2019-2020学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）
1. 已知全集U =R ，集合M ={x|x +2a ≥0}，N ={x|log 2(x −1)<1}，若集合M ∩(∁U N)={x|x =1或x ≥3}，那么a 的取值为( )
A. a =12
B. a ≤12
C. a =−12
D. a ≥12 2. 若a 、b 为实数，则ab(a −b)<0成立的一个充分不必要条件是( )
A. 0<1a <1b
B. 0<1b <1a
C. 1a <1b
D. 1b <1a 3. 已知f(x)={(3−a)x +1 x <1a x (a >0且a ≠1) x ≥1
，在(−∞,+∞)上是增函数，那么a 的取值范围是( ) A. (1,3)
B. (1,2]
C. [2,3)
D. (1,+∞) 4. 若函数f(x)的导函数的图象关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=2cosx
B. f(x)=x 3+x 2
C. f(x)=sinx ⋅cosx +1
D. f(x)=e x +x 5. 已知函数f(x)=alnx +x 2−(a +2)x 恰有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. (−1,0)
B. (−1,+∞)
C. (−2,0)
D. (−2,−1) 6. 在三角形ABC 中，∠B =π3
，AB =1，BC =2，点D 在边AC 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R ，若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则λ=( )
A. 13
B. 12
C. √33
D. 2
3 7. 已知函数，则( ) A.
B. C. D. 8. 两人同时向一敌机射击，甲的命中率为15，乙的命中率为14，则两人中恰有一人击中敌机的概率为( )
A. 720
B. 1220
C. 121
D. 220 9. (2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5则a 3=( )
A. 40
B. 40
C. 80
D. −80
10. 已知f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，若a =f(log 47)，b =f(log 12
3)，c =f(0.20.4)则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. c <b <a B. b <a <c C. c <a <b D. a <b <c
二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 甲和乙等六名志愿者参加进博会A ，B ，C ，D ，E 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每
个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为______ .(结果用数字表示)
12. 命题“∃x ∈Q ，x 2−2=0”的否定是______ ．
13. 曲线y =sinx 在点A 处的切线方程为________．
14. 某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为______．
15. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD ，E 为BC 中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
16. 已知函数f(x)=log a x−2x+2的定义域为[α,β]，值域为[log a a(β−1),log a a(α−1)]，并且f(x)在
[α,β]上为减函数． (1)求a 的取值范围； (2)求证：2<α<4<β；
(3)若函数g(x)=log a a(x −1)−log a x−2
x+2，x ∈[α,β]的最大值为M ，求证：0<M <1． 17. (1)已知全集U =R ，集合A ={x|x <−4，或x >1}，B ={x|−3≤x −1≤2}，求A ∩B 、
(∁U A)∪(∁U B)；
(2)求值：若x >0，求(2x 14+332)(2x 14−332)−4x −12(x −x 12)．
18. 求二项式(1+2x)500的展开式中项系数最大的项．
19. 彩票的中奖率是13，每次抽1张，有放回地随机抽取3张．计算至少抽中1张的概率．
20. 已知函数f(x)=−x 3+x 2+x +a ，g(x)=2a −x 3(x ∈R,a ∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间．
(2)求函数f(x)的极值．
(3)若任意x∈[0,1]，不等式g(x)≥f(x)恒成立，求a的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：由题意可知：∵log2(x−1)<1，
∴x−1>0且x−1<2，即1<x<3，
∴N={x|1<x<3}，
∴C u N={x|x≤1或x≥3}
又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥−2a}，
而M∩(∁∪N)={x|x=1，或x≥3}，
∴−2a=1，
∴a=−1
2
故选C．
此题考查的是集合的交并补运算问题，在解答的时，应先将集合的元素具体化，然后再逐一利用交并补运算即可获得参数的结果．
此题考查的是集合的交并补运算问题，在解答的过程当中充分体现了解不等式的知识、交并补运算的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．
2.答案：B
解析：解：当a−b<0，即a<b时，ab>0，此时a<b<0或0<a<b，
当a−b>0，即a>b时，ab<0，此时b<0<a，
即ab(a−b)<0的等价条件为a<b<0或0<a<b或b<0<a，
A.由0<1
a <1
b
得0<b<a为既不充分也不必要条件，
B.由0<1
b <1
a
得0<a<b，为充分不必要条件
C.由1
a <1
b
得0<b<a或b<a<0或a<0<b，为既不充分也不必要条件，
D.由1
b <1
a
得0<a<b或a<b<0或b<0<a，为既不充分也不必要条件，
故选：B．
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及倒数的性质求出不等式的等价条件是解决本题的关键．
3.答案：C
解析：解：当x<1时，f(x)=(3−a)x+1递增，则3−a>0，即a<3；
当x≥1时，f(x)=a x递增，则a>1；
由于f(x)在R上递增，则3−a+1≤a，解得a≥2，
则有2≤a<3．
故选C．
运用一次函数和指数函数的单调性，注意x=1的情况，即3−a+1≤a，解出它们，再求交集即可得到．
本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性，考查一次函数和指数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．
4.答案：C
解析：解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f(x)=2cosx，其导数f′(x)=2sinx，其导数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；对于B，f(x)=x3+x2，其导数f′(x)=3x2+2x，其导数不是偶函数，不符合题意，
对于C，f(x)=sinx⋅cosx+1，其导数f′(x)=cos2x，其导数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；
对于D，f(x)=e x+x，其导数f′(x)=e x+1，其导数不是偶函数，不符合题意，
故选：C．
根据题意，依次计算选项中函数的导数，判定导函数的奇偶性，综合即可得答案．
本题考查导数的计算，涉及导数的计算公式以函数奇偶性的判定，属于基础题．
5.答案：A
解析：解：由alnx+x2−(a+2)x=0得a=x2−2x
x−lnx
令g(x)=x2−2x
x−lnx ，则g′(x)=(x−1)(x+2−2lnx)
(x−lnx)2
，
g(x)=x2−2x
x−lnx
，在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以g(x)min=g(1)=−1，
又当x∈(0,1)时，x2−2x<0，g(x)=x2−2x
x−lnx
<0，
所以实数的取值范围是(−1,0)．
故选：A ．
通过分离变量，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值，结合数形结合求解即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查数形结合的应用有解计算能力． 6.答案：A
解析：解：如图，
∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，
且∠B =π3，AB =1，BC =2，
∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
=(1−λ)|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+λ|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2
=1×2×12(1−λ)+4λ=2， 解得λ=13．
故选：A ．
利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后结合BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，列式求得
λ值．
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，训练了平面向量基本定理的应用，是中档题． 7.答案：C
解析：试题分析：因为，，所以，，
，故选C ．
考点：指数函数、对数函数，分段函数．
8.答案：A
解析：解：设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，
则P(A)=15，P(B)=14，
∴两人中恰有一人击中敌机的概率：
p =P(AB +AB)
=P(A)P(B)+P(A)P(B)
=15×(1−14)+(1−15)×14
=720．
故选：A ．
设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，则P(A)=15，P(B)=14，由此能求出两人中恰有一人击中敌机的概率．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件同时发生的概率计算公式的求法． 9.答案：C
解析：解：∵(2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5，
令x −1=t ，则x =t +1， ∴(2t +1)5=a 0+a 1t +a 2t 2+⋯+a 5t 5．
(2t +1)5展开式的通项为：T r+1=C 5
r (2t)5−r 1r ， 令5−r =3，求得r =2，所以，T 3=C 52(2t)3=80x 3，即a 3=80，
故选：C ．
由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a 3的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 10.答案：B
解析：解：∵f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，
∴在[0,+∞)上为减函数，
3)=f(log23)，
则f(log 1
2
∵log23=log49>log47>1，0<0.20.4<1，
∴log23>log47>0.20.4>0，
∴f(log23)<f(log47)<f(0.20.4)，
即b<a<c．
故选：B．
根据对数的运算，结合函数单调性和奇偶性的关系分别进行判断即可．
本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，根据对数的运算法则计算对数的大小是解决本题的关键．11.答案：1680
解析：解：根据题意，先不考虑限制条件，将6人分为5组，安排到五个不同的岗位服务，
有C62A55=1800种安排方法，
若甲乙安排在同一岗位服务，有A55==120种安排方法，
则有1800−120=1680种安排方法，
故答案为：1680．
根据题意，用间接法分析，先计算没有限制条件时的安排方法数目，再计算其中“甲乙安排在同一岗位服务”的安排方法数目，分析可得答案．
本题考查排列组合的应用，利用间接法分析，可以避免分类讨论，属于基础题．
12.答案：∀x∈Q，x2−2≠0
解析：解：“∃x∈Q，x2−2=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，
即命题“∃x∈Q，x2−2=0”的否定是∀x∈Q，x2−2≠0．
故答案为：∀x∈Q，x2−2≠0．
因为特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p：∀x∈M，￢p(x)，即可得答案
本题考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定的书写规则，本题主要是掌握住特称命题的否定是全称命题．
13.答案：x−2y+−=0
解析：y′=cosx，y′|x==，所以曲线在A点处的切线方程为y−=.即x−2y+
−=0．
14.答案：49 解析： 本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的基础知识，是基础题． 利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式直接求解．
解：某人射击一次击中目标的概率为23，
经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为：
p =C 32(23)2(13)=49． 故答案为：4
9． 15.答案：5
4
解析：
由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．
本题考查了平面向量的线性运算的几何表示与数形结合的思想
应用．
解：由题意作图如右图，
∵AB//CD ，AB =2CD ，∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵E 为BC 中点，
∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12
(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3
4
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =12，y =34
， 故x +y =54
故答案为54． 16.答案：解：(1)按题意得log a α−2
α+2=f(x)max =log a a(α−1)，
∴{α−2
α+2
>0
α−1>0
即α>2，
又log aβ−2
β+2
=f(x)min=log a a(β−1)，
∴关于x的方程log a x−2
x+2
=log a a(x−1)在(2,+∞)内有两个不等实根x=α、β，
⇔关于x的二次方程ax2+(a−1)x+2(1−a)=0在(2,+∞)内有两个异根α、β，
，解得0<a<1
9
，
故0<a<1
9
.
(2)令Φ(x)=ax2+(a−1)x+2(1−a)，
则Φ(2)⋅Φ(4)=4a⋅(18a−2)=8a(9a−1)<0．
∴2<α<4<β.
(3)∵g(x)=log a(x−1)(x+2)
x−2
+1，
g′(x)=
1
lna
⋅
x−2
(x−1)(x+2)
⋅
(2x+1)(x−2)−(x2+x−2)
(x−2)2
=1
lna ⋅x(x−4)
(x+2)(x−1)(x−2)
．
∵lna<0，
∴当x∈(α,4)时，g′(x)>0；
当x∈(4,β)是g′(x)<0．
又g(x)在[α,β]上连接，
∴g(x)在[α,4]上递增，在[4,β]上递减．故M=g(4)=log a9+1=log a9a.
∵0<a<1
9
，
∴0<9a<1．
故M>0．
若M≥1，则9a=a M．
∴9=a M−1≤1，矛盾．
故0<M<1.
解析：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，其中(1)的关键是根据函数的单调性将问题转化为关于x 的方程log a x−2x+2=log a a(x −1)在(2,+∞)内有两个不等实根α、β.并由此构造关于a 的不等式组，(2)的关键是构造函数Φ(x)=ax 2+(a −1)x +2(1−a)，将问题转化为函数零点判断问题，(3)的关键是利用导数法，判断出M =g(4)．
(1)由已知中f(x)在[α,β]上为减函数函数f(x)=log a x−2x+2的定义域为[α,β]，值域为[log a a(β−
1),log a a(α−1)]，我们可得log a α−2α+2=f(x)max =log a a(α−1)，根据对数式中底数及真数的限制条件，可得α>2，同理β>2，故关于x 的方程log a x−2x+2=log a a(x −1)在(2,+∞)内有两个不等实根α、β.由此构造关于a 的不等式组，解不等式组即可求出a 的取值范围；
(2)令Φ(x)=ax 2+(a −1)x +2(1−a)，我们易得Φ(2)⋅Φ(4)<0，进而根据零点存在性定理，结合(1)中的结论，得到答案；
(3)由已知中函数g(x)=log a a(x −1)−log a x−2x+2，x ∈[α,β]的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而得到M =g(4)=log a 9+1，结合(1)中a 的取值范围，即可得到答案．
17.答案：解：(1)∵B ={x|−3≤x −1≤2}={x|−2≤x ≤3}，集合A ={x|x <−4，或x >1}，
∴A ∩B ={x|1<x <3}，
∴∁U A ={|−4≤x ≤1}，∁U B ={x|x <−2，或x >3}，
∴(C U A)∪(C U B)={x|x ≤1，或x >3}
(2)原式=(4x 12−33)−4x 12+4=−23
解析：(1)求出集合B ，然后直接求A ∩B ，通过(C U A)∪(C U B)C U (A ∩B)求解即可；
(2)根据指数幂的运算性质即可求出．
本题考查集合的基本运算，转化思想与分类讨论思想的应用，考查计算能力．
18.答案：解：根据题意，(1+2x)500的展开式的通项为T r+1=C 500
r (2x)r ，其系数为2r ×C 500r ， 设第n 项的系数最大，则有{2r C 500r ≥2r−1C 500r−12r C 500r ≥2r+1C 500r+1， 解可得：10003≤r ≤334，
故当r =334时，展开式中项系数最大，则有T 335=C 500r 2334x 334；即系数最大的项为T 335=
C 500r 2334x 334．
解析：根据题意，求出(1+2x)500的展开式的通项，求出其系数，设第n 项的系数最大，则有
{2r C 500r ≥2r−1C 500r−12r C 500r ≥2r+1C 500
r+1，解可得n 的值，代入通项中计算可得答案． 本题考查二项式定理的应用，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题．
19.答案：解：彩票的中奖率是13，每次抽1张，有放回地随机抽取3张，
则每次抽取时的中奖概率都是13，则这三张都没有中奖的概率为(1−13)3=827，
故至少抽中1张的概率为1−828=1927．
解析：由题意根据相互独立事件的概率，等可能事件的概率求出这三张都没有中奖的概率，可得结论．
本题主要考查相互独立事件的概率，等可能事件、对立事件的概率，属于基础题． 20.答案：解：(1)f (x )=−x 3+x 2+x +a ，
f′(x )=−3x 2+2x +1，
令f′(x )=−3x 2+2x +1=0，得x 1=−13 ，x 2=1．
令f′(x )>0，得−13<x <1．
.·.函数f(x)的单调递增区间为(−13,1)，
令f ′(x )<0，得x <−13，或x >1．
单调递减区间为(−∞,−13)与(1,+∞).
(2)由(1)可知当x =−13时，函数f(x)取得极小值，函数的极小值为f (−13)=a −527
当x =1时，函数f(x)取得极大值，函数的极大值为f(1)=a +1，
(3)若任意x ∈[0,1]，不等式g(x)≥f(x)恒成立，
即对于任意x ∈[0,1]，不等式a ≥x 2+x 恒成立，
设ℎ(x)=x 2+x ，x ∈[0,1]，
则ℎ′(x)=2x +1，
∵x ∈[0,1]，
∴ℎ′(x)=2x +1>0恒成立，
∴ℎ(x)=x 2+x 在区间[0,1]上单调递增，
∴[ℎ(x )]max =ℎ(1)=2
∴a≥2，
∴a的取值范围是[2,+∞)
解析：(1)利用导数来求出函数的单调区间．
(2)利用导数来求出函数的极值，利用(1)的结论．
(3)不等式g(x)≥f(x)恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，ℎ(x)=x2+x，x∈[0,1]，利用导数，求出ℎ(x)的最大值，问题得以解决．
本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等知识点，属于中档题．。