圆中常见的辅助线的作法

ＩＮＴＥＬＬＩＧＥＮＣＥ
（上接第６５页）圆中常见的辅助线的作法
全椒县石沛初级中学尹恩余
在几何计算和证明中，往往需要在已有的图形中添加辅助线。

现就圆中相关的问题结合本人多年教学经验谈谈几种辅助线的作法，以供大家参考。

一、作半径
１．作半径构造等腰三角形。

例１如图所示，ＣＤ是⊙Ｏ的直径，∠ＥＯＢ＝８４°，ＡＥ交
⊙Ｏ于点Ｂ且ＡＢ＝ＯＣ，求∠Ａ。

提示：连ＢＯ，
ＢＯ＝ＯＥ→∠ＯＢＥ＝∠ＯＥＢ
ＡＢ＝ＯＣ＝ＯＢ→∠Ａ＝∠ＢＯＡ
又∵∠ＯＢＥ＝∠Ａ＋∠ＢＯＡ＝２∠Ａ
∠Ｅ＝∠ＯＢＥ＝２∠Ａ
∴∠ＥＯＤ＝∠Ａ＋∠ＡＥＯ＝３∠Ａ例２已知：如图２，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，弦ＰＱ交ＡＢ于Ｍ，
并且ＰＭ＝ＭＯ，求证：ＡＰ（弧）＝１／３ＢＱ（弧）
提示：连ＰＯ和ＰＱ，得等腰三角形△Ｐ－
ＭＯ和等腰三角形△ＰＯＢ。

∠ＭＰＯ＝∠ＭＯＰ＝∠ＰＡＯ
∠ＱＯＢ＝∠ＭＱＯ＋∠ＰＱＯ＝∠ＭＰＯ＋
∠ＡＯＰ＋∠ＰＱＯ＝３∠ＡＯＰ→ＡＰ＝１／３ＢＱ２．作过切点的半径。

例３如图３，⊙Ｏ与△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ
相交于点Ｄ、Ｅ，与ＢＣ相切于点Ｆ，若ＡＦ平分
∠ＢＡＣ。

求证：ＤＥ∥ＢＣ。

提示：连ＯＦ得ＯＦ⊥ＢＣ。

由ＡＦ平分
∠ＢＡＣ得到∠ＢＡＦ＝∠ＣＡＦ，推出ＤＦ＝ＣＦ。

由
垂径定理的推论得到ＯＦ⊥ＤＥ。

问题得证。

例４如图４，ＯＡ、ＯＢ是⊙Ｏ的半径，并且ＡＯ⊥ＯＢ，Ｐ是ＯＡ上任一点，ＢＰ的延长线交⊙Ｏ与Ｑ，过Ｑ点的切线交ＯＡ的
延长线于Ｒ，求证：ＲＰ＝ＲＱ。

提示：连ＯＱ得等腰三角形△ＢＯＱ和Ｒｔ
△ＯＱＰ，再加∠ＢＯＲ＝９０°很容易得△ＲＰＱ
为等腰三角形。

３．作半径和弦心距或弦心距。

例５如图５所示，⊙Ｏ的直径ＡＢ和弦
ＣＤ相交于点Ｅ，已知ＡＥ＝１ｃｍ，ＥＢ＝５ｃｍ，
∠ＤＥＢ＝６０°。

求ＣＤ长。

提示：作ＯＦ⊥ＣＤ，连ＯＤ，得两个Ｒｔ△Ｅ－
ＯＦ和Ｒｔ△ＤＯＦ，ＯＥ＝（ＡＥ＋ＢＥ）／２－ＡＥ＝２ｃｍ，
ＯＦ＝ＥＯｓｉｎ６０°＝３
!ｃｍ。

在Ｒｔ△ＤＯＦ中，
ＤＦ＝ＤＯ２－ＯＦ２
!＝６
!ｃｍ，ＣＤ＝２６
!ｃｍ。

例６如图６所示，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝
９０°、ＡＣ＝３、ＢＣ＝４，以Ｃ为圆心、ＣＡ为半径
画圆交ＡＢ于Ｄ点，求ＡＤ长。

提示：作弦ＡＤ的弦心距ＣＥ，ＣＥ又为
△ＡＢＣ斜边上的高，问题可解。

二、作垂直于直径的弦
例７如图所示，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，
ＣＤ⊥ＡＢ垂足为Ｄ，Ｃ为弧ＡＥ的中点，连ＡＥ
交ＣＤ于Ｐ点。

求证：ＡＰ＝ＣＰ。

提示：延长ＣＤ交⊙Ｏ于Ｍ点，由垂径定
得易得弧ＡＦ、弧ＡＣ、弧ＣＥ都相等，∠ＣＡＥ＝
∠ＡＣＦ，从而ＡＰ＝ＣＰ。

三、作直径或直径所对的圆周角
例８如图所示，四边形ＡＢＣＤ的四个
顶点在⊙Ｏ上，且ＡＣ⊥ＤＢ、ＯＥ⊥ＢＣ于Ｅ。

求
证：ＯＥ＝１／２ＡＤ。

提示：作直径ＢＦ，并连ＣＦ，由垂径定理、
三角形中位线定理得ＣＦ＝２０Ｅ。

接下来只需
证ＣＦ＝ＡＤ即可，再由圆周角定理易证得
∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＦ。

四、两圆相切时作两圆的公切线或连心
线
例９如图９所示，⊙Ｏ１和⊙Ｏ２外切点
Ｐ，直线ＡＢ过Ｐ的交⊙Ｏ１、⊙Ｏ２于Ａ、Ｂ两点，
过Ａ点且与⊙Ｏ２相切于Ｃ的直线交⊙Ｏ１于
Ｄ。

求证：ＰＣ平分∠ＢＰＯ。

提示：过Ｐ点作两圆的内公切线ＰＱ，
∠Ａ＝∠ＤＰＱ、∠ＱＰＣ＝∠ＰＣＡ、∠ＢＰＣ＝∠Ａ＋
∠ＰＣＡ＝∠ＤＰＣ。

例１０如图１０所示，⊙Ｏ１于⊙Ｏ２外切
于Ｐ，过Ｐ直线交⊙Ｏ１于Ａ，交⊙Ｏ２于Ｂ，若
⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的半径比为２：１，求ＡＰ：ＢＰ。

提示：如图，作连心线和半径，得
△ＡＯ１Ｐ∽△ＢＯ２Ｐ→ＡＰ：ＢＰ＝ＡＯ１：ＢＯ２＝２：１。

五、两圆相交时作公共弦
例１１如图１１所示，⊙Ｏ１与⊙Ｏ２相交
于Ａ、Ｂ两点，直线ＡＯ１交⊙Ｏ１于点Ｃ，交
⊙Ｏ２于点Ｄ，ＣＢ的延长线交⊙Ｏ２于点Ｅ，连
结ＤＥ，已知ＣＤ＝８、ＤＥ＝６，求ＣＥ长。

提示：连ＡＢ。

由ＡＣ为⊙Ｏ１的直径得
∠ＡＢＣ＝９０°，由圆的内接四边形的性质定理得∠ＣＤＥ＝９０°。

从而，得到ＣＥ＝ＣＤ２＋ＤＥ２
!＝１０。

并在创造活动中体味到成功的喜悦，教师
通过教育使学生创造性地学习、创造性地活动，这是教育成功
的标志。

要想让学生成为思维活跃敏捷、想象丰富、有创造力的
一代新人。

电教媒体能使学生大脑处于兴奋状态，活跃学生的
思维活动，有利于学生创造性潜力的开发。

通过声情并茂的电
教演示，焕发了学生们的创造力，使他们领略到创造的愉快。

总之，在语文教学中，电教媒体是创设学习情境，帮助学生
主动学习、协作、探究、完成知识意义建构的认知工具，而不是
教师向学生灌输知识所使用的手段、方法。

它要求一线教师必
须充分吃透教材和课程标准，挖掘出教材的重点、难点和蕴含
的思想方法，挖掘出教材中的美学因素，了解学生的认知规律，
确定符合学生现有知识水平的教学方法，合理、适时、适度、创
造性的使用电教媒体辅助教学，给学生创设了愉悦的情境，一
定会收到独特而又创新的效果，充分发挥它的优势，更好地为
教学服务。

教材教
法
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