立体几何经典大题(各个类型的典型题目)

1．如图，已知△ABC 是正三角形，EA ，CD 都垂直于平面ABC ，且EA ＝AB ＝2a ，DC ＝a ，F 是BE 的中点．
（1）FD ∥平面ABC ；（2）AF ⊥平面EDB ．
2．已知线段PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点。

（1）求证：MN //平面PAD ； （2）当∠PDA ＝45°时，求证：MN ⊥平面PCD ；
F C
B
A
E
D
A B C D E
F 3．如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点．求证： （1）直线EF// 面ACD ； （2）平面⊥EFC 面BCD ．
4．在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC （1）若D 是BC 的中点，求证 AD ⊥CC 1；
（2）过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1， 求证 截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；
（3）AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗？请你叙述判断理由
]
立体几何大题训练(3)
C
1
5. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、G 分别是A 1A ，D 1C ，AD 的中点． 求证：（1）MN//平面ABCD ； （2）MN ⊥平面B 1BG ．
6. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 为棱AD 、AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面CB 1D 1；
（2）求证：平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．
立体几何大题训练(4)
7、如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AB=4，BC=CD=2，AA 1=2，
_ G
_ M _ D
_1
_ C
_1
_ B
_1
_ A
_1
_ N
_ D _ C
_ B _ A
B
A 1
F
E、E1分别是棱AD、AA1的中点
(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥面FCC1；
(2)证明：平面D1AC⊥面BB1C1C。

8．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a2，点E，
F分别在PD，BC上，且PE：ED=BF：FC。

（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求证：EF//平面PAB。

立体几何大题训练(5)
9．如图，在三棱锥P-ABC中，PA=3，AC=AB=4，PB=PC=BC=5，D、E分别是BC、AC的中点，F为
PC 上的一点，且PF :FC=3:1． （1）求证：PA ⊥BC ；
（2）试在PC 上确定一点G ，使平面ABG ∥平面DEF ； （3）求三棱锥P-ABC 的体积．
10、直三棱柱111C B A ABC -中，11===BB BC AC ，31=AB ．
（1）求证：平面⊥C AB 1平面CB B 1； （2）求三棱锥C AB A 11-的体积．
立体几何大题训练(6)
A
P
B
C
D E
F
A
B
C
C
A
B
11、如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都是2，D 、E 分别为CC 1、A 1B 1的中点． （1）求证C 1E ∥平面A 1BD ； （2）求证AB 1⊥平面A 1BD ；
12.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=2，AA 1=1，D 是BC 的中点，点P 在平面BCC 1B 1内，PB 1=PC 1=.2 （I ）求证：PA 1⊥BC ；（II ）求证：PB 1//平面AC 1D ；
立体几何大题训练(7)
13.如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒
∠=，2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，
E
D
C
B 1
C
1 A 1 A
B
使平面EDB ⊥平面ABD
（I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。

14. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,侧棱PA PD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中
//BC AD ,090BAD ∠=,3AD BC =,O 是AD 上一点. (Ⅰ)若//CD PBO 平面,试指出点O 的位置； (Ⅱ)求证:PAB PCD ⊥平面平面.
立体几何大题训练(8)
15 、如图所示：四棱锥P-ABCD 底面一直角梯形，BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，PA ⊥底面ABCD ，
E 为PC 的中点.
O
P
D
C
B
A
第14题
（1）证明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，证明：BE⊥平面PDC；
16．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。

（I）求证：CD⊥平面A1ABB1；
（II）求证：AC1//平面CDB1。

立体几何大题训练(9)
17．如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，BE＝BC，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；
D C
（2）求证：AE ∥平面BFD ．
18．如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，1AB BB =，1AC ⊥平面D BD A ,1为AC 的中点． （1）求证：//1C B 平面BD A 1； （2）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；
（3）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面BDE ，并说明理由．
立体几何大题训练(10)
19．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AB AC =，D 、E 分别为BC 、C B 1的中点，
（1）求证：11//DE ABB A 平面； （2）求证：1ADE B BC ⊥平面平面
A 1
B 1
C 1
A
B C
D
20．如图，E 、F 分别为直角三角形ABC 的直角边AC 和斜边AB 的中点，沿EF 将AEF ∆折起到'A EF ∆的位置，连结'A B 、'A C ，P 为'A C 的中点． （1）求证：//EP 平面'A FB ；
（2）求证：平面'A EC ⊥平面'A BC ；
立体几何大题训练(11)
21．如图，四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且E 、O 分别为PC 、BD 的中点．
求证：（1）EO ∥平面PAD ； （2）平面PDC ⊥平面PAD ．
P
22．在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ； （Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ； （Ⅲ）求证CE ∥平面PAB ．
立体几何大题训练(12)
23.在四棱锥ABCD O -中，底面ABCD 为菱形，ABCD OA 平面⊥,E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，连接EF ，求证：
P A B
C
D
E
F
（1） BDO ACO ⊥平面平面 (2) OCD EF 平面直线//
24、已知：等边ABC ∆的边长为2，E D ,分别是AC AB ,的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使DB AD ⊥，连
AC AB ,,得如图所示的四棱锥BCED A -
(Ⅰ)求证：⊥AC 平面ABD (Ⅱ)求四棱锥BCED A -的体积
立体几何大题训练(13)
25、如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ，
E 是PD 的中点
（1）求证：PB ∥平面AEC
（2）求证：平面PDC ⊥平面AEC
A
B
E
D
C
A
B
C
E D
E
P
26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，11A D B C ⊥。

求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
立体几何大题训练(14)
27、如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点． （1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥；（3）求三棱锥EFC B V -1的体积．
28.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长与侧棱长都是2，,D E 分别是11,BB CC 的中点. （Ⅰ）求三棱柱111ABC A B C -的全面积； （Ⅱ）求证：BE ∥平面1ADC ;
（Ⅲ）求证：平面1ADC ⊥平面11ACC A .
立体几何大题训练(15)
29. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等腰直角三角
形，
C
D B
F
E
D 1
C 1
B 1
A A 1
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
090BAC ∠=，且12AB AA ==，,,D E F 分别为11,,B A C C BC 的中点，
（1）求证：DE //平面ABC ； （2）求证：1B F ⊥平面AEF ； （3）求三棱锥E-AB 1F 的体积。

30．已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝4，E 为 CD 的中点，沿AE 将AED 折起，使DB ＝
O 、H 分别为AE 、AB 的中点．
（1）求证：直线OH//面BDE ； （2）求证：面ADE ⊥面ABCE.
立体几何大题训练(16)
31．（本小题满分14分）已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD=DD 1 =4，AD=AB=2，E 、F 分别为BC 、CD 1中点．
A
B C
D E
A
B
C
D
E O
H
(I)求证：EF ∥平面BB 1D 1D ； (Ⅱ)求证：BC ⊥平面BB 1D 1D ； (Ⅲ)求四棱锥F-BB 1D 1D 的体积.
32、如图，已知AB ⊥平面ACD ACD ∆，DE//AB,是正三角形，2AD DE AB ==，且F 是CD 的中点。

（I ）求证：//AF 平面BCE ；
（II ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
立体几何大题训练(17)
33.如图已知平面,αβ，且,,AB PC αβα=⊥,,PD C D β⊥是垂足． （Ⅰ）求证：AB ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若1,2PC PD CD ===，试判断平面α与平面β的位置关系，并证明你的结论．
A
B C D
E
A 1
B 1
C 1
F
D 1
第31题图
34．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长和侧棱长均为1，1160,BAD BAA DAA ∠=∠=∠=1O 为11A C 中点．
（I ）求证：11//.AO C BD 平面；
（II ）求证：1
BD AC ⊥； （III ）求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积．
立体几何大题训练(18)
35. 如图，正三棱柱111C B A ABC -中，已知1AB AA =，M 为1CC 的中点．
C 1
A
（Ⅰ）求证：1BM AB ⊥；
（Ⅱ）试在棱AC 上确定一点N ，使得1//AB 平面BMN ．
36． 正三棱柱111A B C ABC -中，点D 是BC 的中点，12BC BB =．设11B D BC F =．
（Ⅰ）求证:1A C ∥平面1AB D ;（Ⅱ）求证:1BC ⊥平面1AB D ．
答案与评分标准
1.证明（1）取AB 的中点M ，连FM ，MC ，
∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点，
A
B
C A 1
C 1
B 1
M
∴ FM ∥EA ，FM=
1
2
EA ． ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ，
∴ CD ∥EA ，∴ CD ∥FM ． ………………3分 又 DC=a ，∴FM=DC ．
∴四边形FMCD 是平行四边形，
∴ FD ∥MC ．即FD ∥平面ABC ．……………7分 （2）∵M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形， ∴CM ⊥AB ，又CM ⊥AE ，
∴CM ⊥面EAB ，CM ⊥AF ，FD ⊥AF ， ………………………………11分 又F 是BE 的中点，EA=AB ，∴AF ⊥EB ． 即由AF ⊥FD ，AF ⊥EB ，FD ∩EB ＝F ，
可得AF ⊥平面EDB ． ……………………………………………………14分 2. （1）取PD 的中点E ，连接AE 、EN
∵EN 平行且等于
12DC ，而1
2
DC 平行且等于AM ∴AMNE 为平行四边形MN ∥AE ∴MN ∥平面PAD
（2）∵PA ⊥平面ABCD ∴CD ⊥PA 又
∵ABCD 为矩形 ∴CD ⊥AD, ∴CD ⊥AE ，AE ∥MN ，MN ⊥CD ∵AD ⊥DC ，PD ⊥DC ∴∠ADP=45°, 又E 是斜边的PD 的中点∴AE ⊥PD ， ∴MN ⊥PD ∴MN ⊥CD ，∴MH ⊥平面PCD. 3、证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．
∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，
∵E F ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，
∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD
4、(1)证明 ∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC
∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1
(2)证明 延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N
∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1
∵A 1B 1=A 1C 1，∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1
∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C
(3)解 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性
过M 作ME ⊥BC 1于E ，∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1
∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点
∴AM =DE =2
1
211=
CC AA 1，∴AM =MA 1
5. 证明：（1）取CD 的中点记为E ，连NE ，AE ． 由N ，E 分别为CD 1与CD 的中点可得
NE ∥D 1D 且NE=12
D 1D ， ………………………………2分 又AM ∥D 1D 且AM=1
2
D 1D ………………………………4分
所以AM ∥EN 且AM=EN ，即四边形AMNE 为平行四边形 所以MN ∥AE ， ……………………… ………6分 又AE ⊂面ABCD,所以MN ∥面ABCD ……8分 （２）由AG ＝DE ，90BAG ADE ∠=∠=︒，DA ＝AB
可得EDA ∆与GAB ∆全等 ……………………………10分
所以ABG DAE ∠=∠， ……………………………………………………………11分 又90DAE AED AED BAF ∠+∠=︒∠=∠，，所以90BAF ABG ∠+∠=︒，
所以AE BG ⊥， ………………………………………………12分 又1BB AE ⊥,所以1AE B BG ⊥面， ……………………………………………………13分 又MN ∥AE ，所以MN ⊥平面B 1BG ………………………………………… …15分 6.（1）证明:连结BD .
在长方体1AC 中，对角线11//BD B D . 又
E 、
F 为棱AD 、AB 的中点， //EF BD ∴. 11//EF B D ∴.
又B 1D 1⊂≠ 平面11CB D ，EF ⊄平面11CB D ，∴ EF ∥平面CB 1D 1. （2） 在长方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂≠ 平面A 1B 1C 1D 1，∴ AA 1⊥B 1D 1.
又在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，∴ B 1D 1⊥平面CAA 1C 1. 又
B 1D 1⊂≠ 平面CB 1D 1，∴平面CAA 1
C 1⊥平面CB 1
D 1．
7、证明:（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CDA 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ，
所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1，
所以直线EE 1//平面FCC 1.
（2）连接AC,在直棱柱中，CC 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD, 所以CC 1⊥AC,因为底面ABCD 为等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱AB 的中点,所以CF=CB=BF ，△BCF 为正三角形，
60BCF ∠=︒,△ACF 为等腰三角形，且30ACF ∠=︒
所以AC ⊥BC, 又因为BC 与CC 1都在平面BB 1C 1C 内且交于点C, 所以AC ⊥平面BB 1C 1C,而AC ⊂平面D 1AC, 所以平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.
8．（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=a.在△PAB 中， ∵PA 2+AB 2=2a 2=PB 2,
∴PA ⊥AB ，同时PA ⊥AD ，又AB AD=A ，
E
A
B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
F 1
E
A B
C
F
E 1 A 1
B 1
C 1
D 1
D
∴PA ⊥平面ABCD.……………………4分 （2）作EG//PA 交AD 于G ，连接GF.
………………6分 则
,FC
BF
ED PE GD AG == ∴GF//AB.……………………8分 又PA AB=A ，EG GF=G ，
∴平面EFG//平面PAB ，……………………9分 又EF ⊂平面EFG ，
∴EF//平面PAB.……………………10分 9．(1) 在△PAC 中，∵PA=3，AC=4，PC=5，
∴2
2
2
PC AC PA =+，∴AC PA ⊥；又AB=4，PB=5，∴在△PAB 中， 同理可得 AB PA ⊥
∵A AB AC = ，∴ABC PA 平面⊥ ∵⊂BC 平面ABC ，∴PA ⊥BC.
(2) 如图所示取PC 的中点G ，
连结AG ，BG ，∵PF:FC=3:1,∴F 为GC 的中点 又D 、E 分别为BC 、AC 的中点，
∴AG ∥EF ，BG ∥FD ，又AG∩GB=G ，EF∩FD=F ∴面ABG ∥面DEF 即PC 上的中点G 为所求的点。

（3）5
394
V=
10、（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，
则BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，
又由于AC=BC=BB 1=1，AB 1=3，则AB=2，
则由AC 2
+BC 2
=AB 2
可知，AC⊥BC，
又由上BB 1⊥底面ABC 可知BB 1⊥AC，则AC⊥平面B 1CB ，
所以有平面AB 1C⊥平面B 1CB ； ----------------------------------- 8分 （2）三棱锥A 1—AB 1C 的体积6
1
121311111=⨯⨯=
=--AC A B C AB A V V ．----------14分 11、（1）设AB 1与A 1B 相交于F ，连EF ，DF ．则EF 为△AA 1B 1的中位线，∴EF //=12A 1
A ．……2分 ∵C 1D //=12
A 1A ，∴EF //=C 1
D ，则四边形EFDC 1为平行四边形，∴DF ∥C 1
E ． ……4分 ∵C 1E ⊄平面A 1BD ，D
F ⊂平面A 1BD ，∴C 1E ∥平面A 1BD ． ……6分 （2）取BC 的中点H ，连结AH ，B 1H ，
由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，知AH ⊥BC ， ……8分 ∵B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AH ．∵B 1B ∩BC ＝B ，∴AH ⊥平面B 1BCC 1．∴AH ⊥BD ． ……10分
在正方形B 1BCC 1中，∵tan ∠BB 1H ＝tan ∠CBD ＝
1
2
，∴∠BB 1H ＝∠CBD ．则B 1H ⊥BD ．……12分 ∵AH ⊥∩B 1H ＝H ，∴BD ⊥平面AHB 1．∴BD ⊥AB 1．
在正方形A 1ABB 1中，∵A 1B ⊥AB 1．而A 1B ∩BD ＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BD ． ……14分 12.解：（I ）证明：取B 1C 1的中点Q ，连结A 1Q ，PQ ，
∴△PB 1C 1和△A 1B 1C 1是等腰三角形， ∴B 1C 1⊥A 1Q ，B 1C 1⊥PQ ， …………2分 ∴B 1C 1⊥平面AP 1Q ， …………4分 ∴B 1C 1⊥PA 1， …………6分 ∵BC ∥B 1C 1，∴BC ⊥PA 1. …………7分
（II ）连结BQ ，在△PB 1C 1中，PB 1=PC 1=2，B 1C 1=2，Q 为中点， ∴PQ=1，∴BB 1=PQ ，…………9分
∴BB 1∥PQ ，∴四边形BB 1PQ 为平行四边形， ∴PB 1∥BQ. …………11分 ∴BQ ∥DC 1，
∴PB 1∥DC 1，…………12分 又∵PB 1⊄面AC 1D ，
∴PB 1∥平面AC 1D. …………14分
13.证：（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=
222
2
2
22cos 23,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE
∴=+-⋅∠=∴+=∴⊥
又
平面EBD ⊥平面ABD
平面EBD
平面,ABD BD AB =⊂平面ABD
AB ∴⊥平面EBD
DF ⊂平面,EBD AB DE ∴⊥
（Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥ 在Rt DBE ∆中，23,2DB DE DC AB ====
1
232
ABE S DB DE ∆∴=⋅= 又AB ⊥平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥
1
4,42
ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=
⋅=
,DE BD ⊥平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD
而AD ⊂平面1
,,42
ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=
⋅=
综上，三棱锥E ABD -
的侧面积，8S =+
14. (Ⅰ)解:因为//CD PBO 平面,CD ABCD ⊂平面,且ABCD PBO BO =平面平面,
所以//BO CD ……………………………………………………………………………………………(4分) 又//BC AD ,所以四边形BCDO 为平行四边形,则BC DO =……………………………………(6分) 而3AD BC =,故点O 的位置满足2AO OD =………………………………………………………(8分) (Ⅱ)证: 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ,AB ABCD ⊂底面,且AB AD ⊥交线,
所以AB PAD ⊥平面,则AB PD ⊥…………………………………………………………………(10分) 又PA PD ⊥,且,,PA PAB AB PAB AB
PA A ⊂⊂=面面,所以PD PAB ⊥平面 …………(14分)
而PD PCD ⊂平面,所以PAB PCD ⊥平面平面…………………………………………………(16分) 15、（1）取PD 中点Q ，连EQ 、AQ ，则∵QE ∥CD ，CD ∥AB ，∴QE ∥AB ， 又BE ABEQ AB CD QE ∴∆==
,2
1
是平行四边形∥AQ
又BE PAD AQ ∴⊂平面∥平面PAD
（2）PA ⊥底面ABCD ∴CD ⊥PA ，又CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD ∴AQ ⊥CD 若PA=AD ，∴Q 为PD 中点， ∴AQ ⊥PD ∴AQ ⊥平面PCD ∵BE ∥AQ ，∴BE ⊥平面PCD
16．证明：（I ）证明：∵ABC —A 1B 1C 1是三直棱柱，
∴平面ABC ⊥平面A 1ABB 1，∵AC=BC ，点D 是AB 的中点，
∴CD ⊥AB ，平面ABC ∩平面A 1ABB 1=AB ，∴CD ⊥平面A 1ABB 1。

（II ）证明：连结BC 1，设BC 1与B 1C 的交点为E ，连结DE 。

∵D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴DE//AC 1。

∵DE ⊂平面CDB 1，AC ⊄平面CDB 1， ∴AC 1//平面CDB 1。

17．（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE =AB ，AD ⊥AB ，
∴AD ⊥平面ABE ，AD ⊥AE ．
∵AD ∥BC ，则BC ⊥AE ． 又BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥AE ．
∵BC ∩BF =B ，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥BE ．
（2）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点， ∵BF ⊥平面ACE ，则BF ⊥CE ．
而BC=BE ，∴F 是EC 中点． …………………10分 在△ACE 中，FG ∥AE ，
∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，
G
B
A
D
C
F
E
∴ AE ∥平面BFD ． ………………………14分
18、解：（1）证明：连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点，连结MD ，又D 为AC 的中点，∴1//B C MD ，又⊄C B 1平面BD A 1，∴1//B C 平面BD A 1．…………4分
（2）∵1AB B B =，∴四边形11A ABB 为正方形，∴11A B AB ⊥，又∵1AC ⊥面BD A 1，∴11AC A B ⊥，∴1A B ⊥面11C AB ，∴111A B B C ⊥，
又在直棱柱111C B A ABC -中111C B BB ⊥，∴11B C ⊥平面A ABB 1．………………8分 （3）当点E 为C C 1的中点时，平面⊥BD A 1平面BDE ，
D 、
E 分别为AC 、C C 1的中点，∴1//DE AC ，1AC 平面BD A 1，
∴DE ⊥平面BD A 1，又⊂DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE ．…………14分 19、证明：（1）在1CBB ∆中， ∵D 、E 分别为BC 、C B 1的中点， ∴1//DE BB 4分
又
11111,BB ABB A DE ABB A ⊂⊄平面平面
∴11//.DE ABB A 平面 ………………7分 （2）∵三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱 ∴1BB ABC ⊥平面， ∵AD ⊂平面ABC ，
∴1BB AD ⊥ ………………9分 ∵在ABC ∆中，AC AB =，D 为BC 的中点，
∴AD BC ⊥ ………………11分 ∵1,BB BC B ⋂=1BB 、BC ⊂平面1,B BC
∴AD ⊥平面1B BC 又
AD ⊂平面ADE
∴1ADE B BC ⊥平面平面. ………………14分 20．(1)证明：
E 、P 分别为AC 、A′C 的中点，
∴ EP∥A′A，又A′A⊂平面A A′B，EP⊄平面A A′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分
(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC
BC⊂平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分21．（1）证法一：连接AC．
因为四边形ABCD为矩形，所以AC过点O，且O为AC的中点．
又因为点E为PC的中点，所以EO//PA．…………………………………………………………4分因为PA⊂平面PAD，EO/⊂平面PAD，所以EO∥面PAD．……………………………………7分证法二：取DC中点F，连接EF、OF．
因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EF//PD，OF//BC．
在矩形ABCD中，AD//BC，所以OF//AD．
因为OF/⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以OF//平面PAD．
同理，EF//平面PAD．
因为OF∩EF＝F，OF、EF⊂平面EOF，
所以平面EOF//平面PAD．…………………………………………………………………………4分因为EO⊂平面OEF，所以EO∥平面PAD．……………………………………………………7分证法三：分别取PD、AD中点M、N，连接EM、ON、MN．
因为点E、O分别为PC和BD的中点，所以EM＝∥1
2CD，ON＝
∥1
2AB．
在矩形ABCD中，AB＝∥CD，所以EM＝∥ON．
所以四边形EMNO是平行四边形．所以EO//MN．………………………………………………4分因为MN⊂平面PAD，EO/⊂平面PAD，所以EO∥面PAD．…………………………………7分（2）证法一：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．…………………………………………9分因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD．………………………………………………………………………………12分又因为CD⊂平面PDC，
所以平面PDC⊥平面PAD．………………………………………………………………………14分证法二：在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F．
因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD．
因为CD⊂平面ABCD，所以PF⊥CD．………………………………………………………9分因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD．……………………………………………………11分因为PF∩AD＝F，所以CD⊥平面PAD．………………………………………………………12分又因为CD⊂平面PDC，
所以平面PDC⊥平面PAD．………………………………………………………………………14分
22.解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC
AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝
AD＝4．
∴S ABCD＝11
22
AB BC AC CD
⋅+
⋅
11
12
22
=⨯⨯⨯
则V
＝1
2 3
=
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
M
F
E
D A
P
∴AF ⊥PC ． ……………… 7分 ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，
∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点，
∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ……… 9分 ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ．…… 10分 （Ⅲ）证法一：
取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥PA ． ∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴EM ∥平面PAB ． ……… 12分 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2， ∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ． ……… 14分 ∵EM ∩MC ＝M ，
∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ⊂平面EMC ，
∴EC ∥平面PAB ． ……… 15分
23.
24、证明 ：(Ⅰ)连DC ，在等边ABC ∆中有CD BD ⊥，而AD BD ⊥，D DC AD =⋂
ADC AC ADC BD 面又面⊂⊥∴, AC BD ⊥∴----3分
在ADB ∆中，︒=∠==901ADB ，DB AD ，则2=AB ，由对称性知，2=AC 在ABC ∆中，，，BC ，AC AB 222===则AC AB ⊥ 又B AB BD =⋂，ABD AC 面⊥∴----7分 (Ⅱ)在梯形BCED 中，易知2:1:=∆∆BCD CDE S S
DCE A BCD A V V --=∴2----10BCD A BCED A V V --=∴2
3
又6
2
221312131=
⨯⨯=⋅⋅⋅⨯=
=--AC DB AD V V ADB C BCD A N
F E
D
C
B
A P
A
B
C
E D
4
2
6
2
2
3
=
⨯
=
∴
-BCED
A
V-------14分
25．（1）连结BD交AC于O点，连结EO，
因为O为BD中点，E为PD中点，所以//
EO PB，…………………2分
EO AEC
⊂平面，PB AEC
⊄平面，所以//
PB AEC
平面，………………6分
（2）因为,
PA ABCD CD ABCD
⊥⊂
平面平面，所以PA CD
⊥，
又因为AD CD
⊥，且AD PA A
=，所以CD PAD
⊥平面．…………8分
因为AE PAD
⊂平面，所以CD AE
⊥．………………………………………………………………10分因为,
PA AD E PD
=为中点，所以AE PD
⊥．
因为CD PD D
=，所以AE PDC
⊥平面．……………………………………………………………12分又因为AE PAD
⊂平面，所以PDC AEC
⊥
平面平面．………………………………………………14分26．
27、证明：（1）连结
1
BD，在B
DD
1
∆中，E、F分别为
1
D D，DB的中点，则
1
11111
11
//
//
EF D B
D B ABC D EF ABC D
EF ABC D
⎫
⎪
⊂⇒
⎬
⎪
⊄⎭
平面平面
平面
（2）
1
11
111
1
,
B C AB
B C BC
AB B C ABC D
AB BC B
⊥⎫
⎪
⊥⎪
⎬
⊂⎪
⎪
=⎭
平面
⇒
111
111
B C ABC D
BD ABC D
⊥⎫
⇒
⎬
⊂⎭
平面
平面
11
1
//
B C BD
EF BD
⊥⎫
⎬
⎭1
EF B C
⇒⊥
（3）
11
CF BDD B
⊥平面
1
CF EFB
∴⊥平面且2
CF BF
==
1
1
3
2
EF BD
==，2222
11
(2)26
B F BF BB
=+=+=
C
D
B
F
E
D1
C1
B1
A
A1
1
3
B E===
∴222
11
EF B F B E
+=即
1
90
EFB
∠
=
111
1
3
B EF
C C B EF B EF
V V S CF
--∆
∴==⋅⋅=
1
11
32
EF B F CF
⨯⋅⋅⋅
=
11
1
32
⨯=
28．解:（1）解由三棱柱
111
ABC A B C
-是正三棱柱，且棱长均为2，
可知底面是正三角形，侧面均为正方形，
故三棱柱
111
ABC A B C
-
的全面积22
223212
S=+⨯=+
(2) 在正三棱柱
111
ABC A B C
-中，因为,D E分别是
11
,
BB CC
可知
111
11
22
BD BB CC EC
===,又BD∥1
EC,
所以四边形
1
BDC E是平行四边形，故BE∥
1
DC,
又
1
DC⊂平面
1
ADC,BE⊄平面
1
ADC,
所以BE∥平面1
ADC.
(3) 连
1
A C,设
1
AC与
1
A C相交于O，
则由侧面
11
ACC A为正方形，可知AC与A C互相平分.
在Rt△
11
B C D中，
1
DC==
同理可得AD=故
1
DC AD
=,
连OD,可得
1
OD AC
⊥.
连
1
,
CD A D,同理可证
1
OD A C
⊥,
又
1
AC与
1
A C相交于O，故OD⊥平面
11
ACC A.
因为OD⊂平面
1
ADC, 故平面
1
ADC⊥平面
11
ACC A.
29.解：（1）取BB1 中点G，连DG,EG
∵B1D=AD，B1G=GB，∴DG//AB，同理GE//BC,
∵DG⋂GE=G，AB⋂BC=B，∴平面DGE//平面ABC ,
∵DE⊂平面DGE，∴DE//平面ABC . ………………5分
（2）∵AB=AC=2 ∠BAC=90 , ∴
在
1
B FE中EC=1 ∴
1
B E=3
1
B F∴
1
B F FE
⊥
又∵
1
.
AF BC AF BB
⊥⊥ , ∴AF⊥平面
1
B C,∴AF⊥
1
B F
∵
1
B F FE
⊥，AF⊥
1
B F , ∴
1
B F⊥平面AFE………………10分
（3）6
1
=
F
B. 3
1
=
E
B，
1
EFB
A
V
-=1
…14分
30.解：(1)证明∵O、H分别为AE、AB的中点
∴OH//BE，又OH不在面BDE内
∴直线OH//面BDE
(2) O为AE的中点AD＝DE，∴DOAE
1
A
1
D
B
A
∵
BO 2
＝10
∴222
DB DO BO =+
∴DO OB ⊥又因为AE 和BO 是相交直线 所以，DO 面ABCE ， 又OD 在面ADE 内 ∴面ADE 面ABCE. 31．证明：
(I)连结BD 1，∵E 、F 分别为BC 、CD 1中点；
∴EF ∥BD 1， ………………2分 又∵BD 1⊂平面BB 1D 1D ，EF ⊄平面BB 1D 1D
∴EF ∥平面BB 1D 1D ； ………………4分(少一条件扣1分) (Ⅱ)取CD 中点M ，连结BM ，则DM=CM=2， ∵AB ∥CD ，AB ⊥AD ，
∴四边形ABMD 是正方形，则DM=CM=BM=2，
∴BC ⊥BD ， ………………7分（或由计算证明） 在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，有BC ⊥BB 1，且BD ∩BB 1=B ，
∴BC ⊥平面BB 1D 1D ； ………………9分
(Ⅲ)取BD 1中点N ，连结FN ，则FN ∥BC ， ………………10分 由(Ⅱ)知BC ⊥平面BB 1D 1D ，∴FN ⊥平面BB 1D 1D ， 则FN 是四棱锥F-BB 1D 1D 的高，且1
2
FN BC == ∵S 四边形BB 1
D 1
D =∴163
V = ………………14分
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
F
D 1 第31题图
M
N
32.
33、解：（Ⅰ）因为,PC AB αα⊥⊂，所以PC AB ⊥．同理PD AB ⊥． 又PC PD P =，故AB ⊥平面PCD ． 5分
（Ⅱ）设AB 与平面PCD 的交点为H ，连结CH 、DH ．因为AB ⊥平面PCD ， 所以,AB CH AB DH ⊥⊥，所以CHD ∠是二面角C AB D --的平面角． 又1,2PC PD CD ===，所以2222CD PC PD =+=，即90CPD ∠=︒． 在平面四边形PCHD 中，90PCH PDH CPD ∠=∠=∠=︒， 所以90CHD ∠=︒．故平面α⊥平面β． 14分 35. 解：（Ⅰ）证明：取BC 的中点D ，连接AD
因为ABC ∆是正三角形， 所以AD BC ⊥
又111C B A ABC -是正三棱柱， 所以1B B ⊥面ABC ，所以1B B AD ⊥ 所以有AD ⊥面11BB C C 因为BM ⊂面11BB C C 所以1BM AB ⊥；
（Ⅱ）N 为AC 的三等分点，:1:2CN NA =． 连结1B C ，1B C
BM E =，
B
A 1
B 1
A C C 1
M
N E
∵ 1CEM B EB ∽，∴ 1112CE CM EB BB ==． ∴ 112
CN CE NA EB ==， ∴ 1//AB NE 又∵EN ⊂面BMN ，1AB ⊄面BMN ∴ 1//AB 平面BMN
36．证明:（Ⅰ）连结1A B ，设1A B 交1AB 于E ,连结DE ． ∵点D 是BC 的中点,点E 是1A B 的中点， ∴DE ∥1A C ． …………3分
∵1A C ⊄平面1AB D , DE ⊂平面1AB D , ∴1A C ∥平面1AB D ． …………6分
（Ⅱ）∵ABC ∆是正三角形, 点D 是BC 的中点,
∴AD BC ⊥.
∵平面ABC ⊥平面11B BCC ,平面ABC 平面11B BCC BC =,AD ⊂平面ABC , ∴AD ⊥平面11B BCC . ∵1BC ⊂平面11B BCC , ∴AD ⊥1BC . ………………………………9分
∵点D 是BC 中点
, 1BC =，
∴1BD =．
∵11CC BD BB BC ==, ∴Rt △1B BD ∽Rt △1BCC ．
∴11BDB BC C ∠=∠．
∴FBD BDF ∠+∠
＝01190C BC BC C ∠+∠=．
E F D
C B A
B 1
C 1
A 1
（第17题）
∴11,BC B D ⊥ …………………………………13分 ∵1B D AD D =, ∴1BC ⊥平面1AB D ． ………………………………15分。