第五章 齿轮机构及其设计习题解答

5.１ 设已知一对渐开线齿轮的基圆、齿顶圆及主动轮1的角速度1ω的方向如图5.4（a ）所示。

试作出啮合线，并指出理论啮合线和实际啮合线。

【分析】根据渐开线的性质，啮合线必和两轮的基圆相切，由于1ω逆时针方向旋转，故其应切于轮1基圆的左下方和轮2的右上方，设切点分别为1N 、212N N N ，与轮1和轮2齿顶圆的交点分别为21B B 和，则21N N 为理论啮合线，21B B 为实际啮合线。

解：如图5.4（b ）所示。

【评注】本题主要考查对渐开线齿轮啮合原理和渐开线的性质及其相关知识的理解。

(a) (b)
图5.4
5.2 在图 5.5所示轮系中，已知系杆H 为输入端，1000=H n min /r ，而齿轮4为输出端，
min /104r n =，它们的转向如图所示。

20mm,3,99,101321=====αm z z z ，且均为直齿圆柱齿轮。

试
求：
（1）轮4的齿数4z ?
（2）若齿轮1、2采用标准齿轮传动，求齿轮3、4的啮合角，说明无侧隙啮合时采用的传动类型。

（3）若齿轮1、2采用标准齿轮，而齿轮3、4改用斜齿圆柱齿轮，法面模数mm 3=n m ，3、4轮的β角应为多少？
【分析】本题第一问涉及行星轮系传动比的计算，关于这方面的内容在第11章中将专门讨论。

其余二问涉及到齿轮传动与啮合角的关系，斜齿轮传动的中心距计算公式等，有关公式应当在理解基础上能够记住。

解：（1）求轮4的齿数。

214
31441z z z z n n n n i H H H
⋅
=
--=
1001000
10100099
10199412
134=+⨯⨯=
--⋅
=
H
H n n n n z z z z
图5.5
（2）计算啮合角。

1，2为标准齿轮 mm 3002
3
)10199(2)(2112=⨯+=
+=
m
z z a
而 mm 5.2982
3
)10099(2
)(4334=⨯+=
+=
m
z z a
要使轮系满足同心条件，则mm,300'34=a 故3，4轮的啮合角'
34a 为 ︒=︒
=
=773.20300
20cos 5.298cos arccos
12
34'
34a a a α
由于mm 5.2983003412'
34=>==a a a 故为正传动。

③计算β角。

995.0300
2)
10099(32)
(cos '
34
43=⨯+⨯=
+=
a z z m n β
'''55435732.5︒=︒=β
【评注】本题的综合性较强，考察的知识点较多，包括传动比计算，直齿圆柱齿轮的正确啮合条件，直齿圆柱齿轮与斜齿轮的比较等。

5.3 设计一对渐开线外啮合标准直齿圆柱齿轮机构。

已知181=z ，372=z ，mm 5=m ， 20=α，
1*
=a h ，试求：
（1）两轮几何尺寸及中心距；
（2）计算重合度αε，并以长度比例尺mm mm/2.0=l μ绘出一对啮合区和两对齿啮合区。

【分析】本题没有难度，主要是训练对标准直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算公式的应用和掌握。

解 （1）两轮几何尺寸及中心距 mm 451852
12111=⨯⨯=
=
mz r
mm 50)545(*
11=+=+=m h r r a a
mm 75.38)525.145()(*
*11=⨯-=+-=m c h r r a f
mm 286.4220cos 45cos 11=︒==αr r b mm 854.72
52
21==
=
=ππm
s s
mm 5.923752
12
122=⨯⨯=
=
mz r
mm 5.97)55.92(*
22=+=+=m h r r a a
mm
922.8620cos 5.92cos mm 25.86)525.15.92()(22*
*22=︒===⨯-=+-=αr r m c h r r b a f
mm 5.137)3718(2
5)(2
21=+⨯=
+=
z z m a
（2） 重合度αε )]
tan (tan )tan (tan [2194.265
.9720cos 5.92arccos
cos arccos
arccos
25.325020cos 45arccos cos arccos arccos
'
22'
112
22
2211111ααααπ
εααααα-+-=
︒=︒
===︒=︒
===a a a a b a a a b a z z r r r r r r r r
61.1)]20tan 94.26(tan 37)20tan 25.32(tan 18[21=︒-︒+︒-︒=
π
mm
765.23761.1461.1mm 761.1420cos 5cos 12=⨯=⨯==︒==b b p B B m p αεπαπ
一对齿啮合区和两对齿啮合区如图5.5(a)所示。

图5.5(a)
【评注】希望初学者熟练掌握基本公式，灵活应用。

5.4 如图5.6所示，已知151=z ，532=z ，563=z ，144=z ，中心距mm 703412==a a ，压力角
20==n αα，模数mm 2==n m m ，正常齿。

试问：
（1）如两对齿轮均采用直齿圆柱齿轮，采用何种传动类型，可以满足中心距mm 703412==a a ，此时啮合角各为多大？
（2）如果轮1、2采用斜齿轮，轮3、4采用直齿圆柱齿轮，那么①轮1、2的螺旋角是多大？②轮1是否根切？③轮3、4不发生根切的最小变位系数？④轮3、4的分度圆、齿顶圆、齿根圆有何变化？
图5.6
【分析】因为两对齿轮传动的实际中心距为mm 703412==a a ，应当通过计算分析其是否是标准安装，再去确定传动类型。

斜齿轮的根切问题与直齿圆柱齿轮不同，其最小齿数与螺旋角β有关。

直齿圆柱齿轮如果根切则可以采用变位的方法来解决。

解 （1）因为两对齿轮传动的实际中心距为
mm 70'
34'12==a a
而标准中心距安装时：
mm
70)1456(2
2)(2
mm 68)5315(22)(243342112=+=
+=
=+=+=z z m a z z m a
所以轮3、4采用标准齿轮传动或高度变位齿传动可满足实际中心距的要求。

而1、2必须采用正传动才可以满足实际中心距的要求。

轮3、4的啮合角为
︒==20'αα 轮1、2的啮合角为 913.094.070
68cos cos '
'=⨯=
=
ααa
a
所以 ︒=24'α （2） 轮1、2的螺旋角 因为 β
cos 2)(21z z m a n +=
所以 971.070
2)5315(22)
(cos 21=⨯+=
+=
a
z z m n β
所以 ︒=-=73.13||21ββ
轮1会发生根切。

因为斜齿轮不发生根切的最少齿数为 1.1573.13cos 17cos 1733min =︒⨯=⨯=βz 轮3、4不发生根切的最小变位系数为
176
.017
141729
.2175617min 4min 3=-=
-=-=
x x
最小变位系数为正值，说明为了避免跟切，要采用正变位；最小变位系数为负值，说明该齿轮在
29.2min -=≥x x 的条件下采用负变位也不会根切。

因为轮4为正变位齿轮，所以其分度圆不变，齿顶圆增大，齿根圆也增大。

因为轮3为负变位齿轮，所以其分度圆不变，齿顶圆减小，齿根圆也减小。

【评注】本题考查的知识点包括，齿轮传动的设计，根切现象及变位齿轮等，这方面的综合应用是常见的考点。

5.5 用直线齿廓齿条刀具以范成法（展成法）加工渐开线齿轮。

已知刀具的模数mm 3=m ，压力角
20=α，齿顶高系数1*=a h ，毛坯齿轮中心离刀具中线（分度线）距离为21.7mm ，刀具线速度mm/s πυ=，
毛坯齿轮角速度rad/s 21
π
ω=
，试求：
（1）毛坯齿轮齿数； （2）变位系数x ； （3）判别齿轮是否根切。

【分析】用直线齿廓齿条刀具以范成法加工渐开线齿轮，分度圆周线速度应等于刀具的移动速度，即mm/s πυω==r 。

解（1）齿轮齿数z
分度圆周线速度应等于刀具的移动速度，即 mm/s πυω==r 所以 mm 2121
==
=
π
π
ω
πr 被切齿轮的齿数： 143
2122=⨯=
=m
r z
（2）变位系数x
齿轮中心O 离刀具中线的距离 xm r L += 所以 233.03
21
7.21=-=
-=m
r L x
（3）是否根切
时，最小变位系数为：
、当120*
=︒=a h α
176.017
141717
17min =-=
-=
z x
，故不被根切。

因min x x >
【评注】本题主要考查齿轮切削加工原理，根切及最小齿数的相关知识。

5.6 已知一对斜齿轮传动。

181=z ，362=z ，mm 5.2=n m ，中心距mm 68=a ， 20=n α，1*
=an h ，
25.0*
=n c ，此宽mm 20=B 。

试求：
（1）这对斜齿轮的螺旋角β应为多少？
（2）计算这对齿轮的几何尺寸，并验算重合度。

【分析】本题在计算时应考虑与直齿圆柱齿轮的比较分析，便于知识的掌握。

解（1）螺旋角β 9926.0)3618(68
25.2)(2cos 21=+⨯=
+=
z z a
m n β
所以 '
''957695.6︒=︒=β （2）计算几何尺寸，并验算ε 几何尺寸应按端面计算。

端面摸数519
.295.6cos 5.2cos =︒
=
=
β
n t m m mm
端面压力角t α：3667.095.6cos 20tan cos tan tan =︒
︒=
=
β
ααn t
所以 '''10820136.20︒=︒=t α
端面齿顶高系数*
at h ： 9927.095.6cos 1cos *
*=︒⨯==βa at h h
端面径向间隙系数*
t c ： 2482.095.6cos 25.0cos **=︒⨯==βc c t
分度圆半径： mm 67.2218519.2212111=⨯⨯=
=z m r t
mm 34.4536519.22
12
122=⨯⨯=
=z m r t
齿顶圆半径： mm
84.47519.29927.034.45mm 17.25519.29927.067.22*
22*
11=⨯+=+
==⨯+=+=t at
a t at a m h r r m h r r
齿根圆半径：
mm
2.42519
.22482.0519.29927.034.45mm 544.19519.22482.0519.29927.067.22**22*
*11=⨯-⨯-=-
-==⨯-⨯-=--=t
t t at
f t
t t at f m c m h r r m c m h r r
基圆半径： mm
r r mm r r t b t b 57.42136.20cos 34.45cos 28.21136.20cos 67.22cos 2211=︒===︒==αα
重合度：
斜齿
t
r m B πβ
εεαtan +
=
式中 ，)]tan (tan )tan (tan [212211t at t at z z ααααπ
εα-+-=
其中齿顶圆压力角： 111cos b at a r r =α，
︒===--28.3217
.2528.21cos
cos
1
1
11
1a b at r r α，
222cos b at a r r =α，
︒===--15.2784
.4757.42cos
cos
1
2
21
2a b at r r α。

所以，t
r m B πβ
εεαtan +
=
＝)136.20tan 28.32(tan 18[21︒-︒π
)]136.20tan 15.27(tan 36︒-︒+
+
519
.295.6tan 20⨯︒
π
=1.905。

【评注】本题没有难度，但对斜齿轮的基本知识是一个全面的总结。

5.7
已知一对渐开线外啮合齿轮的齿数1521==z z ，实际中心距
1,20mm,20mm,325*
===='a o
h a m a 试设计这对齿轮传动。

【分析】本题是设计性题目，第一步先计算两轮变位系数，根据变位系数确定传动类型；再计算几何尺寸，检验重合度a ε及齿顶厚a s ，如果不满足要求，还得重新调整参数进行设计。

解：（1）计算两轮变位系数 标准中心距：α=
2
m (z 1+z 2)=
mm 300)1515(2
20=+
啮合角：'α='
cos arccos
a a α=o
o
84.29325
20
cos 300arccos
=
5629.120
tan 2)
0149044.00528266.0(tan 2)
)(inv (inv 21'
21=-=
+-=
+o
z z x x α
αα
因两轮齿数相等，故取
118
.017
15
17782
.025629.1min 21=-=
==
=x x x
min 21x x x >=，在加工齿轮时不发生根切。

021>+x x 由于,故该齿轮属于正传动。

（2）计算两轮几何尺寸 中心距变动系数：
25.120
300
325=-=
-'=
m
a a y
齿高变动系数：313.025.1563.121=-=-+=∆y x x y 分度圆半径：mm 1502
1520221=⨯==
==mz r r r
齿顶圆半径：ym xm m h r r r r a a a a ∆-++===*
21 mm 38.179)20313.020782.020150(=⨯-⨯++=
齿根圆半径：xm m c h r r r r a f f f ++-===)(*
*21
mm 64.140)20782.02025.1150(=⨯+⨯-=
基圆半径：mm 954.14020cos 150cos 21=====o
b b b r r r r α （3）检验重合度αε及齿顶厚a s 齿顶圆压力角： o
o
a
a
b a r r r r 21.3838
.17920cos 150arccos
cos arccos
arccos
====αα
重合度：)]tan (tan )tan (tan [21'
22'11ααααπ
εα-+-=
a a z z
02
.1)]
84.29tan 21.38(tan 15[1
)]tan (tan [1
'
1=-=
-=
o
o a z π
ααπ
分度圆齿厚：
mm
801.42)20tan 20782.022
20(
tan 22
21=⨯⨯+=+=
==o
a xm m
s s s ππ齿顶圆齿厚：
)inv (inv 221αα--===a a a a a a r r
r s
s s s
mm 367.13)]0149044.01203147.0(38.1792150
38.179801.42[=-⨯⨯-⨯
= 齿顶厚mm 84.0=>m s a ，齿
顶厚合格。

重合度虽然大于1，但小于许用重合度。

改变齿数，取1621==z z ，其他参数不变，重新设计。

（略）
【评注】本题综合性较强，涉及的公式不一定全记住，但方法应当熟练掌握。

5.6 .1学习效果测试题 10-1 判断题。

（1）渐开线的形状取决于基圆的大小。

（ ）
（2）任意倾斜的法向齿距，其大小都等于基圆齿距。

（ ）
（3）m 、α、*a h 、*c 都是标准值的齿轮一定是标准齿轮。

（ ）
（4）只有一对标准齿轮在标准中心距情况下啮合传动时，啮合角的大小才等于分度圆压力角。

（ ） （5）组成正传动的齿轮应是正变位齿轮。

（ ） （6）平行轴斜齿轮机构的端面模数为标准值。

（ ）
（7）在设计用于传递平行轴运动的齿轮机构时，若中心距不等于标准中心距，则只能采用变位齿轮以配凑实际中心距。

（ ）
（8）在蜗杆蜗轮机构中，传动比121212//d d z z i ==。

（ ） 10-2 填空题。

（1）以渐开线作为齿轮齿廓的优点是 、 。

（2）直齿圆柱齿轮机构的正确啮合条件是 、 。

（3）直齿圆柱齿轮机构的重合度的定义是 ，重合度愈大，表明同时参加啮合的轮齿对数愈 ，传动愈 。

（4）在设计直齿圆柱齿轮机构时，首先考虑的传动类型是 ，其次是 ，在不得已的情况下如 只能选择 。

（5）用标准齿条型刀具加工标准齿轮时，其刀具的 线与轮坯 圆之间作纯滚动。

（6）平行轴外啮合斜齿圆柱齿轮机构的正确啮合条件是 。

（7）加大螺旋角β可增加平行轴斜齿轮机构的 ，但同时会加大 ，所以螺旋角β应控制在 范围内。

（8）蜗杆蜗轮机构中的中间平面是指 的平面，在中间平面内相当于 啮合传动。

10-3 已知一对标准直齿圆柱齿轮的中心距160=a mm ，传动比312=i ，小齿轮齿数201=z 。

试求： （1）模数m 和分度圆直径1d 、2d ；
（2）齿顶圆直径1a d 、2a d 和齿距p 及基圆直径1b d 、2b d ； （3）重合度αε，并绘出单齿及双齿啮合区；
（4）如果将其中心距加大到162mm ，则此时的啮合角'α将加大、减小、还是保持不变？传动比12i 将加大、减小、还是保持不变？
10-4 一标准齿轮需要修复，其基本参数为201=z ，802=z ，3=m mm ，︒=20α，1*=a h ，25.0*=c 。

现要求中心距不变，而大齿轮的外径要减小6mm 。

试问： （1）能否采用等变位齿轮传动进行修复？
（2）计算修复后该对齿轮的几何参数。

10-5 测10-5题图所示为一变速箱，可实现三种传动比，各轮齿数分别为431=z ，432=z ，423=z ，
414=z ，4=m mm ，︒=20α，1*=a h ，25.0*
=c 。

，滑动齿轮1z 可以分别与2z 、3z 和4z 相啮合。

两轴之间中心距170'=a mm 。

试确定这三对齿轮传动的类型（不必计算尺寸）
测10-5题图
5.6.2参考答案
10-1 （1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）错误；（6）错误；（7）错误；（8）错误； 10-2 略
10-3（1）4=m mm ，801=d mm ，2402=d mm ；
（2）881=a d mm ，2482=a d mm ，56.12=p mm ，175.751=b d mm ，526.2252=b d mm ； （3）67.1=αε
（4）啮合角'α将加大；传动比12i 将保持不变。

10-4（1）可用；
（2）37.1=ε，721=a d mm ，2402=a d mm ，5.281
=f d
mm ，5.2262
=f d
mm
10-5 1z 、2z 正传动；1z 、3z 零传动，为了改善传动质量，采用高度变位齿轮传动；1z 、4z 负传动。