自动控制原理 第4章-电子素材

第四章 线性系统的复域分析
4.1根轨迹法的基本概念
根轨迹是当开环系统某一参数（如根轨迹增益*K ）从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s 平面上移动的轨迹。

根轨迹方程
闭环控制系统一用图4-1所示的结构图来描述。

开环传递函数可表示为
∏∏==--=
n
j j
m
i i
p
s z s K
s H s G 1
1
*
)
()
()()( （4-1）
系统的闭环传递函数为 )
()(1)
()(s H s G s G s +=
Φ （4-2）
系统的闭环特征方程为
0)()(1=+s H s G （4-3） 即
=
)()(s H s G 1)
()
(1
1
*
-=--∏∏==n
j j
m
i i
p
s z s K
（4-4）
式（4-4）称为根轨迹方程，也可以用幅值条件和相角条件来表示。

幅值条件： =)()(s H s G 1)
()
(1
1
*
=--∏∏==n
j j
m
i i
p
s z s K
（4-5）
相角条件：∠)()(s H s G =
=-∠--∠∑∑==n
j j
m i i
p
s z s 1
1
)()(
图4-1 系统结构图
∑∑==+=-n
j j
m i i k 1
1
)12(πθ
ϕ ,2,1,0±±=k （4-6）
4.2绘制根轨迹的基本法则
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m 少于开环极点个数n ，则有)(m n -条根轨迹终止于无穷远处。

法则2 根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数m 、开环极点数n 中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。

法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。

法则 4 根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数n 大于开环零点个数m 时，有m n -条根轨迹分支沿着与实轴夹角为a ϕ、交点为a σ的一组渐近线趋向于无穷远处，且有
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧
--=
-+=∑∑==m n z p m
n k m
i i n j j a a
1
1)12(σπϕ k =0，1，2，…1--m n （4-7）
法则5 根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s 平面上相遇又分离的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d 满足方程
∑
∑==-=-m
i i
n
j j z d p d 111
1 （4-8） 法则 6 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征
方程出现纯虚根。

故可在闭环特征方程中令ωj s =，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得交点的坐标值及其相应的*K 值。

此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应*K 值下处于临界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的*K 值。

此处的根轨迹增益称为临界根轨迹增益。

法则7 根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以i p θ表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以i z ϕ表示。

起始角、终止角可直接利用相角条件求出。

法则8 根之和：当系统开环传递函数)()(s H s G 的分子、分母阶次差（m n -）大于等于2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。

∑∑===n
i i n
i i p 1
1
λ 2≥-m n （4-8） 式中，n λλλ ,,21为系统的闭环极点（特征根），n p p p ,,21为系统的开环极点。

利用根之和法则可以确定闭环极点的位置，判定分离点所在范围。

4.3 广义根轨迹
当需要分析正反馈条件下或除系统的根轨迹增益*K 以外的其它参量（例如时间常数等）变化对系统性能的影响时绘制的根轨迹（包括参数根轨迹和零度根轨迹），称为广义根轨迹。

4.3.1 参数根轨迹
除根轨迹增益*
K （或开环增益K ）以外的其它参量从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。

绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的法则完全相同。

只需要在绘制参数根轨迹之前，引入“等效开环传递函数”，将绘制参数根轨迹的问题转化为绘制*K 变化时根轨迹的形式来处理。

例 单位反馈系统开环传递函数为
)
1()(41
)(2++=s s a s s G 试绘制∞→=0a 时的根轨迹。

系统有3条根轨迹，均趋于无穷远处。

⑴ 实轴上的根轨迹： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21，⎥⎦⎤ ⎝
⎛
-∞-21,
⑵渐近线： ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
±=+=-=--=πππϕσ,33)12(3
132121k a
a ⑶ 分离点：
61-=d
分离点处的a 值
27
2=d a ⑷ 与虚轴的交点：
⎪⎩⎪
⎨⎧=±=1
21a ω
系统根轨迹如图4-2所示。

4.3.2 零度根轨迹
在根轨迹方程为1)()(-=s H s G ，相角条件为π)12()()(+=∠k s H s G ，
,2,1,0±±=k ，因此称相应的常规根轨迹为 180根轨迹；当系统特征方程为
0)()(1)(=-=s H s G s D 时，此时根轨迹方程为1)()(=s H s G ，相角条件为πk s H s G 2)()(=∠， ,2,1,0±±=k ，相应绘制的根轨迹称为零度（或 0）根轨
迹。

若系统开环传递函数)()(s H s G 表达式如式（4-1），则 0根轨迹方程为
1)
()
(1
1
*
=--∏∏==n
j j
m
i i
p
s z s K
（4-9）
相应有幅值条件
=)()(s H s G 1)
()
(1
1
*
=--∏∏==n
j j
m
i i
p
s z s K
（4-10）
相角条件
∠)()(s H s G ==-∠--∠∑∑==n
j j m
i i p s z s 1
1
)()(
∑∑===-n
j j
m i i k 1
1
2πθ
ϕ （ ,2,1,0±±=k ） （4-11）
0根轨迹的幅值条件与 180根轨迹幅值条件一致，而二者相角条件不同。

绘制 180根轨迹法则中与相角条件有关的法则3、法则4、法则7需要相应修改。

法则3* 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。

法则4* 根轨迹的渐近线与实轴夹角应改为
m
n k a -=
π
ϕ2 （k =0，1，2，…，n-m-1） 法则7* 根轨迹的出射角和入射角用式（4-11）计算。

除上述三个法则外，其它法则不变。

绘制根轨迹的基本法则如表4-1所示。

表4-2 绘制根轨迹的基本法则
注：表中，以“*”标明的法则是绘制0︒根轨迹的法则（与绘制常规根轨迹
的法则不同），其余法则不变 。