,x y 互为相反数，为真命题，则逆否命题也为真；
“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等相等” 为假命题； 若1440,q q ≤⇒-≥ 即440q ∆=-≥,则2
20x x q ++=有实根，为真命题
4．设a R ∈，则1a >是
1
1a
< 的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：A 1a >⇒
1
1a
<，“过得去”；但是“回不来”，即充分条件 5．命题：“若2
2
0(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是（ ） A ． 若0(,)a b a b R ≠≠∈，则2
2
0a b +≠ B ． 若0(,)a b a b R =≠∈，则2
20a b +≠ C ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈且，则2
2
0a b +≠ D ． 若0,0(,)a b a b R ≠≠∈或，则2
2
0a b +≠
0,00,00,00,0a b a b a b a b ==≠==≠≠≠其中之一的否定是另外三个
解析：D 0a b ==的否定为,a b 至少有一个不为0
6．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( )
A ．1a b +≥
B ．1a ≥
C ．0.5,0.5a b ≥≥且
D ．1b <-
解析：D 当1,0a b ==时，都满足选项,A B ，但是不能得出1a b +> 当0.5,0.5a b ==时，都满足选项C ，但是不能得出1a b +>
二、填空题
1．有下列四个命题：
①、命题“若1=xy ，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③、命题“若1m ≤，则022
=+-m x x 有实根”的逆否命题； ④、命题“若A B B =I ，
则A B ⊆”的逆否命题。

其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）。

解析：①，②，③ A B B =I ，应该得出B A ⊆
2．已知,p q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，则s 是q 的 ______条件，r 是
q 的 条件，p 是s 的 条件.
解析：充要，充要，必要 ,;,;q s r q q s r q s r r q s r p ⇒⇒⇒⇔⇒⇒⇒⇔⇒⇒ 3．“△ABC 中,若0
90C ∠=,则,A B ∠∠都是锐角”的否命题为 ； 解析：若0
90C ∠≠,则,A B ∠∠不都是锐角 条件和结论都否定
4．已知α、β是不同的两个平面，直线βα⊂⊂b a 直线,，命题b a p 与:无公共点；命题βα//:q ， 则
q p 是的 条件。

解析：必要 q p ⇒ 从p 到q ，过不去，回得来
5．若“[]2,5x ∈或{}|14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的范围是___________。

解析：[)1,2 []2,5x ∈和{}|14x x x x ∈<>或都是假命题，则2,5
14
x x x <>⎧⎨
≤≤⎩或
三、解答题
1．判断下列命题的真假：
（1）已知,,,,a b c d R ∈若,,.a c b d a b c d ≠≠+≠+或则 （2）3
2
,x N x x ∀∈>
（3）若1,m >则方程2
20x x m -+=无实数根。

（4）存在一个三角形没有外接圆。

解：（1）为假命题，反例：14521542≠≠+=+，或，而 （2）为假命题，反例：3
2
0,x x x =>不成立 （3）为真命题，因为1440m m >⇒=-<⇒V 无实数根
（4）为假命题，因为每个三角形都有唯一的外接圆。

2．已知命题2:6,:p x x q x Z -≥∈且“p q 且”与“非q ”同时为假命题，求x 的值。

解：非q 为假命题，则q 为真命题；p q 且为假命题，则p 为假命题，即
2
6,x x x Z -<∈且，得22
60
,23,60
x x x x Z x x ⎧--<⎪-<<∈⎨-+>⎪⎩ 1,0,1,2x ∴=-或 3．已知方程22
(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。

解：令2
2
()(21)f x x k x k =+-+，方程有两个大于1的实数根
22(21)40
21
1
2(1)0
k k k f ⎧∆=--≥⎪
-⎪⇔->⎨⎪
>⎪⎩即104k <≤ 所以其充要条件为104k <≤ 4．已知下列三个方程：2
2
2
2
4430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围。

解：假设三个方程：2
2
2
2
4430,()0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=都没有实数根，则
2122
22
1(4)4(43)0(1)40
(2)4(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩ ，即3
1221,1320
a a a a ⎧-<<⎪⎪
⎪><-⎨⎪-<<⎪⎪⎩
或 ，得312a -<<- 3,12
a a ∴≤-≥-或。

选修2-1 第二章：圆锥曲线
知识点：
1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210x y a b a b +=>> ()22
22
10y x a b a b +=>> 范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B
()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c
()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==-
对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称
离心率
()2
2101c b e e a a
==-<<
4、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
5、双曲线的几何性质： 焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程
()22
2210,0x y a b a b -=>> ()22
2210,0y x a b a b
-=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈
顶点 ()1,0a A -、()2,0a A
()10,a A -、()20,a A
轴长 虚轴的长2b = 实轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==+
对称性
关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称
离心率
()2
211c b e e a a
==+>
渐近线方程
b y x a =±
a y x b
=± 8、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．
9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即
2p AB =．
10、抛物线的几何性质：
标准方程
22y px =
()0p >
22y px =- ()0p > 22x py = ()0p > 22x py =-
()0p >
图形
顶点
()0,0
对称轴
x 轴
y 轴
焦点
,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭ ,02p F ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
0,2p F ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
0,2p F ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
准线方程
2
p
x =-
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
离心率
1e =
范围
0x ≥ 0x ≤
0y ≥ 0y ≤
考点：1、圆锥曲线方程的求解
2、直线与圆锥曲线综合性问题
3、圆锥曲线的离心率问题 典型例题：
★★1．设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离
心率的取值范围为
A ．(0,2)
B ．(1,2)
C ． 2
(
,1)2
D ．(2，)+∞
★★★2．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。

点(,)P a b 满足212||||.PF F F =
（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆22
(1)(3)16x y ++-=相交于M ，N 两点，
且5
||||8
MN AB =
，求椭圆的方程。

[基础训练A 组] 一、 选择题
1.已知椭圆
116
252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7
解析：D 点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a =-=
2．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
A ．
116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125
162
2=+y x D ．以上都不对 解析：C 2
2
2
2218,9,26,3,9,1a b a b c c c a b a b +=+====-=-=
得5,4a b ==，2212516x y ∴
+=或125
162
2=+y x 3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线 解析：D 2,2PM PN MN -==而，P ∴在线段MN 的延长线上
4．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
解析： C 22222
22,2,2,2a c c c a e e c a
===== 5．抛物线x y 102
=的焦点到准线的距离是（ ） A ．
25 B ．5 C ．2
15
D ．10 解析：B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p
6．若抛物线2
8y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。

A ．(7,14)± B ．(14,14)± C ．(7,214)± D ．(7,214)-±
解析：C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离，得7,214P p x y ==± 二、填空题
1．若椭圆2
21x my +=的离心率为
3
2
，则它的长半轴长为_______________. 解析：1,2或 当1m >时，
22
1,111
x y a m
+==； 当01m <<时，22222
223111,1,,4,21144y x a b e m m a a a m m
-+===-===== 2．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________。

解析：
22
1205
x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠，焦距2210,25c c == 当0λ>时，
221,25,2044x y λλλλλ-=+==；当0λ<时，2
21,()25,2044
y x λ
λλλλ-=-+-==---
3．若曲线
22141x y k k
+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。

解析：(,4)(1,)-∞-+∞U (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或
4．抛物线x y 62
=的准线方程为＿＿＿＿＿.解析：32x =-
326,3,22
p p p x ===-=- 5．椭圆552
2
=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。

解析：1 焦点在y 轴上，则2225
1,14,151y x c k k k
+==-== 三、解答题
1．k 为何值时，直线2y kx =+和曲线2
2
236x y +=有两个公共点？有一个公共点？
没有公共点？ 解：由22
2
236
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩，得2223(2)6x kx ++=，即22
(23)1260k x kx +++=
22214424(23)7248k k k ∆=-+=- 当272480k ∆=->，即66,33
k k >
<-或时，直线和曲线有两个公共点； 当2
72480k ∆=-=，即66,33
k k =
=-或时，直线和曲线有一个公共点； 当2
72480k ∆=-<，即66
33
k -
<<时，直线和曲线没有公共点。

2．在抛物线2
4y x =上求一点，使这点到直线45y x =-的距离最短。

解：设点2
(,4)P t t ，距离为d ，22445
445
17
17
t t t t d ---+==
当12t =时，d 取得最小值，此时1(,1)2P 为所求的点。

3．双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。

解：由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -，可设椭圆方程为22
22
125
y x a a +=-； 双曲线方程为2222125y x b b +=-，点(3,4)P 在椭圆上，2
22
1691,4025
a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为2
25b y x b =
-，即22
43,1625b b b =
⨯=-
所以椭圆方程为
2214015y x +=；双曲线方程为22
1169
y x += 4．若动点(,)P x y 在曲线
22
21(0)4x y b b
+=>上变化，则22x y +的最大值为多少？ 解：设点(2cos ,sin )P b θθ，2
2
2
24cos 2sin 4sin 2sin 4x y b b θθθθ+=+=-++ 令2
2,sin ,(11)T x y t t θ=+=-≤≤，2
424,(0)T t bt b =-++>，对称轴4
b t = 当
1,44b b >>即时，max 1|2t T T b ===；当01,044
b
b <≤<≤即时， 2
max 4
|
44
b t b
T T =
==+ 2
2max 4,04
(2)4
2,4b b x y b b ⎧+<≤⎪∴+=⎨⎪>⎩
[综合训练B 组] 一、选择题
1．如果22
2
=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．()+∞,0
B ．()2,0
C ．()+∞,1
D ．()1,0
解析：D 焦点在y 轴上，则2221,20122y x k k k +=>⇒<< 2．以椭圆
116
252
2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ） A ．
1481622=-y x B ．127922=-y x C ．1481622=-y x 或12792
2=-y x D ．以上都不对 解析：C 当顶点为(4,0)±时，22
4,8,43,
11648x y a c b ===-=； 当顶点为(0,3)±时，22
3,6,33,
1927
y x a c b ===-= 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2
1π
=
Q PF ，则双曲线的离心率
e 等于（ ）A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+
解析：C Δ12PF F 是等腰直角三角形，21212,22PF F F c PF c ===
121
2,2222,2121
c PF PF a c c a e a -=-==
==+- 4．21,F F 是椭圆17
92
2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7 B ．
47 C ．2
7
D ．257
解析：C 12122122,6,6F F AF AF AF AF =+==-
22202
2112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+
2211117
(6)48,,2
AF AF AF AF -=-+=1727222222S =⨯⨯⨯
= 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622
2
=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（ ）
A ．2
3x y =或2
3x y -= B ．2
3x y = C ．x y 92
-=或2
3x y = D ．2
3x y -=或x y 92
= 解析：D 圆心为(1,3)-，设2
2
112,,6
3x py p x y ==-=-
； 设229
2,,92
y px p y x === 6．设AB 为过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）
A ．2
p
B ．p
C ．p 2
D ．无法确定 解析：C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,,2
p
x y p ==±min 2AB p =
二、填空题
1．椭圆
22189x y k +=+的离心率为1
2，则k 的值为______________。

解析：54,4-或 当89k +>时，22
2891,484c k e k a k +-==
==+； 当89k +<时，22
29815,944
c k e k a --==
==- 2．双曲线22
88kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。

解析：1- 焦点在y 轴上，则22811,()9,181y x k k k k k
-=-+-==--- 3．若直线2=-y x 与抛物线x y 42
=交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。

解析：(4,2) 22
1212124,840,8,442
y x x x x x y y x x y x ⎧=-+=+=+=+-=⎨=-⎩
中点坐标为1212
(
,)(4,2)22
x x y y ++= 4．对于抛物线2
4y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

解析：(],2-∞ 设2(,)4t Q t ，由PQ a ≥得222222
(),(168)0,4
t a t a t t a -+≥+-≥
2
2
1680,816t a t a +-≥≥-恒成立，则8160,2a a -≤≤
5．若双曲线
142
2=-m
y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 解析：(7,0)± 渐近线方程为2
m
y x =±
，得3,7m c ==，且焦点在x 轴上 6．设AB 是椭圆22
221x y a b +=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则
AB OM k k ⋅=____________。

解析：22b a - 设1122(,),(,)A x y B x y ，则中点1212
(,)22
x x y y M ++，得2121,AB y y k x x -=-
2121OM
y y k x x +=+，222122
21
AB OM y y k k x x -⋅=-，222222
11,b x a y a b += 2
2
2
2
22
22,b x a y a b +=得2
2
2
2
2
221
21
()()0,b x x a y y -+-=即222
2122221y y b x x a
-=--
三、解答题
1．已知定点(2,3)A -，F 是椭圆
22
11612
x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使2AM MF +取得最
小值。

解：显然椭圆
2211612x y +=的14,2,2
a c e ===，记点M 到右准线的距离为MN 则
1
,22
MF e MN MF MN ===，即2AM MF AM MN +=+ 当,,A M N 同时在垂直于右准线的一条直线上时，2AM MF +取得最小值，
此时3y y M A ==，代入到
22
11612
x y +=得23x M =± 而点M 在第一象限，(23,3)M ∴
2．k 代表实数，讨论方程2
2
280kx y +-=所表示的曲线
解：当0k <时，曲线
22
184y x k
-=-为焦点在y 轴的双曲线； 当0k =时，曲线2
280y -=为两条平行的垂直于y 轴的直线；
当02k <<时，曲线22
184x y k
+=为焦点在x 轴的椭圆； 当2k =时，曲线2
2
4x y +=为一个圆；
当2k >时，曲线
22
18
4y x k
+=为焦点在y 轴的椭圆。

3．双曲线与椭圆
136272
2=+y x 有相同焦点，且经过点(15,4)，求其方程。

解：椭圆2213627y x +=的焦点为(0,3),3c ±=，设双曲线方程为22
2219y x a a
-=- 过点(15,4)，则
22
161519a a
-=-，得24,36a =或，而2
9a <， 2
4a ∴=，双曲线方程为22
145
y x -=。

4.已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。

解：设抛物线的方程为2
2y px =，则22,21
y px
y x ⎧=⎨=+⎩消去y 得
2121221
4(24)10,,24
p x p x x x x x ---+=+=
= 2212121215()4AB k x x x x x x =+-=+-221
5(
)41524
p -=-⨯=， 则
2
23,4120,2,64
p p p p p -=--==-或 22412y x y x ∴=-=，或
选修2-1 第三章：空间向量
知识点：
1、空间向量的概念：
()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．
()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．
()3向量AB u u u r
的大小称为向量的模（或长度）
，记作AB u u u r ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a r 长度相等且方向相反的向量称为a r 的相反向量，记作a -r
．
()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．
2、空间向量的加法和减法：
()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法
则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a r 、b r
为邻边作
平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O u u u r 就是a r 与b r
的和，
这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．
()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：
在空间任取一点O ，作a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则a b BA =-u u u r r
r ．
3、实数λ与空间向量a r 的乘积a λr
是一个向量，称为向量的数乘运
算．当0λ>时，a λr 与a r 方向相同；当0λ<时，a λr 与a r 方向相反；当0λ=时，a λr 为零向量，记为0r ．a
λr
的长度是a r
的长度的
λ倍．
4、设λ，μ为实数，a r ，b r
是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．
分配律：()
a b a b λλλ+=+r r r r ；结合律：()()a a λμλμ=r r
．
5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．
6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a r ，()
0b b ≠r r
，//a b r r 的充要条件是存在实数λ，使
a b λ=r r
．
7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．
8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使
x y C AP =AB +A u u u r u u u r u u u r ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A u u u r u u u r u u u r u u u r
；或若四点P ，A ，B ，C 共
面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=u u u r u u u r u u u r u u u r
．
9、已知两个非零向量a r 和b r ，在空间任取一点O ，作a OA =u u u r r ，b OB =u u u r r ，则∠AOB 称为向量a r ，b r
的夹角，记作,a b 〈〉r r ．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈r
r ．
10、对于两个非零向量a r 和b r ，若,2
a b π〈〉=r r ，则向量a r ，b r
互相垂直，记作a b ⊥r r ．
11、已知两个非零向量a r 和b r ，则cos ,a b a b 〈〉r r r r 称为a r
，b r 的数量积，记作a b ⋅r r ．即
cos ,a b a b a b ⋅=〈〉r r r
r r r ．零向量与任何向量的数量积为0．
12、a b ⋅r r 等于a r
的长度a r 与b r 在a r 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉r r r 的乘积．
13若a r ，b r 为非零向量，e r
为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉r r r r r r r ；
()20a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；()3()
()
a b a b a b a b a b ⎧
⎪⋅=⎨-⎪⎩
r r r r r r r r
r r 与同向与反向，2a a a ⋅=r r r ，a a a =⋅r r r
； ()4cos ,a b a b a b
⋅〈〉=r r r r r r ；()5a b a b ⋅≤r r
r r ．
14量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅r r r r ；()2()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r
；
()3(
)
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅r r r r r r r ．
15、空间向量基本定理：若三个向量a r ，b r ，c r
不共面，则对空间任一向量p r ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++r r r r
．
16、三个向量a r
，b r
，c r
不共面，则所有空间向量组成的集合是
{
}
,,,p p xa yb zc x y z R =++∈r r r r r ．这个集合可看作是由向量a r ，b r ，c r
生成的，
{
}
,,a b c r r r 称为空间的一个基底，a r ，b r ，c r
称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一
个基底．
17、设1e u r ，2e u u r ，3e u r 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e u r ，2e u u r ，3e u r 的公共起点O 为原点，分别以1e u r ，2e u u r ，3e u r 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．
则对于空间任意一个向量p r
，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =u u u r r ．存在有序
实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++u r u u r u r r
．把x ，y ，z 称作向量p r 在单位正交基底1e u r ，2e u u r ，3e u r 下的
坐标，记作(),,p x y z =r ．此时，向量p r
的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．
18、设()111,,a x y z =r ，()222,,b x y z =r ，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++r
r ．
()2()121212,,a b x x y y z z -=---r
r ．
()3()111,,a x y z λλλλ=r
．
()4121212a b x x y y z z ⋅=++r
r ．
()5若a r 、b r
为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=r r r r ．
()6若0b ≠r r ，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===r r r r
．
()
7222111a a a x y z =⋅=++r r r
．
()8121212222222
111222
cos ,x x y y z z a b a b a b x y z x y z ++⋅〈〉==++⋅++r r r r
r r ． ()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则()()()
222
212121d x x y y z z AB
=AB =
-+-+-u u u r
．
19、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP u u u r 来表示．向量OP u u u r
称
为点P 的位置向量．
20、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向
量a r 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =u u u r r ，这样点A 和向量a r
不仅可以确
定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点．
21、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方
向向量分别为a r ，b r
．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+u u u r r r ，这样点O 与
向量a r ，b r
就确定了平面α的位置．
22、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a r ，则向量a r
称为平面α的法向量．
23、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a r ，b r
，则////a b a b ⇔⇔r r
()a b R λλ=∈r r
，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=r r r r ．
24、若直线a 的方向向量为a r ，平面α的法向量为n r ，且a α⊄，则////a a αα⇔r
0a n a n ⇔⊥⇔⋅=r r r r ，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=r r r r r ．
25、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a r ，b r
，则////a b αβ⇔⇔r r
a b λ=r r ，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=r r
r r ．
26、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a r ，b r
，其夹角为ϕ，则有
cos cos a b
a b
θϕ⋅==r r r r ．
27、设直线l 的方向向量为l r ，平面α的法向量为n r
，l 与α所成的角为θ，l r 与n r 的夹角为ϕ，则有
sin cos l n
l n
θϕ⋅==r r r r ．
28、设1n u r ，2n u u r 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n u r ，2n u u r
的夹角（或其补角）就是二
面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则12
12
cos n n n n θ⋅=u r u u r u r u u r ．
29、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB u u u r
的模AB u u u r 计算．
30、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n r
，则定点A 到直线l 的距离为
cos ,n d n n
PA ⋅=PA 〈PA 〉=u u u r r u u u r u u u r r
r ．
31、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n r
为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离
为cos ,n d n n
PA ⋅=PA 〈PA 〉=u u u r r u u u r u u u r r
r ．
考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直
2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题 典型例题：
★★1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 。

★★★2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.
（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．
★★★3.如图，在五棱锥P —ABCDE 中，⊥PA 平面ABCDE ，AB//CD ，AC//ED ，AE//BC ，
42,22,45===︒=∠AE BC AB ABC ，三角形PAB 是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积。

[基础训练A 组] 一、选择题
1．下列各组向量中不平行的是（ ）
A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a ρρ
B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c ρρ
C ．)0,0,0(),0,3,2(==f e ρρ
D ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g ρρ
解析：D 2//;3//;b a a b d c d c =-⇒=-⇒r r r r u r r u r r
而零向量与任何向量都平行
2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(-- 解析：A 关于某轴对称，则某坐标不变，其余全部改变
3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（ ） A ．2 B ．2- C ．2-或552
D ．2或552-
解析：C 2682
cos ,,2,9
5535a b a b a b λλλ-<>==
==-+r r
r r g r r 或 4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）
A ．不等边锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
解析：A (3,4,2),(5,1,3),(2,3,1)AB AC BC ===-u u u r u u u r u u u r
，0AB AC >u u u r u u u r g ，得A 为锐角；
0CA CB >u u u r u u u r g ，得C 为锐角；0BA BC >u u u r u u u r g ，得B 为锐角；所以为锐角三角形
5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当
B
A ρ取最小值时，x 的值等于（ ）
A ．19
B ．78
-
C ．78
D ．1419
解析： C 222
(1,23,33),(1)(23)(33)AB x x x AB x x x =---+=-+-+-+u u u r u u u r
2
143219x x =-+，当8
7
x =时，B A ρ取最小值
6．空间四边形OABC 中，OB OC =，
3AOB AOC π
∠=∠=
，则cos <,OA BC u u u r u u u r
>的值是（ ）
A ．21
B ．22
C ．－21
D ．0
解析：D cos cos ()33cos ,0OA OC OA OB OA BC OA OC OB OA BC OA BC OA BC OA BC
ππ--<>====u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
二、填空题
1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r r
r g
__________________。

解析：212- 23(10,13,14)a b -=--r r ，2(16,4,0)a b +=-r r
2．若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ
++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。

解析：．垂直 (2,1,1),(4,9,1),0a b a b a b =-==⇒⊥r r r r r r
g
3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r
b ρ则=x ______。

解析：10,63-若a ⊥r b ρ，则108230,3
x x --+==；若//a r b ρ
，则2:(4)(1):23:,6x x -=-==-
4．已知向量
,3,5k r j i b k j i m a ρρρρρρρρ
++=-+=若//a r b ρ则实数=m ______，=r _______。

解析：115,5- 511
(,5,1),(3,1,),,15,315m a m b r m r r -=-===
==-r r 5．若(3)a b +⊥r r )57(b a ρρ-，且(4)a b -⊥r r )57(b a ρρ-，则a ρ与b ρ的夹角为____________。

解析：0 222222716150,733200,4935,4935a a b b a a b b a b b a a b +-=-+===r r r r r r r r r r r r r r
g g g g 得
223535353549,,cos ,14949
49b
a b
a b a b b a b b a b a b
a
==<>=
==
=r r
r r r r r r r r g g r r r r r r 6．若
19(0,2,
)8A ，5(1,1,)8B -，5
(2,1,)
8C -是平面α内的三点，设平面α的法向量),,(z y x a =ρ，则
=z y x ::________________。

解析：2:3:(4)- 77(1,3,),(2,1,),0,0,44
AB AC AB AC αα=--=---==u u u r u u u r u
r u u u r u r u u u r g g
2243
,::::()2:3:(4)4333x y x y z y y y z y
⎧
=⎪⎪=-=-⎨
⎪=-⎪⎩
7．已知空间四边形OABC ，点,M N 分别为,OA BC 的中点，且c C O b B O a A O ρρρρρρ===,,，用a ρ
，b ρ，c ρ表
示N M ρ，则N M ρ=_______________。

解析：1()2b c a +-r r r 11()22
MN ON OM b c a =-=+-u u u u r u u u r u u u u r r r r
8．已知正方体
1111
ABCD A B C D -的棱长是1，则直线
1
DA 与AC 间的距离为 。

解析：3
3 11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A C D A AC DA ==-u u u r u u u u r 设1(,,),,,0,0,MN x y z MN AC MN DA x y y z y t =⊥⊥+=-+==u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r 令
则(,,)MN t t t =-u u u u r ，而另可设
(,,0),(0,,),(,,)M m m N a b MN m a m b =--u u u u r
1,(0,2,),21,3m t
a m t N t t t t t
b t
-=-⎧⎪
-=+==⎨⎪=⎩
，1111113(,,),3339993MN MN =-=++=u u u u r u u u u r
空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）
1．已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，
⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且
12PA AD DC ===
，
1AB =，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

证明：以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
1
(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)
2A B C D P M .
（Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故
由题设知AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面
PCD 上，故面PAD ⊥面PCD .
（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=⋅⋅>=<=⋅==PB AC PB
AC PB AC PB AC PB AC 所以故
（Ⅲ）解：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=
..
21
,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC
要使
14
,00,.
25AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得 0
),52
,1,51(),52,1,51(,.
0),52
,1,51(,54=⋅-===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ
ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为
所求二面角的平面角.
30304
||,||,.
555
2
cos(,).3||||2
arccos().
3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r Q g u u u r u u u r
u u u r u u u r g u u u
r u u u r 故所求的二面角为
2．如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明：AB ⊥平面VAD ；
（Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小． 证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. （Ⅰ）证明：不防设作(1,0,0)A ，
则(1,1,0)B ， )
23,0,21(V ， )
23,0,21(),0,1,0(-==VA AB
由,0=⋅VA AB 得AB VA ⊥，又AB AD ⊥，因而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA ，AD 都垂直. ∴
AB ⊥平面VAD .
（Ⅱ）解：设E 为DV 中点，则)43
,0,41(E ， ).
23
,0,21(),43,1,43(),43,0,43(=-=-=DV EB EA
由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=⋅又得 因此，AEB ∠是所求二面角的平面角，
,7
21
|
|||),cos(=
⋅⋅=
EB EA EB EA EB EA
解得所求二面角的大小为
.721arccos
3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，
D
C V
侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =，
E 为PD 的中点.
（Ⅰ）求直线AC 与PB 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出点N 到AB 和AP 的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、
(3,0,0)B 、(3,1,0)C 、(0,1,0)D 、
(0,0,2)P 、1
(0,,1)
2E ，
从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则
,14
7
37
23|
|||cos =
=
⋅⋅=
PB AC PB AC θ
∴AC 与PB 所成角的余弦值为147
3.
（Ⅱ）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则
)
1,21
,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC 可得，
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.
0,
0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x
即N 点的坐标为)1,0,63(
，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为3
1,
6.
4．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面
1AEC F
所截面而得到的，其中
14,2,3,1
AB BC CC BE ====.
（Ⅰ）求BF 的长； （Ⅱ）求点C 到平面1AEC F
的距离.
解：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B
1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)
A C E C 设(0,0,)F z .
∵
1AEC F
为平行四边形，
.62,62||).
2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,
11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴
（II ）设1n 为平面
1AEC F
的法向量，
)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ⎩⎨
⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由
⎪⎩
⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.
41,
1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α，则 .33
33
4116
1
133|
|||cos 1111=++
⨯=
⋅⋅=
n CC n CC α。