巧算和速算方法

校本课程数学计算方法
目录
第一讲生活中几十乘以几十巧算方法.. 错误！未定义书签。

第二讲常用巧算速算中的思维与方法（1） ........................ - 4 -
第十五讲乘法速算7........................................................................ - 22 - 第十六讲乘法速算8........................................................................ - 24 - 注：《速算技巧》.......................................................................... - 27 - 第一讲生活中几十乘以几十巧算方法
???1.十几乘十几：
口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。

例：12×14=？
解: 1 ×1 = 1
２＋４＝６
２×４＝８
３.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。

例：37×44=？
解：3+1=4
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。

? ４.几十一乘几十一：
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
11×23125=254375
注：和满十要进一。

?
６.十几乘任意数：
口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。

所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100
=101×100÷2
=5050
“3+5+7+………＋97+99=？
3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。

这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。

张丘建利用这一
思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题：
“今有女子不善织，日减功，迟。

初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。

问织几何？”
题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。

她第一天织了5 尺布，最后一天织了1 尺，一共织了30 天。

问她一共织了多少布？
织的布是
180÷2=90（尺）
可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。

第三讲常用巧算速算中的思维与方法（2）
方法一：分组计算
一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。

例如：
求1 到10 亿这10 亿个自然数的数字之和。

最后的一个数1，000，000，000 不成对，它的数字之和是1。

所以，此题的计算结果是
（81×500，000，000）＋1
=40，500，000，000＋1
=40，500，000，001
方法二：由小推大
计算复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。

例如：
（1）计算下面方阵中所有的数的和。

这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。

不妨先化大为小，再由小推大。

先观察“5×5”的方阵，如下图（图4.1）所示。

容易看到，对角线上五个“5”之和为25。

一列（偶数都是按由小到大的顺序）。

所以，由1001÷8=125…………1，可知这1001 个偶数可以分为125 组，还余1 个。

故2002 应排在第二列。

方法三：凑整巧算
用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。

例如
（1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1）=111
（2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2）
=10＋100＋1000
=1110
（3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125
=155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5
=125×8-5
=1000-5
（3）用“商九法”试商。

当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10 倍时，可以一次定商为“9”。

一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n 时，n 除m 的商才是9。

同样地，10n≤m＋n＜11n。

这就是我们上述做法的根据。

例如4508÷49=92，6480÷72=90。

（4）用差数试商。

当除数是11、12、13…………18 和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。

若差数是1 或2，则初商为9；差数是3 或4，则初商为8；差数是5 或6，则初商为7；差数是7 或8，则初商是6；差数是9 时，则初商为5。

若不准确，只要调小1 就行了。

例如
第五讲常用巧算速算中的思维与方法（4）
方法一：拆数加减
在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。

（1）拆成两个分数相减。

例如
又如
（2）拆成两个分数相加。

例如
又如
方法二：同分子分数加减
由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时，这两个分数根据这一关系，我们也可以简化运算过程。

例如
方法一：个数折半
下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。

（1）分母相同的所有真分数相加。

求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2，就能得出结果。

这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除
以2，就能得出结果。

（2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。

比方
（3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折
半法”求得数。

比方
例如
（注：这是根据“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出来的。

）
（3）相乘的两个带分数，整数部分都是1，分子也都是1，分母相差1，则乘积也是个带分数。

这个带分数的整数部分是1，分子是2，分母与较大因数的分母相同。

例如
读者自己去试一试，此处略）。

方法二：两分数相除
有些分数相除，可以采用以下的巧算方法：
（1）分子、分母分别相除。

在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。

不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。

例如
【解答】原式=（5.6+4.4）+（2.38+0.62）
=10+3
=13
【评注】凑整，特别是“凑十”、“凑百”等，是加减法速算的重要方法。

例2、计算：1.999+19.99+199.9+1999。

【分析】因为小数计算起来容易出错。

刚好1999 接近整千数2000，其余各加数看做
与它接近的容易计算的整数。

再把多加的那部分减去。

【解答】1.999+19.99+199.9+1999
=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1
=2222-1.111
=2220.889
【评注】所谓的凑整，就是两个或三个数结合相加，刚好凑成整十整百，我们也可以
方法：乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一。

例：15×17
15 + 7 = 22- （“-”在不熟练的时候作为助记符，熟练后就可以不使用了）
5 ×7 = 35
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255
即15×17 = 255
1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×(A+1)×10+A×B
方法:十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个位数相乘，得数为后积
例：56 ×54
得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例：67 ×64
6 ×6 = 36- -
（4 + 7）×6 = 66 -
4 ×7 = 28
----------------------
4288
第十讲乘法速算2
二、后数相同的：
2.1. 个位是1，十位互补即B=D=1, A+C=10 S=10A×10C+101
×
例：35 ×75
3 ×7+ 5 = 26- -
25
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2625
2.4<不是很简便>个位是5，十位不互补即B=D=5, A+C≠10 S=10A×10C+525
方法：两首位相乘（即求首位的平方），得数作为前积，两十位数的和与个位相乘，得数作为中积，满十进一，两尾数相乘，得数作为后积。

例: 75 ×95
7 ×9 = 63 - -
（7+ 9）×5= 80 -
25
3109 +30=3139
-----------------------
3139
第十一讲乘法速算3
2.7.个位相同，十位非互补速算法2
方法：头乘头，尾平方，再加上头加尾的结果乘尾再乘10
例：73×43
7×4=28
3.2、一因数数首尾相同，一因数十位与个位非互补的两位数相乘。

方法：杂乱的那个数首位加1，得出的和与被乘数首位相乘，得数为前积，两尾数相乘，得数为后积，没有十位用0补，再看看非互补的因数相加比10大几或小几，大几就加几个相同数的数字乘十，反之亦然
例：38×44
（3+1）×4=16
8*4=32
1632
3+8=11
11-10=1
1632+40=1672
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3.4、一因数数首比尾小一，一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。

方法：凑9的数首位加1乘以首数的补数，得数为前积，首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积，没有十位用0补。

例：56×36
10-6=4，3+1=4，36÷9也等于4
5*（10-6）=20
4*（10-6）=16
“注：（10-6）也可以写作（3+1）和（36÷9）”
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2016
3.5、两因数数首不同，尾互补的两位数相乘。

方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。

被乘数头加一与乘数头相乘，得数为前积，
方的补整百数为后积
例：24×36
3>2
3*3-1=8
6^2=36
100-36=64
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864
3.7、近100的两位数算法
方法：确定乘数与被乘数，反之亦然。

再用被乘数减去乘数补数，得数为前积，再把两数补数相乘，得数为后积（未满10补零，满百进一）
例：93×91
1782
Ｂ、平方速算
一、求11～19 的平方
同上 1.2，乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，两数的个位相乘，得数为后积，满十前一
例：17 ×17
17 ＋7 = 24-
7 ×7 = 49
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289
二、个位是5 的两位数的平方
同上1.3，十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。

,
22 ×22 = 484
23 ×23 = 529
24 ×24 = 576
求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0。

例：37 ×37
37 - 25 = 12--
（50 - 37）^2 = 169
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1369
第十五讲乘法速算7
方法，将小数乘以100，减去小数的平方即可
例：11*89
1100-11^2=1100-121=979
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979
5.4（三位乘三位）两因数第一位相同，后两位互补的乘法
方法：前两位为被乘数第一位加1和另一个被乘数第一位的积；后面四位为两个数字中每个数末尾两位的积
例：436*464
64-50=14
2500-14^2=2500-196=2304
4*5=20
39711
5.7 十位数相差2，个位数相同的乘法
方法：取平均数的平方减去100
例：25*45
（25+45）÷2=35
35^2-100=1125
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1125
5.8 百位互补，后两位相同的乘法
方法：取两数的百位相乘加上并乘以10后加上后两位为前两位，后面三位为后两位的平方（位数不够用0补，满十进一）
例：323*723
10555515
6.2、一数和为9，一数为含890的顺的算法
方法：凑9的数字按3.4条的方法处理，再将此数乘以顺子的头和尾的补数。

中间的数字除9以外全部替换为上一步处理完的数，9替换成0，若0为结尾则先约掉0按6.1的方法算出答案后再补0。

例：36*6789012
步骤1：3+1=4，10-6=4，36÷9=4(任选一个即可)
步骤2：4*6=24；4*（10-2）=32
步骤3：将78901替换为44044
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244404432
6.3、一数和为9，一数为缺八顺的算法（末尾可以是789）
20444444424
6.5、一数为相同数，一数位两位循环（相邻两位互补）的算法
方法：先将相同数的任意一位乘以循环节首位+1，再将相同数的任意一位乘以尾数，中间数字替换成相同数的任意一位数
例1：77*646464
步骤1：（6+1）*7=49，7*4=28
步骤2：将4646替换为7777
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49777728
例2：44*7373737
步骤1：（7+1）*4=32，7*4=28
步骤2：将37373替换为44444
除数，将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。

Ｄ、除法速算
一、某数除以5、25、125时
1、被除数÷ 5
= 被除数÷(10 ÷2)
= 被除数÷10 × 2
= 被除数× 2 ÷10
2、被除数÷25
= 被除数× 4 ÷100
= 被除数× 2 × 2 ÷100 3、被除数÷125
= 被除数×8 ÷1000。