苏教版高中数学选修4-2：投影变换

(2)设点(x，y)是平面直角坐标系 xOy 内的任意一点，则 它在这个投影变换作用下得到的点为(x－y,0)，即xy→x－0y，
从而可知所求的变换矩阵为10 －10.
1．矩阵10 00确定的投影变换，将坐标平面上的所有点 垂直投影到 x 轴上，即(x，y)―→(x,0)；矩阵11 00确定的投 影变换，将坐标平面上的所有点沿垂直于 x 轴方向投影到直
沿垂直于直线 x＋y＝0 的方向投影到直线 x＋y＝0 上．
1 1
2 1
21对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直
2 2
于直线 y＝x 的方向投影到直线 y＝x 上.
1．已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，矩阵00 01对应的投影 变换把椭圆变成________．
例 1 设一个投影变换把直角坐标系 xOy 内的任意一点 沿平行于直线 y＝x 的方向投影到 x 轴上．试求：
(1)点 A(3,2)在这个投影变换作用下得到的点 A′的坐标； (2)这个投影变换对应的变换矩阵． 【思路探究】 根据题设条件画出图形，数形结合求解．
【自主解答】 (1)如图所示，点 A(3,2)在这个投影变换 作用下得到的点 A′的坐标为(1,0)．
1 (2)矩阵－212
－121，121 2 2
1 21对应的变换的几何意义是什 2
么？
【解】 (1)10 00对应变换的几何意义在于其将平面上
的点沿垂直于 x 轴的方向投影到 x 轴上．
1 0
10对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿平行
【解析】 设椭圆上任意一点 P(x，y)在投影变换下对应 点 P′(x′，y′)，
则xy′′＝00 01xy＝0y， ∴xy′ ′＝ ＝0y.， 椭圆xa22＋by22＝1 中，－b≤y≤b， ∴投影后的曲线方程为 x＝0(－b≤y≤b)，为一条线段． 【答案】 线段
投影变换
问题情境
中午的太阳光下,一排排的树木的影子会 投影到各自的树根。
排球中场休息时,工作人员用平地拖 把拖扫比赛场地.要求同时同向推动拖把, 把垃圾推到边界线停止。
图1树在中午的阳光下形成影子 图2把垃圾推到边界线
提出问题
这两个生活中事情，实质反映了平 面上的点在某一直线上的投影，能否用 矩阵来表示？
于直线 x＋y＝0 的方向投影到 x 轴上．
1 1
00对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直
于 x 轴的方向投影到直线 y＝x 上．
0 0
01对应变换的几何意义在于其将平面上的点沿垂直
于 y 轴的方向投影到 y 轴上．
1 2 (2)－12
－121对应变换的几何意义在于其将平面上的点 2
y
故所求矩阵为
0 0
0 1
P(x,y) P/(0, y)
ox
反思问题
研究矩阵M=
1 1
0 0
所确定的变换。
对于平面内任意列向量

xy，有
1 1
0 0
x

y


x x
y (x, y) y=x
矩阵M使得平面上点的横坐标 不变，纵坐标变为与横坐标相等.
线 y＝x 上，即(x，y)―→(x，x)；矩阵00 01确定的投影变换， 将坐标平面上的所有点垂直投影到 y 轴上，即(x，y)―→(0， y)．
2．求解该类问题常用数形结合思想求解．
(1)矩阵10 00，10 10，11 00，00 01对应的变换的几何 意义是什么？
解决问题
方案1:以直线为x轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投
影后的点坐标为(x,0).
y P(x,y)
故所求矩阵为
1 0
0 0
o P/(x,0) x
解决问题
方案2:以直线为y轴,建立直角坐标系,
设平面上的任一点的坐标为(x,y),则投
影后的点坐标为(0,y).
(x, x)
o
x
该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y=x上，如图。
建构数学
像
1 0
0 1 0 1
0 0
这类将平面内图形投影到某条直线
(或某个点) 上的矩阵,我们称之为投影变换矩阵,
相应的变换称做投影变换.
(1)投影变换的几何要素: 投影方向, 投影到的某条直线L. (2)投影变换矩阵能反映投影变换的几何要素 (3)与投影方向平行的直线投影于L的情况是某个点 (4)投影变换是映射,但不是一一映射
数学运用
1
研究线段AB在矩阵

2

1 2
Байду номын сангаас
1
2

作用下变换
1
2
得到的图形,其中A(0,0),B(1,2).
思考：
1
说明矩阵

2

1 2

所对应

1 2
1 2
的变换的几何意义。
y
B
B’
A (A’)
x
该变换将平面内的点沿垂直于直线y=-x 方向 投影到直线y=-x上。