广东省广州市育才中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题

…………外…………………内………试题
第I 卷（选择题）
一、单选题 1．若函数()3sin2x
f x x =+，则（ ） A ．()3ln32cos2x
f x x =+'
B ．()32cos2x
f x x =+' C ．()3ln3cos2x
f x x =+'
D ．()3ln32cos2x
f x x =-'
2．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的两个焦点分别为12,,F F P 是椭圆上一点，
1210PF PF +=C 的标准方程为（ ）
A ．22
12510x y +=
B ．22
12520x y +=
C ．22
13020+=x y
D ．22
14530
+=x y
3．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则()|P B A =（ ） A ．
1011 B ．56
C ．1
2
D ．
512
4．用数字3，6，9组成四位数，各数位上的数字允许重复，且数字3至多出现一次，则可以组成的四位数的个数为（ ） A ．81
B ．48
C ．36
D ．24
5．函数()2ln x x
f x x
=的图象大致是（ ）
A ．
B ．
…订…………○…线…………____考号：___________
…订…………○…线…………C ． D ．
6．公园中有一块如图所示的五边形荒地，公园管理部门计划在该荒地种植126棵观赏树，若1至6六个区域种植的观赏树棵数成等比数列，且前3个区域共种植14棵，则第5个区域种植的观赏树棵数为（ ）
A ．16
B ．28
C ．32
D ．64
7．设()32
:21p f x x x mx =+++在(),-∞+∞内单调递增，28:4
x
q m x ≥
+对任意0x >恒成立，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．设2ln 2
a =
，3ln 3b =，e c =（e 2.718
≈），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
二、多选题 9．关于二项式5
x ⎛
⎝的展开式，下列选项正确的有（ ）
A ．总共有6项
B ．存在常数项
C ．2x 项的系数是40
D ．二项式系数之
和为32
10．已知抛物线2
(0)y mx m =>焦点与双曲线点2
2
13
y x -=的一个焦点重合，点
()02,P y 在抛物线上，则（ ）
A ．双曲线的离心率为2
B ．双曲线的渐近线为3y x =±
C ．8m =
D ．点P 到抛物线焦点的距离为6
○…………装…………学校:___________姓名：_________○…………装…………11．已知函数()1cos sin f x x x x x +++＝的定义域是[]22ππ-，，则以下结论正确的是( )
A ．()f x 在()0π，上不上单调函数
B ．导函数()f x '的图像关于y 轴对称
C ．()f x 在-2,-2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦的最小值大于－π
D ．()f x 在定义域内至少有2个极小值
12．网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新的形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第二个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第三个正方形MNPQ ，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形ABCD 的边长为a 1，后续各正方形的边长依次为a 2，a 3，…，an ，…；如图阴影部分，设直角三角形AEH 面积为b 1，后续各直角三角形面积依次为b 2，b 3，…，bn ，….下列说法正确的是（ ）
A ．正方形MNPQ 的面积为25
16
B ．1
4n n a -=⨯⎝⎭
C ．使不等式1
4
n b >
成立的正整数n 的最大值为4 D ．数列{}n b 的前n 项和4n S < 第II 卷（非选择题）
三、填空题 13．某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排8个座位，安排4名同学就坐，共有______种不同的安排方法.(用数字作答)
14．函数2ln y x x =-上的点到直线2y x =-的最短距离是________．
15．已知函数3213,02
()2343,03x
x f x x x x x ⎧⎛⎫⋅≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-
++>⎪⎩，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a
=-++恰有4个不同的零点，则a 的取值范围为____________． 四、双空题 16．已知55432543210(1)kx a x a x a x a x a x a -=+++++，则0a =_____，若12345244a a a a a +=+++，则实数k 的值为_____．
五、解答题 17．已知数列{}
n a 满足13n n a a +-=，且124,,a a a 成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
前n 项和为n S
18．近年来，某市为促进生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾桶．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾桶中的生活垃圾，总计400吨，数据统计如下表（单位：吨）．
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率p ；
(2)若处理1吨厨余垃圾需要5元，处理1吨非厨余垃圾需要8元，请估计处理这400吨垃圾所需要的费用；
(3)某社区成立了垃圾分类宣传志愿者小组，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，现
…………订…………：___________考号：_______…………订…………从这10名志愿者中随机选取3名，利用节假日到街道进行垃圾分类宣传活动（每名志愿者被选到的可能性相同）．设X 为选出的3名志愿者中男性志愿者的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望．
19．已知函数32()f x x ax bx c =+++在点(1,2)P 处的切线斜率为4，且在1x =-处取得极值．
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)当[2,2]x ∈-时，求函数()f x 的最值． 20．如图，在三棱锥A BCD -中，AB AC ==
2BC CD ==，AD 90BCD ∠=︒.
(1)证明：平面ABC ⊥平面BCD ； (2)求二面角D AB C --的大小.
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，()*
)n S n N
∈在函数2
y x
=的图象上，数列
{}n b 满足()
1*1622,n n n b b n
n N +-=+∈，且113b a =+
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)证明列数12n n
b ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； (3)设数列{}n c 满足对任意的*
3121
23122,2222n n n
n c c c c n N a b b b b +∈=+++⋯+++++均有成立，求1232010c c c c +++⋯+的值． 22．已知函数()()1
ln 0f x a x x x
=+
>． (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若存在1x ，2x 满足120x x <<，且121x x =+，()()12f x f x =，求实数a 的取值范围．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
用函数的求导法则、常用函数的导数及复合函数的导数可得解.
【详解】
因为()3sin2
x
f x x
=+，
所以()3ln32cos2
x
f x x
=+
'.
故选：A.
2．B
【解析】
【分析】
根据椭圆定义以及离心率公式，结合222
a b c
=+，进行基本量的计算即可得解.
【详解】
根据椭圆定义可得
12
210
PF PF a
+==，
所以5
a=，
由离心率
c
e
a
==，所以c=
由22225520
b a c
=-=-=，
所以椭圆C的标准方程为
22
1
2520
x y
+=.
故选：B
3．C
【解析】
【分析】
根据已知条件先分析事件A对应的情况数，然后分析事件,A B同时发生的情况数，由此求解出()()
,
P A P AB的值，再根据公式()
()
()
P AB
P B A
P A
=求解出结果.
【详解】
由题知，事件A出现的情况有66630
⨯-=种，事件A，B同时出现的情况有3515
⨯=种，
所以()1536P AB =，30
()36
P A =，()()()151302P AB P B A P A ===． 故选：C. 4．B 【解析】 【分析】
根据题意，分2种情况讨论：①数字3不出现，①数字3出现1次，求出每种情况下四位数的数目，由加法原理计算可得答案. 【详解】
解：根据题意，数字3至多出现一次，分2种情况讨论：
①数字3不出现，此时四位数的每个数位都可以为6或9，都有2种情况， 则此时四位数有2×2×2×2=16个；
①数字3出现1次，则数字3出现的情况有4种，剩下的三个数位，可以为6或9，都有2种情况，
此时四位数有4×2×2×2=32个， 故有16+32=48个四位数， 故选：B. 5．D 【解析】 【分析】
根据函数()f x 为偶函数，以及在01x <<时的单调性即可由排除法解出． 【详解】
因为函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，而()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，其图象
关于y 轴对称，所以B 错误；当01x <<时，()2ln ln x x
f x x x x
==，由()ln 10f x x '=+=可得1=x e ，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增，所以C 错误；而
()0f e e =>，排除A ，所以D 正确． 故选：D ．
【解析】 【分析】
根据题意，利用等比数列的求和公式，列出方程组，求得1,a q ，进而求得第5个区域种植观赏树的棵数，得到答案． 【详解】
由题意，设等比数列{}n a 首项为1a ，公比为q ，
可得
()311141a q q
-=-且
()6111261a q q
-
=-，所以
63
3112619114
q q q -=+==-， 解得12,2a q ==，则4
52232a =⨯=，即第5个区域种植32棵．
故选：C. 7．B 【解析】 【分析】
求出()f x 的导函数，令导函数大于等于0恒成立，令判别式小于等于0求出m 的范围即命题p 中m 的范围；利用基本不等式求出命题q 中m 的范围；利用两个命题中m 的范围的包含关系得到两个命题的条件关系． 【详解】 解：
32()21f x x x mx =+++在(,)-∞+∞内单调递增
2()340f x x x m '∴=++≥恒成立，
∴16120m ∆=-≤ ∴43
m ≥
当0x >时，2
88244x x x x ==++，当且仅当4x x =，即2x =时取等号， 2m ∴≥
由43m ≥
推不出2m ≥，由2m ≥推得出4
3
m ≥， p ∴是q 必要不充分条件．
故选：B
【解析】 【分析】 利用函数()(0)ln
x
f x x x
=
>的单调性对a ，b ，c 进行大小比较即可. 【详解】
令(
)(0)ln x
f x x x =
>，则()(
)()
22ln ln ln 1()(0)ln ln x x x x x f x x x x ''--'==> 由()0f x '>，得e x >，由()0f x '<，得0e x << 则()(0)ln x
f x x x
=>在()0e ，单调递减，在()e +∞，
单调递增，在e x =时取最小值.
故
2e e ln 2ln e >=，且3e e ln 3ln e
>= <<0<<即ln 2ln 3023<
<，则32
0ln 3ln 2
<< 综上，有32
e ln 3ln 2
<<，即c b a << 故选：A 9．ACD 【解析】 【分析】
根据二项展开式352
15
2r r
r r T C x
-
+=以及二项式系数的概念，逐项分析判断即可得解.
【详解】
根据二项展开式的通项公式可得： 355215
52r r r
r r r
r T C x
C x --+==， 对A ，由指数为5，展开式共有6项，A 正确； 对B ，由352
152r r r r T C x
-+=，
若要存在常数项即3502
r
-=有解， 此时10
3
r =
，不符题意，不存在常数项，故B 错误；
对C ，令3522
r
-
=，解得2r =， 此时222
352T C x =，25440C =，故C 正确；
对D ，由二项式系数和为5232=，故D 正确. 故选：ACD 10．AC 【解析】 【分析】
由双曲线的方程，求得1,2a b c ===，利用双曲线的几何性质，可判定A 正确，B 错误；根据题意，列出方程24
m
=，可判定C 正确；根据抛物线的定义，可判定D 错误. 【详解】
由双曲线2
2
13
y x -=，可得1,a b ==2c ，
所以双曲线的离心率为2
21
c e a ===，所以A 正确；
由双曲线的渐近线为y =，所以B 错误；
由抛物线2
(0)y mx m =>焦点与双曲线点2
2
13
y x -=的一个焦点重合，
可得24
m
=，解得8m =，所以C 正确；
由抛物线28y x =的准线方程为2x =-，则点()02,P y 到其准线的距离为2(2)4--=， 到焦点的距离也为4，所以D 错误. 故选：AC. 11．AD 【解析】 【分析】
求f (x )的导数()f x '，根据导数的正负变化逐项判断即可. 【详解】
()1sin sin cos 1cos f x x x x x x x '-++＝+＝，
①()()33001010244f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫
>-<-< ⎪
⎝''''⎪⎭⎝⎭
＝，＝
，＝，
而()f x '在()0,π图像是连续的，①()f x '不恒为正或负，故f (x )在()0,π不单调，故A 正确；
()()1cos f x x x f x -'≠'-＝，故()f x '不是偶函数，图像不关于y 轴对称，故B 错误； ①存在()()2121021f ππππ---<-＝
++＝，故()f x 在-2,-2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦的最小值必小于或等于π-，故C 错误；
①()()()()212010102120f f f f ππππππππ--'+'''<->-<>＝
，＝+，＝，＝，而()f x '在[]22ππ-，
上图像是连续的，故()f x '在[]22ππ-，上函数值至少出现了两次由负变正，即f (x )在[]22ππ-，上至少有两个极小值，故D 正确. 故选：AD. 12．BCD 【解析】 【分析】
根据题意，先求的,n n a b ，再对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】
根据题意可得：2
2
2
2
111315448n
n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故可得{}
2n
a
是首项为2
1
16a =，公比为58的等比数列，则1
2
5168n n a -⎛⎫=⨯ ⎪
⎝⎭
，
则1
4n n a -==⨯⎝⎭
；
根据题意可得：1
21313352443228n n n n n b a a a -⎛⎫
=⨯⨯==⨯ ⎪
⎝⎭；
对A ：由1
4n n a -=⨯⎝⎭
可得352a =
，故正方形MNPQ 的边长为5
2
， 故其面积为2
52524⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，故A 错误；
对B ：根据上述求解过程，1
4n n a -=⨯⎝⎭
，故B 正确；
对C ：因为()1
3528n n b f n -⎛⎫
==⨯ ⎪
⎝⎭
是关于n 的单调递减函数，
又45375118751
,1024481924
b b =
>=<， 故不等式1
4
n b >
成立的正整数n 的最大值为4，故C 正确； 对D ：1
3528n n b -⎛⎫
=⨯ ⎪
⎝⎭
，显然{}n b 是首项为32
，公比为5
8的等比数列，
故其前n 项和3512854445818
n
n n
S ⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯< ⎪⎝⎭
-，故D 正确.
故选：BCD . 【点睛】
本题综合考察等比数列通项公式、以及等比数列前n 项和的求解，属综合中档题. 13．120 【解析】 【分析】
根据插空法，由题意求解，即可得出结果. 【详解】
因为四个互不相邻的空位可产生五个位置，则这四个同学可以在这五个位置就坐，
因此共有4
5120A =种不同的安排方法.
故答案为：120. 【点睛】
本题主要考查排列问题，利用插空法求解即可，属于常考题型. 14 【解析】 【分析】
由题意知：平行于2y x =-且与2ln y x x =-相切的直线上的切点，即为要找的点，进而应用点线距离公式求最短距离即可.
………外………………内………【详解】
要使2()ln f x x x =-上的点到直线2y x =-的最短，则该点切线平行于2y x =-， 由1()2f x x x '=-且0x >，令1
()21f x x x
'=-=，
①2210x x --=，解得12
x =-（舍）或1x =， ①切点为(1,1)= 15．1314,33⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
由分段函数结合导数求出()f x 值域，令()t f x =，结合()g t 图象特征采用数形结合法可求a 的取值范围. 【详解】
3213,02()2343,03
x
x f x x x x x ⎧⎛⎫⋅≤⎪ ⎪⎪
⎝⎭=⎨⎪-++>⎪⎩，
当0x ≤时，()0
1133322x
f x ⎛⎫⎛⎫
=⋅≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，函数为减函数；
当0x >时，()3
223433
f x x x x =
-++，()()
()()22264232212f x x x x x x x =-+=-+=--'，()0,1x ∈和()2,+∞时，()f x 单增，
()1,2x ∈时，()f x 单减，()1413
f =
，()1323f =，
故()f x 的图象大致为：
…订…………○____考号：___________
…订…………○令()t f x =，则()3,t ∈+∞，
()()()()22()[()](2)()2222g x f x a f x a g t t a t a t a t =-++⇔=-++=--，[)3,t ∞∈+
当2a =时，()()2
2g t t =-，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点；
当2a <时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点； 当2a >时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()0g t =，则t a =，
要使2()[()](2)()2g x f x a f x a =-++恰有4个不同的零点，则()1314,33t f x ⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，
即1314,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
.
故答案为：1314,33⎛⎫
⎪⎝⎭
16． 1- 4 【解析】 【分析】
根据二项式定理令0x =求得0a ，令1x =得()45
053211a a a k a a a ++-=+++，便可求得参数
k .
【详解】 解：由题意得：
55432543210(1)kx a x a x a x a x a x a -=+++++
∴当0x =时，则()5
011a =-=-
当1x =时，()45
053211a a a k a a a ++-=+++ 又
12345244a a a a a +=+++
()
5
11244k -+=，解得4k =
故答案为：1-；4 17．(1)3n a n =； (2)9(1)
n n
S n =
+.
【解析】 【分析】
（1）根据题目所给递推关系，利用等差数列定义和通项公式进行基本量的计算即可得解； （2）利用裂项相消法进行计算即可得解. (1)
由13n n a a +-=，可得{}n a 为等差数列，公差3d =，
根据124,,a a a 为等比数列可得2
214a a a =，
所以2
111(3)(9)a a a +=+，
解得13a =，
所以3(1)33n a n n =+-⋅=， (2) 由
11111111
()3(33)9(1)91
n n a a n n n n n n +==⋅=⋅-+++， 所以111111
1111(1)(1)922334
1919(1)
n n
n n n n S =-+-+-+
+
-=-=+++. 18．(1)3
5
(2)2900元 (3)分布列见解析，910
【解析】 【分析】
（1）由题表可得厨余垃圾共有100吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，根据古典概型即可求出结果；
（2）由题表可得这400吨垃圾由100吨厨余垃圾，300吨非厨余垃圾，根据题意，即可求出结果；
（3）由题意可知随机变量X 服从超几何分步，根据超几何分步即可求出分布列和期望.
(1)
解：由题表可得厨余垃圾共有602020100++=吨，其中投入厨余垃圾桶的有60吨，所以厨余垃圾投放正确的概率603
1005
p ==； (2)
解：由题表可得这400吨垃圾由100吨厨余垃圾，300吨非厨余垃圾，则处理费用为510083002900⨯+⨯=（元）
所以估计处理这400吨垃圾需要2900元； (3)
解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3
0337
3107(0)24C C P X C ===，123731021
(1)40
C C P X C ===
21373107(2)40C C P X C ===，30373101
(3)120
C C P X C ===
所以X 的分布列为
所以721719()012324404012010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯= 所以选出的3名志愿者中男性志愿者个数的数学期望为9
10
. 19．(1)32()1f x x x x =+-+； (2)min ()1f x =-，max ()11f x =. 【解析】 【分析】
（1）根据点(1,2)P 在函数图像上，再根据导数的几何意义以及极值点处导函数为0，联立方程即可得解；
（2）由2()321f x x x '=+-，求得极值点处函数值和端点处函数值，进行比较即可求得最大
值和最小值. (1)
由2()32f x x ax b '=++ 根据题意可得：
(1)12(1)324(1)320f a b c f a b f a b =+++=⎧⎪
=++''=⎨⎪-=-+=⎩
， 解得1,1,1a b c ==-=， 所以32()1f x x x x =+-+； (2)
由（1）知： 2()321f x x x '=+-，
令()f x '=(31)(1)0x x -+=， 解得1
,13
x x ==-，
当[)2,1x ∈--时，()0f x '>，()f x 为增函数，
当1
(1,3
x ∈-时，()0f x '<，()f x 为减函数，
当1,23x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()0f x '>，()f x 为增函数，
由(2)1f -=-，(1)2f -=，
122()327
f =，(2)11f =， 所以min ()1f x =-，max ()11f x =. 20．(1)证明见解析 (2)
3
π 【解析】 【分析】
（1）由勾股定理逆定理得到AC CD ⊥，再由BC CD ⊥，即可得到CD ⊥平面ABC ，从而得证；
（2）取BC 的中点O ，连接AO ，即可得到AO ①平面BCD ，如图建立空间直角坐标系，
………外…………○………学校:________………内…………○………利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解； (1)
证明：因为AB AC ==
2BC CD ==，2
AD =，所以222
112AC CD AD +==，所以
AC CD ⊥，又BC CD ⊥，,AC BC ⊂平面ABC ，AC BC C =，①CD ⊥平面ABC ，又
CD ⊂平面BCD ，
①平面ABC ①平面BCD ； (2)
解：取BC 的中点O ，连接AO ，因为AB AC =，所以AO BC ⊥，又平面ABC ①平面
BCD ，平面ABC 平面BCD BC =，AO ⊂平面ABC ，所以AO ①平面BCD ，以BC 的中
点O 为原点，,,OB CD OA 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系，则A ⎛ ⎝⎭
，(1,0,0)B ，()1,0,0C -，(120)D -， ， ，所以1,0,AB ⎛= ⎝⎭，()2,2,0DB =-，显然(0,1,0)m =为平面ABC 的法向量，
设(),,n x y z =是平面ABD 的法向量，则00AB n DB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00
x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩
， 令1x y ==，得(1,1,2n =，所以1
cos ,2
||||n m n m n m ⋅=
=⋅，显然二面角D AB C --为锐二
面角，故所求二面角的平面角为
3
π.
21．(1)()
*
21a n n N =-∈
(2)证明见解析，()*
62n n n b n N =-∈
(3)
()
2011
2695
+ 【解析】 【分析】
（1）利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求解数列{}n a 的通项公式；（2）根据题干条件变形得到
1113122n n n n b b --⎛⎫
+=+ ⎪⎝⎭()2n ≥，从而得到结果；（3）求出()()181262n n
n c n ⎧=⎪=⎨⨯⎪⎩
，利用分组求和和等比数列求和公式进行求解. (1)
点(),n n S 在函数2y x =的图象上，()
2*
n S n n N ∴=∈
当1n =时，2
1111a S ===
当2n 时，()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=- 11a =也适合，
{}n a ∴的通项公式为()*21n a n n N =-∈
(2)
①()1
1622n n n b b n +-=+
①()111111
6211333122222n n n n n n n n n b b b b n +-----+⎛⎫
+=+=+=+ ⎪⎝⎭
①111134132b
b a =+=∴+= ①12n n
b ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭其首项为3，公比为3的等比数列 ①113332
n n n n b
-+=⨯= ①()*
62n n n b n N =-∈
(3)
由（2）得26n n
n b +=
由题意得：n *
∈N 均有，311
1
231232222n n n
n c c c c a b b b b +=++++++++ ①()3111
231
123122222n n n n c c c c a n b b b b ---=
++++++++ ①()1222n
n n n
n c a a n b +-=
=+ ①()
2226n n
n n c b =+=⨯()2n
又①1
2132
c a b =
=+ ①()11323618c b =+=⨯= ①()()181262n n n c n ⎧=⎪=⎨⨯⎪⎩
①()
2342010
12320101826666c c c c +++⋯+=++++⋯+
=()
1232010626666++++⋯+
=(
)20102011
66126
186261
5
-⋅++⋅=-
=
()
2011
2695
+ 22．(1)当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，
在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增； (2)()2,+∞. 【解析】 【分析】
（1）根据a 的正负性，结合导数的性质分类讨论求解即可；
（2）根据已知等式构造函数()1
ln h t a t t t
=+-，利用导数的性质，结合一元二次方程的求
解根公式判断该函数的单调性，再通过构造新函数，利用导数的性质进行求解即可. (1)
函数()f x 的定义域为()0,∞+，()2
1
ax f x x -'=
． 当0a ≤时，()0f x <′
，()f x 在()0,∞+上单调递减；
当0a >时，令()0f x <′，得10x a <<，令()0f x >′，得1x a >， 所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增； (2) ()()21212121211111ln ln ln 0x f x f x a x a x a x x x x x =⇒+=+⇒+-=， 又121x x =+，则21212212121121ln 0ln 0x x x x x x x x a a x x x x x x +++-=⇒+-=． 令211x t x =>，即方程1ln 0a t t t +-=在()
1,+∞上有解． 令()1ln h t a t t t =+-
，()1,t ∈+∞， 则()2211a t t at t h t t t ⎛⎫-+ ⎪
-+-⎝⎭'==，()1,t ∈+∞．12t t +>， 当2a ≤时，()0h t
'<，()h t 在()1,+∞上单调递减， 又()10h =，则()0h t <在()1,t ∈+∞上恒成立，不合题意； 当2a >时，240a ->，令210t at -+-=，可知该方程有两个正根，
因为方程两根之积为1且1t >，所以t = 当t ⎛∈ ⎝⎭时，()0h t '>， 当t ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0h t '<； 则t ⎛∈ ⎝⎭时，()()10h t h >=， 而()()221e e 1e 2e a a a a h a a a =+-<+->． 令()()21e 2x x x x ϕ=+->，则()2e x x x ϕ'=-， 令()()m x x ϕ='，()2e 0x m x '=-<， 则()x ϕ'在()2,+∞上单调递减，()()224e 0x ϕϕ'<'=-<，
则()x ϕ在()2,+∞上单调递减，()()225e 0x ϕϕ<=-<，即()e 0a h <， 故存在0a t ⎫∈⎪⎪⎝⎭，使得()00h t =，故2a >满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围是()2,+∞． 【点睛】
关键点睛：根据等式的形式构造新函数，再根据不等式的形式构造新函数是解题的关键.。