2019《步步高》高考物理一轮复习讲义：章末自测卷(第九章)含解析
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高中物理学习材料【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：电表、电表的改装1.灵敏电流表G （1）三个主要参数①内阻Rg :电流表线圈的电阻，大约几十欧到几百欧。
②满偏电流Ig :指针批转到最大刻度时的电流，大约几十微安到几毫安。
③满偏电压Ug :电流表通过Ig 时两端的电压，大约零点几伏。
（2）三个参数间的关系：由欧姆定律可知Ug=IgRg 注意：电表就是电阻。
2.电压表（1）电压表的改装电流表G 的电压量程U g =I g R g ，当改装成量程为U 的电压表时，应串联一个电阻R 分去多余的电压U-Ug ，电阻R 叫分压电阻。
根据串联电路的特点得：RU U R U I ggg g -==，解得：()gggU RU U R -=（2）电压表的内阻：R V =R g +R 3.电流表的改装电流表G 的电压量程U g =I g R g ，当改装成量程为I 的电流表时，应并联一个电阻R 分去多余的电流I-I g ，电阻R 叫分流电阻。
根据并联电路的特点：()R I I R I U g g g g -==，解得：gg g I I R I R -=（2）电流表的内阻：R A =R g ×R/（R+R g ）4.电流表改装成欧姆表①原理：闭合电路的欧姆定律②如图所示，当红、黑表笔短接时，调节R ，使电流表的指针达到满偏电流，此时指针所指表盘上满刻度处对应两表笔间电阻为零。
这时有：rR R EI g g ++=③当两表笔间接入电阻Rx 时，电流表的电流为：rR R R EI g x x +++=当Rx 改变时，Ix 随着改变，将电流表表盘上I x 处表上对应的Rx 值，就构成了欧姆表。
④中值电阻：欧姆表的内阻即为中值电阻R 中＝R 内＝R+Rg+r 因Ix 与Rx 不是线性关系，欧姆表表盘刻度不均匀。
回顾二：滑动变阻器的两种接法1.限流接法 如图所示。
用电器Rx 的电压调节范围：E U RR ER X X X≤≤+电路消耗的总功率为：EI 限流接法的选用原则：①测量时电路中的电流或电压没有要求从零开始连续调节， 只在小范围内变化，且待测电阻R x 与R 接近时。
步步高高三复习用书 第九章 9.7 精品
§9.7抛物线1.抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质知识拓展1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4. 3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角).(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .( √ )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( × )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2.[P72T4]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.[P72T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三 易错自纠4.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12答案 B解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作P A ⊥y 轴，垂足是A ，延长P A 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6， 所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6， 故选B.5.(2017·浙江“超级全能生”联考)设抛物线的顶点在原点，其焦点在x 轴上，又抛物线上的点A (－1，a )到焦点F 的距离为2，则a 等于( ) A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2答案 D解析 由题意可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由抛物线定义得2＝1＋p2，p ＝2，所以a 2＝4，a ＝±2.6.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________. 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.题型一 抛物线的定义及应用1.(2018·浙江余姚中学质检)平面内一动点P 到定点F (2,0)的距离比点P 到x ＝－1的距离大1，则动点P 的轨迹是________，其方程是________. 答案 抛物线 y 2＝8x解析 设动点P 的坐标为(x ，y )， 则(x －2)2＋y 2＝|x ＋1|＋1，化简得y 2＝8x ，动点P 的轨迹是抛物线.2.设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________. 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1， 由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.题型二 抛物线的标准方程和几何性质命题点1 求抛物线的标准方程典例 如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A.y 2＝32xB.y 2＝9xC.y 2＝92xD.y 2＝3x 答案 D解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |， 得|BC |＝2|BB 1|， 所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3， 所以|AC |＝2|AA 1|＝6， 所以|CF |＝|AC |－|AF | ＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点.故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .命题点2 抛物线的几何性质典例 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值； (3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 (1)由已知得抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0. 由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0. (*)因为⎝⎛⎭⎫p 2，0在抛物线内部， 所以直线与抛物线必有两个交点. 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p(定值).(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ， 则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练 (1)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|P A |＝12|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53 B.75 C.97 D.2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|P A |＝12|AB |， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)(2015·浙江)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案 A解析 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，则△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ， ∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.题型三 直线与抛物线的综合问题命题点1 直线与抛物线的交点问题典例 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4＋8k 2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k ，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16. 因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题典例 已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.(1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ， Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2， 则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ， 设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1，x 1＝0(舍去).设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1).而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.跟踪训练 (1)(2017·温州二模)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点.若|AF |＝8|OF |(O 为坐标原点)，则|AF ||BF |＝________.答案 7解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， 则由抛物线的定义可得 |AF |＝x 1＋p 2＝8×p 2，即x 1＝7p 2，则y 21＝2px 1，即y 1＝7p ，A ⎝⎛⎭⎫7p 2，7p ， 故k AB ＝7p 3p ＝73， 故直线AB 的方程为y ＝73⎝⎛⎭⎫x －p 2， 代入抛物线方程整理可得79x 2－259px ＋736p 2＝0，则x 1x 2＝p 24，即x 2＝p14，则|BF |＝x 2＋p 2＝4p 7，所以|AF ||BF |＝7.(2)(2018·浙江名校协作体联考)已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若FM →＝12MN →，则|FN →|＝________.答案 5解析 由题意知，F (1,0)，设M (x 0，y 0)，N (0，y )， 则由FM →＝12MN →，可得(x 0－1，y 0)＝12(0－x 0，y －y 0)，即⎩⎪⎨⎪⎧0＝3x 0－2，y ＝3y 0，则x 0＝23，y 0＝±83＝±263， y ＝3y 0＝±26，则|FN →|＝(1－0)2＋(0±26)2＝5.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (15分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R ，2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.思维点拨 (3)中证明QA →·QB →＝0. 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F ⎝⎛⎭⎫0，14m . [2分] (2)∵|RF |＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14. [5分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0， 得m >－12.[7分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m. (*)∵P 是线段AB 的中点， ∴P ⎝⎛⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222， 即P ⎝⎛⎭⎫1m ，y P ，∴Q ⎝⎛⎭⎫1m ，1m .[9分]得QA →＝⎝⎛⎭⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎫x 2－1m ，mx 22－1m . 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 1－1m ·⎝⎛⎭⎫x 2－1m ＋⎝⎛⎭⎫mx 21－1m ⎝⎛⎭⎫mx 22－1m ＝0， [12分]结合(*)式化简得－4m 2－6m＋4＝0， 即2m 2－3m －2＝0， ∴m ＝2或m ＝－12，而2∈⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，－12∉⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. ∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.[15分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤： 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A.y ＝12x 2 B.y ＝12x 2或y ＝－36x 2 C.y ＝－36x 2 D.y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案 D解析 分两类a >0，a <0，可得y ＝112x 2或y ＝－136x 2.2.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若F A →＝3FB →，则|AF →|等于( ) A.3 B.4 C.6 D.7 答案 B解析 由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝23|FK |＝43，∴|BF →|＝|BH →|＝43，∴|AF →|＝3|BF →|＝4，故选B.3.抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知⎩⎨⎧ x 0＋p2＝2x 0，S△OAF ＝12·p2·y 0＝1，即⎩⎨⎧x 0＝p 2，y 0＝4p ，∴A ⎝⎛⎭⎫p 2，4p ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上， ∴16p 2＝2p ×p2，即p 4＝16， 又∵p >0，∴p ＝2，故选B.4.(2017·温州一模)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线的斜率为1，则|AF |等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 设B (x 1，y 1)，因为y ＝12x 2，所以y ′＝x ，所以y ′|x ＝x 1＝x 1＝1，则B ⎝⎛⎭⎫1，12， 因为F ⎝⎛⎭⎫0，12，所以直线l 的方程为y ＝12， 故|AF |＝|BF |＝1.5.动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为( ) A.y 2＝4x B.y 2＝8x C.x 2＝4y D.x 2＝8y答案 D解析 ∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等.根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y ，故选D.6.已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为( ) A.x 2＝8y B.x 2＝4y C.y 2＝8xD.y 2＝4x答案 C解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2， 消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7.(2017·宁波十校联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点A (m,4)到其焦点的距离为174，则p＝________，m ＝________. 答案 12±2解析 由抛物线方程得其准线方程为y ＝－p2，根据抛物线的定义，点A (m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离， 即4＋p 2＝174，解得p ＝12，∴抛物线方程为x 2＝y ，将A (m,4)代入抛物线方程，解得m ＝±2.8.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线上x 轴上方一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________. 答案 －2 2解析 双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，p ＝4. ∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，∴x A ＝1， 代入抛物线方程可得y A ＝±2 2. ∵点A 在x 轴上方，∴A (1,22)， ∴直线AF 的斜率k ＝221－2＝－2 2.9.(2017·衢州质检)若抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1,0)，则p ＝________；设M 是抛物线C 上的动点，A (4,3)，则|MA |＋|MF |的最小值为________. 答案 2 5解析 由p2＝1，得p ＝2.设M ，A 在准线上的射影为M 1，A 1，则|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|≥|AA 1|＝4＋1＝5.10.(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.11.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0. 由题易知，方程必有两个不等实根. 所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42).设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22).又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12.(2017·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 由题意知，直线l 的斜率必存在. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0， 则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝(2k －2)×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1，故A 为线段BM 的中点.13.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M (x 0,22)⎝⎛⎭⎫x 0>p2是抛物线C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p 2截得的弦长为3|MA |.若|MA ||AF |＝2，则|AF |等于( )A.32 B.1 C.2 D.3答案 B解析 由题意知M (x 0,22)在抛物线上， 则8＝2px 0，则px 0＝4，①由抛物线的性质可知，|DM |＝x 0－p 2，|MA ||AF |＝2，则|MA |＝2|AF |＝23|MF |＝23⎝⎛⎭⎫x 0＋p 2， ∵圆M 被直线x ＝p2截得的弦长为3|MA |，则|DE |＝32|MA |＝33⎝⎛⎭⎫x 0＋p 2， 又|MA |＝|ME |＝r ，在Rt △MDE 中，|DE |2＋|DM |2＝|ME |2，即13⎝⎛⎭⎫x 0＋p 22＋⎝⎛⎭⎫x 0－p 22＝49⎝⎛⎭⎫x 0＋p 22， 代入整理得4x 20＋p 2＝20，②由①②，解得x 0＝2，p ＝2(舍负)， ∴|AF |＝13⎝⎛⎭⎫x 0＋p 2＝1， 故选B.14.已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝⎛⎭⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________.答案 2解析 将P ⎝⎛⎭⎫32，1代入到y 24＋x 2b 2＝1中，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.15.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( )A.33 B.1 C.233D.2 答案 A解析 过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)，在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos 120° ＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |，∴⎝⎛⎭⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1 ≤14×⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号，∴|MN ||AB |的最大值为33.16.设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________. 答案 (2,4) 解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2).当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上.将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<2 3.因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2，故r 2＝y 20＋4<12＋4＝16.又y 20＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4<r 2<16，即2<r <4.。
步步高高三复习用书 第九章 9.4 精品
§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系. d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离. (2)代数法：―――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).知识拓展1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( × ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )(3)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( √ )(5)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( √ ) 题组二 教材改编2.[P128T4]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A.[－3，－1] B.[－1,3]C.[－3,1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.3.[P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________. 答案 2 2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2. 题组三 易错自纠4.若直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A.[－2，2]B.[－22，22]C.[－2－1，2－1]D.[－22－1,22－1] 答案 D解析 圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2，若直线与圆恒有公共点，则|2－1＋m |2≤2， 解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.5.设圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4 B.4 2 C.8 D.8 2答案 C解析 因为圆C 1，C 2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a ，a )，则|a |＝(a －4)2＋(a －1)2，解得a ＝5＋22或a ＝5－22，可取C 1(5＋22，5＋22)，C 2(5－22，5－22)， 故|C 1C 2|＝(42)2＋(42)2＝8，故选C.6.已知直线ax ＋by ＋4＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，则a 2＋b 2＝________，a ＋b 的取值范围是________. 答案 4 (2,22] 解析 由题意得4a 2＋b2＝2，得a 2＋b 2＝4， 设a ＝2cos α，b ＝2sin α，而a >0，b >0，故可取0<α<π2，则a ＋b ＝2cos α＋2sin α＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1， 故a ＋b 的取值范围是(2,22].题型一 直线与圆的位置关系1.在△ABC 中，若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0，则圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离D.不确定解析 因为a sin A ＋b sin B －c sin C ＝0， 所以a ·a 2R ＋b ·b 2R －c ·c2R ＝0，所以a 2＋b 2－c 2＝0.故圆心C (0,0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝1＝r ，故圆C ：x 2＋y 2＝1与直线l ：ax ＋by ＋c ＝0相切，故选A.2.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A.相离 B.相切C.相交D.以上都有可能答案 C解析 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 题型二 圆与圆的位置关系典例已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62B.32C.94D.2 3答案 C解析 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，ab 的最大值为94.1.若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值. 解 由C 1与C 2内切得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝1. 即(a ＋b )2＝1，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.2.若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程. 解 由题意把圆C 1，圆C 2的方程都化为一般方程，得 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2＝0，① 圆C 2：x 2＋y 2＋2bx ＋4y ＋b 2＋3＝0， ②由②－①得(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0，即(2a ＋2b )x ＋3＋b 2－a 2＝0为所求公共弦所在直线方程. 思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论.跟踪训练如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________. 答案 (－22，0)∪(0,22)解析 圆C 的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝4，圆心坐标为(a ，a )，半径为2. 依题意得0<a 2＋a 2<2＋2，∴0<|a |<2 2. ∴a ∈(－22，0)∪(0,22).题型三 直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题典例已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3， 由|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，所以l ：x －3y ＋6＝0.由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0， 解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围典例已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题典例已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1).解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25， ∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52， ∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题. 跟踪训练 (1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________. 答案 2 2解析 设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－(2)2＝2 2.(2)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________. 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋(－1)2＝|3－k |k 2＋1＝1， 解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(3)(2018·杭州学军中学模拟)已知圆C ：(x －a )2＋(y －2a )2＝4(a >0)与直线y ＝x ＋2相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积S 最大时，实数a 的值为______，当a 变化时，圆系C 的公切线方程为______________. 答案 4 y ＝2x ±2 5解析 设圆心C 到直线y ＝x ＋2的距离为d ， 则|PQ |＝24－d 2，S ＝12d |PQ |＝d 4－d 2≤d 2＋4－d 22＝2(当且仅当d ＝2时，取等号)， 由⎝⎛⎭⎪⎫|a －2a ＋2|22＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去).因为圆心在直线y ＝2x 上，所以公切线方程可设为y ＝2x ＋b . 由于圆心到直线y ＝2x ＋b 的距离为2，所以由|b |5＝2，得b ＝±2 5.故公切线方程为y ＝2x ±2 5.1.(2014·浙江)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2 B.－4 C.－6 D.－8答案 B解析 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.2.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点.3.(2017·金华模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12C.y ＝－32D.y ＝－14答案 B解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.4.(2017·台州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条答案 C解析 如图，分别以A ，B 为圆心，1,2为半径作圆.由题意得，直线l 是圆A 的切线，A 到l 的距离为1，直线l 也是圆B 的切线，B 到l 的距离为2，所以直线l 是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).5.已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( ) A.m ∥l ，且l 与圆相交 B.m ⊥l ，且l 与圆相切 C.m ∥l ，且l 与圆相离 D.m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2. ∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)， 故由题意得OP ⊥m ， 又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r ＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离，故选C.6.已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|P A |的最小值为( ) A.12 B.1 C.2－1 D.2－ 2 答案 D解析 方法一 由题意可知，直线P A 与坐标轴平行或重合，不妨设直线P A 与y 轴平行或重合，设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)，∴|P A |＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∴|P A |的最小值为2－2，故选D.方法二 由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|P A |min ＝2(2－1)＝2－2，故选D.7.(2018届丽水摸底)已知动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且满足|AB |＝2，点C 为直线l 上一点，且满足CB →＝52CA →，若M 是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A.3B.2 3C.2D.－3答案 A解析 动直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，且满足|AB |＝2，则△OAB 为等边三角形，于是可设动直线l 为y ＝3(x ＋2)，根据题意可得B (－2,0)，A (－1，3)， ∵M 是线段AB 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫－32，32，设C (x ，y )，∵CB →＝52CA →，∴(－2－x ，－y )＝52(－1－x ，3－y )，∴⎩⎨⎧－2－x ＝52(－1－x )，－y ＝52(3－y )，解得⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝533，∴C ⎝⎛⎭⎫－13，533，∴OC →·OM →＝⎝⎛⎭⎫－13，533·⎝⎛⎭⎫－32，32＝12＋52＝3，故选A.8.已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.答案 4解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0， 则y 1＋y 2＝33，令y 2＝23，则y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0,23).过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.9.点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________.答案 35－5解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞3＋2＝5，所以圆C 1与圆C 2相离，所以|PQ |的最小值是35－5.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知(x 1－2)2＋y 21＝5，x 2－2y 2＋4＝0，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为________.答案 15解析 由已知得点(x 1，y 1)在圆(x －2)2＋y 2＝5上，点(x 2，y 2)在直线x －2y ＋4＝0上，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2表示(x －2)2＋y 2＝5上的点和直线x －2y ＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为|2＋4|1＋4－5＝55，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为15. 11.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程.解 把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.12.已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由. 解 (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >－52， 则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍). 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1. 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0， 则k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0， 即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4， 所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立.13.在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上.若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，125 B.[0,1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125 答案 A解析 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |， 所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由a 2＋(2a －3)2≥1，得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋(2a －3)2≤3，得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125，故选A. 14.若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________.答案 4解析 ⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1所在直线对称，∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍，∴|AB |＝2×5×255＝4.15.若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34答案 D解析 由已知可得圆心(0,0)到直线2ax ＋by －2＝0的距离d ＝24a 2＋b 2， 则直线被圆截得的弦长为24－44a 2＋b 2＝23， 化简得4a 2＋b 2＝4.∴t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2 ≤142[(22a )2＋(1＋2b 2)2] ＝142(8a 2＋2b 2＋1)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，即t 取最大值，此时a ＝34(舍负值)，故选D. 16.曲线y ＝x 2＋4x的一条切线l 与直线y ＝x ，y 轴围成的三角形记为△OAB ，则△OAB 外接圆面积的最小值为( ) A.82πB.8(3－2)πC.16(2－1)πD.16(2－2)π答案 C解析 y ′＝x 2－4x 2，设直线l 与曲线的切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的方程为y －x 20＋4x 0＝x 20－4x 20·(x －x 0)，即y ＝x 20－4x 20x ＋8x 0.不妨设直线l 与直线y ＝x 的交点为A ，与y 轴的交点为B ，可求得A (2x 0,2x 0)，B ⎝⎛⎭⎫0，8x 0. ∴|AB |2＝4x 20＋⎝⎛⎫2x 0－8x 02＝8x 20＋64x 20－32 ≥32(2－1)，当且仅当x 20＝22时取等号.由正弦定理可得△OAB 的外接圆的半径R ＝12·|AB |sin 45°＝22|AB |， 则△OAB 外接圆的面积S ＝πR 2＝12π|AB |2≥16(2－1)π， 故选C.。
步步高高考物理一轮复习配套课件第九章 第1课时 电磁感应现象 楞次定律
图3
转动过程中磁通量的变化量的大小为 2 ΔΦ＝|Φ2－Φ1|＝ BS④ 2 ΔΦ 由法拉第电磁感应定律得 E ＝ ⑤ Δt
根据闭合电路的欧姆定律有 I ＝ E ⑥ R
该过程中通过线框截面的电荷量 q＝ I ·Δt⑦
联立④⑤⑥⑦式得 q＝
2BS 2R
课堂探究
磁通量是一个有方向的标量，当磁场不变，线圈转动时，一定要注 意磁感线是从线圈的正面还是反面穿过．
【突破训练 1】磁感应强度为 B 的匀强磁场，方向水平向右，一面积 为 S 的矩形线圈 abcd 如图 4 所示放置． 平面 abcd 与竖直方向成 θ 角，将 abcd 绕 ab 轴旋转 180° 角，则穿过线圈平面的磁通量的变 化量为 A．0 B．2BS C．2BScos θ D．2BSsin θ
2 分别是 ab 边和 cd 边的中点．现将 Φ1＝BSsin 45° ＝ BS 2
线框右半边 ObcO′绕 OO′逆时针 旋转 90° 到图乙所示位置．在这一 过程中，回路中的电荷量是( 2BS 2BS A. B. R 2R BS C. R D．0 )
转过 90° 时穿过 aOO′d 左边一半线框 2 S 的磁通量为 Φ2′＝B sin 45° ＝ BS① 2 4 穿过 bOO′c 右边一半线框的磁通量为 2 S Φ2″＝－B sin 45° ＝－ BS② 2 4 因此， 转过 90° 时穿过整个线框的磁通量为 Φ2＝Φ2′＋Φ2″＝0③
A
)
图6
课堂探究 考点二
谁阻碍谁 阻碍什么 如何阻碍
利用楞次定律判断感应电流的方向
感应电流的磁场阻碍引起感应电流的磁场原磁场的磁通量的变化 阻碍的是磁通量的变化，而不是阻碍磁通量本身 当磁通量增加时，感应电流的磁场方向与原磁场的方向相反；当磁 通量减少时，感应电流的磁场方向与原磁场的方向相同，即“增反 减同” 阻碍并不是阻止，只是延缓了磁通量的变化，这种变化将继续进行
步步高高三复习用书 第九章 9.1 精品
§9.1 直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0°，180°). 2.斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3.直线方程的五种形式题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(×)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(×)(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(×)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(√)题组二教材改编2.[P86T3]过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A.1B.4C.1或3D.1或4答案 A解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3.[P100A组T9]过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为. 答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.题组三易错自纠4.(2017·浙江嘉兴一中联考)在直角坐标系中，直线x－3y＋3＝0的倾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案 A解析直线x－3y＋3＝0的斜率是k＝tan θ＝33，所以倾斜角为30°.5.如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 . 答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12， 所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率典例 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3答案 B解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ].又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角θ的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为 . 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)，∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3. 2.若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围. 解 如图，直线P A 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°， 由图象知l 的倾斜角的范围为 [0°，45°]∪[135°，180°).思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0).跟踪训练 已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( ) A.150° B.135° C.120° D.不存在 答案 A解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示.显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k |1＋k 2， 弦长|AB |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2， 所以S △AOB ＝12×|2k |1＋k 2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°. 题型二 求直线的方程1.求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程.解 设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.2.求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程.解 当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.3.求过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程. 解 当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题典例 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程. 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题典例 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值.解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小. 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程. 解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，把点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 由题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立.即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.求与截距有关的直线方程典例 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求a .错解展示：现场纠错解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0. 直线可变为x a －2a ＋1＋ya －2＝1.∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)由a －2a ＋1＝－(a －2)，得a －2＝0或a ＋1＝－1，∴a ＝2或a ＝－2.纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1.(2017·浙江东阳中学期中)下列四条直线，倾斜角最大的是( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝2x ＋1 C.y ＝－x ＋1 D.x ＝1答案 C解析 直线方程y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°， 直线方程y ＝2x ＋1的斜率为2，倾斜角为α(60°<α<90°)， 直线方程y ＝－x ＋1的斜率为－1，倾斜角为135°， 直线方程x ＝1的斜率不存在，倾斜角为90°. 所以直线y ＝－x ＋1的倾斜角最大.2.在平面直角坐标系中，过(1,0)点且斜率为－1的直线不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 C解析 由已知条件可知直线方程为y －0＝－1×(x －1)， ∴x ＋y －1＝0，图象不过第三象限.3.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B.－13C.－32D.23答案 B解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.(2017·舟山调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )答案 B解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合.5.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.6.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A.k ≥34或k ≤－4B.－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D.－34≤k ≤4答案 A解析 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交， 当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ； 当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.7.直线m (x ＋2y －1)＋n (x －y ＋2)＝0(m ，n ∈R 且m ，n 不同为0)经过定点( ) A.(－1,1) B.(1，－1) C.(2,1) D.(1,2)答案 A解析 ∵m (x ＋2y －1)＋n (x －y ＋2)＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，∴直线m (x ＋2y －1)＋n (x －y ＋2)＝0经过定点(－1,1).8.若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是 . 答案 [)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1；当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0， ∴－3≤k <0.∴k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1.9.已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为 .答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.10.直线l 过点(－2,2)且与x 轴、y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为 .答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析 若a ＝b ＝0，则直线l 过(0,0)与(－2,2)两点，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ，即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4， 此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0.11.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 解 (1)由题意知直线l 存在斜率.设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.12.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3).又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.13.已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A.4x －3y －3＝0B.3x －4y －3＝0C.3x －4y －4＝0D.4x －3y －4＝0答案 D解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 14.设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是 . 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2.∴b 的取值范围是[－2,2].15.已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4答案 D解析 由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D. 16.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是 .(写出所有正确命题的序号)①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②若k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点；③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线.答案 ①③⑤解析 对于①，比如直线y ＝2x ＋3，当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即直线y ＝2x ＋3既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不通过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线y ＝2x －2只经过一个整点(1,0)，⑤正确.故答案为①③⑤.。
2019《步步高》高考物理一轮复习讲义：章末自测卷(第十章) Word版含解析
章末自测卷(第十章)(限时：45分钟)一、单项选择题1、下列没有利用涡流的是()A、金属探测器B、变压器中用互相绝缘的硅钢片叠成铁芯C、用来冶炼合金钢的真空冶炼炉D、磁电式仪表的线圈用铝框做骨架答案： B解析：金属探测器、冶炼炉都是利用涡流现象工作的,磁电式仪表利用涡流能让指针快速稳定,也是利用涡流现象,变压器中的硅钢片是为了防止涡流产生铁损、2、如图1所示电路中,A、B、C为完全相同的三个灯泡,L是一直流电阻不可忽略的电感线圈、a、b为线圈L的左右两端点,原来开关S是闭合的,三个灯泡亮度相同、将开关S断开后,下列说法正确的是()图1A、a点电势高于b点,A灯闪亮后缓慢熄灭B、a点电势低于b点,B、C灯闪亮后缓慢熄灭C、a点电势高于b点,B、C灯闪亮后缓慢熄灭D、a点电势低于b点,B、C灯不会闪亮只是缓慢熄灭答案： D解析：电路稳定时,三个完全相同的灯泡亮度相同,说明流经三个灯泡的电流相等、某时刻将开关S断开,流经电感线圈的磁通量减小,其发生自感现象,相当于电源,产生和原电流方向相同的感应电流,故a点电势低于b点电势,三个灯不会闪亮只是缓慢熄灭,选项D正确、3、图2甲是法拉第于1831年发明的人类历史上第一台发电机——圆盘发电机、图乙为其示意图,铜盘安装在水平的铜轴上,磁感线垂直穿过铜盘；两块铜片M、N分别与铜轴和铜盘边缘接触,匀速转动铜盘,电阻R就有电流通过、则下列说法正确的是()图2A、回路中恒定电流的大小与铜盘转速无关B、回路中有大小和方向都做周期性变化的涡流C、回路中电流方向不变,从M经导线流进电阻R,再从N流向铜盘D、铜盘绕铜轴转动时,沿半径方向上的金属“条”切割磁感线,产生电动势答案： D解析：圆盘发电机的圆盘可看做无数条沿半径方向的金属“条”,转动切割磁感线产生感应电动势,D项正确；金属“条”相互并联,产生的感应电动势与一条金属“条”转动切割产生的感应电动势相等,即E＝12BL2ω,可见感应电动势大小不变,回路总电阻不变,由闭合电路欧姆定律得I＝ER,故回路中电流大小恒定,且与铜盘转速有关,A、B项错误；由右手定则可知,回路中电流方向是自下而上通过电阻R,C项错误、4、(2018·山东烟台调研)如图3所示,等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场,它的底边在x 轴上且长为2L ,高为L ,纸面内一边长为L 的正方形导线框沿x 轴正方向做匀速直线运动穿过匀强磁场区域,在t ＝0时刻恰好位于如图所示的位置,以顺时针方向为导线框中电流的正方向,下面四幅图中能够正确表示导线框中的电流－位移(I －x )关系的是( )图3答案： B解析： 位移在0～L 过程,磁通量增大,由楞次定律判断感应电流方向为顺时针方向,为正值,I ＝Bl v R ,l ＝x ,则I ＝B v R x ；位移在L ～2L 过程,磁通量先增大后减小,由楞次定律判断感应电流方向先为顺时针方向,为正值,后为逆时针方向,为负值；位移在2L ～3L 过程,磁通量减小,由楞次定律判断感应电流方向为逆时针方向,为负值,I ＝B v R (3L －x ),故B 正确、5、如图4甲,光滑平行且足够长的金属导轨ab 、cd 所在平面与水平面成θ角,b 、c 两端接有阻值为R 的定值电阻、阻值为r 的金属棒PQ 垂直导轨放置,其他部分电阻不计、整个装置处在磁感应强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直导轨平面向上、从t ＝0时刻开始,棒受到一个平行于导轨向上的外力F 作用,由静止开始沿导轨向上运动,运动中棒始终与导轨垂直且接触良好,通过R 的感应电流I 随时间t 变化的图象如图乙所示、下面分别给出了穿过回路PQcb 的磁通量Φ、磁通量的变化率ΔΦΔt 、电阻R 两端的电势差U 和通过棒上某横截面的电荷量q 随运动时间t 变化的图象,其中正确的是( )图4答案： B解析： 由于产生的感应电动势是逐渐增大的,而图象A 描述磁通量与时间关系中斜率不变,产生的感应电动势不变,A 错误；回路中的感应电动势为：E ＝ΔΦΔt ,感应电流为I ＝E R ＋r ＝ΔΦ(R ＋r )Δt,由题图乙可知：I ＝kt ,故有：ΔΦΔt ＝k (R ＋r )t ,所以图象B 正确；I 均匀增大,电阻R 两端的电势差U ＝IR ＝ktR ,则知U 与时间t 成正比,C 错误；通过金属棒某横截面的电荷量为：q ＝I t ＝12kt 2,故有q －t 图象为抛物线,并非过原点的直线,D 错误、二、多项选择题6、如图5,两平行金属导轨固定在水平面上,匀强磁场方向垂直导轨平面向下,金属棒ab 、cd 与导轨垂直构成闭合回路,且两棒都可沿导轨无摩擦滑动、用与导轨平行的水平恒力F向右拉cd棒,经过足够长时间以后()图5A、两棒间的距离保持不变B、两棒都做匀速直线运动C、两棒都做匀加速直线运动D、ab棒中的电流方向由b流向a答案：CD7、(2017·河北石家庄二模)如图6甲所示,质量m＝3、0×10－3kg的“”形金属细框竖直放置在两水银槽中,“”形框的水平细杆CD长l＝0、20 m,处于磁感应强度大小B1＝1、0 T、方向水平向右的匀强磁场中、有一匝数n＝300匝、面积S＝0、01 m2的线圈通过开关K与两水银槽相连、线圈处于与线圈平面垂直、沿竖直方向的匀强磁场中,其磁感应强度B2随时间t变化的关系如图乙所示、t＝0、22 s时闭合开关K瞬间细框跳起(细框跳起瞬间安培力远大于重力),跳起的最大高度h＝0、20 m、不计空气阻力,重力加速度g＝10 m/s2,下列说法正确的是()图6A 、0～0、10 s 内线圈中的感应电动势大小为3 VB 、开关K 闭合瞬间,CD 中的电流方向由C 到DC 、磁感应强度B 2的方向竖直向下D 、开关K 闭合瞬间,通过细杆CD 的电荷量为0、03 C答案： BD解析： 0～0、1 s 内线圈中的磁场均匀变化,由法拉第电磁感应定律E＝n ΔΦΔt ＝nS ΔB Δt ,代入数据得E ＝30 V ,A 错误、开关闭合瞬间,细框会跳起,可知细框受向上的安培力,由左手定则可判断电流方向由C 到D ,B 正确、由于t ＝0、22 s 时通过线圈的磁通量正在减少,再对线圈由楞次定律可知感应电流产生的磁场的方向与B 2的方向相同,故再由安培定则可知C 错误、K 闭合瞬间,因安培力远大于重力,则由动量定理有B 1Il Δt ＝m v ,通过细杆的电荷量Q ＝I Δt ,线框向上跳起的过程中v 2＝2gh ,解得Q ＝0、03 C,D 正确、三、非选择题8、水平放置的两根平行金属导轨ad 和bc ,导轨足够长,导轨两端a 、b 和c 、d 两点分别连接电阻R 1和R 2,在水平面内组成矩形线框,如图7所示,ad 和bc 相距L ＝0、5 m,放在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度为B ＝1 T,一根电阻为0、2 Ω的导体棒PQ 跨接在两根金属导轨上,在外力作用下以4 m/s 的速度向右匀速运动,如果电阻R 1＝0、3 Ω,R 2＝0、6 Ω,导轨ad 和bc 的电阻不计,导体棒与导轨垂直且两端与导轨接触良好、求：图7(1)导体棒PQ中产生的感应电流的大小；(2)导体棒PQ上感应电流的方向；(3)导体棒PQ向右匀速滑动的过程中,外力做功的功率、答案：(1)5 A(2)Q→P(3)10 W解析：(1)根据法拉第电磁感应定律,PQ产生的感应电动势E＝BL v ＝1×0、5×4 V＝2 V又R外＝R1R2R1＋R2＝0.3×0.60.3＋0.6Ω＝0、2 Ω则感应电流的大小I＝ER外＋r＝20.2＋0.2A＝5 A(2)根据右手定则判定电流方向为Q→P(3)导体棒PQ匀速运动,则F＝F安＝BIL＝1×5×0、5 N＝2、5 N故外力做功的功率P＝F v＝2、5×4 W＝10 W、9、如图8所示,两根平行的光滑金属导轨MN、PQ放在水平面上,左端向上弯曲,导轨间距为l,电阻不计、水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B、导体棒a与b的质量均为m,接入电路的有效电阻分别为R a＝R,R b＝2R、b棒放置在水平导轨上足够远处,a 棒在弧形导轨上距水平面h高度处由静止释放、运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直,重力加速度为g、图8(1)求a 棒刚进入磁场时受到的安培力的大小和方向；(2)求最终稳定时两棒的速度大小；(3)从a 棒开始下落到最终稳定的过程中,求b 棒上产生的内能、答案： (1)B 2l 22gh 3R 方向水平向左 (2)2gh 2 (3)mgh 3解析： (1)设a 棒刚进入磁场时的速度为v ,从开始下落到进入磁场根据机械能守恒定律mgh ＝12m v 2a 棒切割磁感线产生感应电动势E ＝Bl v根据闭合电路欧姆定律I ＝E R ＋2Ra 棒受到的安培力F ＝BIl联立以上各式解得F ＝B 2l 22gh 3R ,方向水平向左、(2)a 棒进入磁场,切割磁感线产生感应电流a 棒和b 棒均受安培力作用,F ＝IBl ,大小相等、方向相反,所以a 棒和b 棒组成的系统动量守恒、设两棒最终稳定速度为v ′,以v 的方向为正方向,则m v ＝2m v ′解得v ′＝122gh 、(3)设a 棒产生的内能为Q a ,b 棒产生的内能为Q b根据能量守恒定律12m v 2＝12×2m v ′2＋Q a ＋Q b两棒串联内能与电阻成正比Q b ＝2Q a解得Q b ＝13mgh 、10、如图9所示是计算机模拟出的一种宇宙空间的情景,在此宇宙空间内存在这样一个远离其他空间的区域(其他星体对该区域内物体的引力忽略不计),以MN 为界,上半部分匀强磁场的磁感应强度为B 1,下半部分匀强磁场的磁感应强度为B 2、已知B 1＝4B 2＝4B 0,磁场方向相同,且磁场区域足够大、在距离界线MN 为h 的P 点有一宇航员处于静止状态,宇航员以平行于MN 的速度向右抛出一质量为m 、电荷量为q 的带负电小球,发现小球在界线处的速度方向与界线成90°角,接着小球进入下半部分磁场、当宇航员沿与界线平行的直线匀速到达目标Q 点时,刚好又接住球而静止、图9(1)请你粗略地作出小球从P 点运动到Q 点的运动轨迹；(2)PQ 间的距离是多大？(3)宇航员的质量是多少？答案： (1)见解析：图 (2)6h (3)5πm 6解析： (1)小球的运动轨迹如图所示、(2)设小球的速率为v 1,由几何关系可知R 1＝h ,由q v B ＝m v 2R 和B 1＝4B 2＝4B 0,可知R 2＝4R 1＝4h ,由q v 1(4B 0)＝m v 21R 1, 解得小球的速率v 1＝4qB 0h m ,根据运动的对称性,PQ 的距离为L ＝2(R 2－R 1)＝6h 、(3)设宇航员的速率为v 2,因周期T ＝2πm qB ,故小球由P 运动到Q 的时间t ＝T 12＋T 22＝5πm 4qB 0、 所以宇航员匀速运动的速率为v 2＝L t ＝24qB 0h 5πm ,以v 2的方向为正方向,由动量守恒定律有M v 2－m v 1＝0,可解得宇航员的质量M ＝5πm 6、。
2019《步步高》高考物理一轮复习讲义：章末自测卷(第一章) Word版含解析
章末自测卷(第一章)(限时：45分钟)一、单项选择题1、历史上,伽利略在斜面实验中分别在倾角不同、阻力很小的斜面上由静止释放小球,他通过实验观察和逻辑推理,得到的正确结论有( )A 、倾角一定时,小球在斜面上的位移与时间的二次方成正比B 、倾角一定时,小球在斜面上的速度与时间的二次方成正比C 、斜面长度一定时,小球从顶端滚到底端时的速度与倾角无关D 、斜面长度一定时,小球从顶端滚到底端所需的时间与倾角无关 答案： A2、在物理学研究过程中科学家们创造了许多物理学研究方法,如理想实验法、控制变量法、极限法、等效替代法、理想模型法、微元法等,以下关于所用物理学研究方法的叙述错误的是( )A 、根据速度定义式v ＝Δx Δt ,当Δt 非常小时,Δx Δt 就可以表示物体在t 时刻的瞬时速度,该定义采用了极限法B 、在不需要考虑物体的大小和形状时,用质点来代替实际物体采用了等效替代的方法C 、加速度的定义式为a ＝Δv Δt ,采用的是比值定义法D 、在推导匀变速直线运动位移公式时,把整个运动过程划分成很多小段,每一小段近似看做匀速直线运动,然后把各小段的位移相加,这里采用了微元法答案： B3、(2018·福建龙岩质检)一汽车装备了具有“全力自动刹车”功能的城市安全系统,系统以50 Hz 的频率监视前方的交通状况、当车速小于等于10 m/s,且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时,如果司机未采取制动措施,系统就会立即启动“全力自动刹车”,使汽车避免与障碍物相撞、在上述条件下,若该车在不同路况下的“全力自动刹车”的加速度大小取4～6 m/s 2之间的某一值,则“全力自动刹车”的最长时间为( )A 、53 sB 、253 sC 、2、5 sD 、12、5 s答案： C解析： 当车速最大为10 m/s 且加速度取最小值时,“全力自动刹车”时间最长,由速度与时间关系v ＝v 0＋at 可知,t ＝v －v 0a ＝0－10－4s ＝2、5 s,C 项正确、4、如图1所示,a 、b 、c 三个物体在同一条直线上运动,其位移－时间图象中,图线c 是一条x ＝0、4t 2的抛物线、有关这三个物体在0～5 s 内的运动,下列说法正确的是( )图1A 、a 物体做匀加速直线运动B 、c 物体做匀加速直线运动C 、t ＝5 s 时,a 物体速度比c 物体速度大D 、a 、b 两物体都做匀速直线运动,且速度相同答案： B解析： x －t 图象是倾斜的直线表示物体做匀速直线运动,则知a 、b 两物体都做匀速直线运动,由题图看出,a 、b 两图线的斜率大小相等、正负相反,说明两物体的速度大小相等、方向相反,所以速度不同,A 、D错误；图线c 是一条x ＝0、4t 2的抛物线,结合x ＝v 0t ＋12at 2可知,c 物体做初速度为0、加速度为0、8 m/s 2的匀加速直线运动,B 正确、图线的斜率大小等于速度大小,根据题图可知,t ＝5 s 时c 物体速度比a 物体速度大,C 错误、5、一物体做匀变速直线运动,经过时间t ,它的速度由v 1变为v 2,通过的位移为x ,下列说法中错误的是( )A 、这段时间内它的平均速度v ＝x tB 、这段时间内它的平均速度v ＝v 1＋v 22C 、通过x 2时,它的瞬时速度为x tD 、通过x 2时,它的瞬时速度为v 21＋v 222答案： C6、(2017·河北衡水联考)如图2所示,两条曲线为汽车a 、b 在同一条平直公路上的速度－时间图象,已知在t 2时刻两车相遇,下列说法正确的是( )图2A 、a 车速度先减小后增大,b 车速度先增大后减小B 、t 1时刻a 车在前,b 车在后C 、t 1～t 2时间内,a 、b 位移相同D 、a 车加速度先减小后增大,b 车加速度先减小后增大答案： D解析： 由题图可知a 车速度先增大后减小,b 车速度先减小后增大,故A 错误、在t 2时刻两车相遇,在t 1～t 2时间内,a 车图线与时间轴围成面积大,则a 车位移大,可知t 1时刻,b 车在前,a 车在后,故B 、C 错误、v －t 图象中图线斜率表示加速度,故a 、b 两车加速度先减小后增大,故D 正确、7、如图3,一质点从A 点开始做初速度为零的匀加速直线运动,加速度大小为a ,B 、C 、D 是质点运动路径上三点,且BC ＝x 1,CD ＝x 2,质点通过B 、C 间所用时间与经过C 、D 间所用时间相等,则质点经过C 点的速度为( )图3A 、x 1＋x 22a x 2－x 1 B 、x 1＋x 24a x 2－x 1 C 、x 2－x 12a x 2＋x 1 D 、x 2－x 14a x 2＋x 1 答案： A解析： 设质点从B 到C 所用时间为T ,则从B 到D 的时间为2T ,由Δx ＝aT 2有x 2－x 1＝aT 2,得T ＝x 2－x 1a ,质点经过C 点的速度v C ＝x 1＋x 22T ＝x 1＋x 22a x 2－x 1,因此A 项正确、 二、多项选择题8、(2018·广东广州调研)如图4所示为甲、乙两物体在同一直线上运动的位置坐标x 随时间t 变化的图象,已知甲对应的是图象中的直线,乙对应的是图象中的曲线,则下列说法正确的是()图4A、甲做匀减速直线运动B、乙做变速直线运动C、0～t1时间内两物体平均速度大小相等D、两物体的运动方向相反答案：BD解析：由题图中图象的斜率表示速度,知甲沿负方向做匀速直线运动,故A错误、乙图象切线的斜率不断增大,说明乙的速度不断增大,做变速直线运动,故B正确、根据坐标的变化量等于位移知,0～t1时间内两物体位移大小不相等,方向相反,所以平均速度不相等,故C错误、根据图象的斜率表示速度可知,甲的速度为负,乙的速度为正,即两物体的运动方向相反,故D正确、9、(2017·河北唐山一中模拟)如图5所示,长度为0、55 m的圆筒竖直放在水平地面上,在圆筒正上方距其上端1、25 m处有一小球(可视为质点)、在由静止释放小球的同时,将圆筒竖直向上抛出,结果在圆筒落地前的瞬间,小球在圆筒内运动而没有落地,则圆筒上抛的速度大小可能为(空气阻力不计,取g＝10 m/s2)()图5A、2、3 m/sB、2、6 m/sC、2、9 m/sD、3、2 m/s答案：BC解析：整个过程中小球做自由落体运动,圆筒做竖直上抛运动小球下落时间为t1＝2hg,h为实际下落高度圆筒在空中运动时间为t2＝2v0g,v0为其上抛初速度根据题中要求,在圆筒落地前的瞬间,小球在圆筒内运动而没有落地,则对临界情况分析：①圆筒上抛速度较小时,当圆筒落地瞬间,小球刚到圆筒上沿则h1＝1、25 m又t1＝t2即2h1g＝2v01g解得v01＝2、5 m/s、②圆筒上抛速度较大时,当圆筒落地瞬间,小球刚要落地则h2＝(1、25＋0、55) m＝1、8 m又t1＝t2即2h2g＝2v02g解得v02＝3 m/s、故圆筒上抛速度范围为2、5 m/s＜v0＜3 m/s故选项B、C正确、三、非选择题10、在利用打点计时器做“研究匀变速直线运动”的实验中,图6甲所示为一次记录小车运动情况的纸带,图中A、B、C、D、E为相邻的计数点,相邻计数点间的时间间隔T＝0、1 s、图6(1)根据纸带可判定小车做________运动、(2)根据纸带计算各点瞬时速度：v D ＝________m/s,v C ＝________m/s,v B ＝________m/s 、在如图乙所示坐标系中作出小车的v －t 图象,并根据图线求出a ＝________、(3)将图线延长与纵轴相交,交点的速度不为零,此速度的物理意义是________、答案： (1)匀加速直线 (2)3、90 2、64 1、38 见解析：图 12、60 m/s 2 (3)零时刻小车经过A 点的速度解析： (1)根据纸带提供的数据可知x BC －x AB ＝x CD －x BC ＝x DE －x CD ＝12、60 cm故小车做匀加速直线运动、(2)根据v ＝2v t可知 v D ＝(105.60－27.60)×10－20.2m/s ＝3、90 m/s v C ＝(60.30－7.50)×10－20.2m/s ＝2、64 m/s v B ＝27.60×10－20.2m/s ＝1、38 m/s 描点连线得v －t 图象如图所示、根据图线斜率知a ＝12、60 m/s 2、(3)表示零时刻小车经过A 点的速度、11、一个滑雪运动员,从85 m 长的山坡上匀加速滑下,初速度为1、8 m/s,滑到山坡底端的末速度为5、0 m/s,求：(1)下滑过程中的平均速度v 的大小；(2)下滑的加速度a 的大小；(3)下滑的时间t 、答案： (1)3、4 m/s (2)0、128 m/s 2 (3)25 s解析： (1)根据匀变速直线运动中平均速度公式 v ＝v 0＋v 2,有 v ＝1.8＋5.02 m/s ＝3、4 m/s 、(2)由v 2－v 02＝2ax 得,a ＝v 2－v 202x ,代入数据得a ＝0、128 m/s 2,(3)由v ＝v 0＋at 得,t ＝v －v 0a ,代入数据得t ＝25 s 、12、在平直公路上行驶的a 车和b 车,其位移—时间图象分别为图7中直线a 和曲线b ,已知b 车的加速度恒定且a ＝－2 m/s 2,t ＝3 s 时,直线a 和曲线b 刚好相切、求：t ＝0时a 车和b 车的距离x 0、图7答案： 9 m解析： 由题图可知：a 车的速度v a ＝8－23 m/s ＝2 m/st ＝3 s 时,直线a 和曲线b 刚好相切,即此时b 车的速度v b ′＝v a ＝2 m/s 设b 车的初速度为v b ,对b 车,v b ＋at ＝v b ′解得v b ＝8 m/st ＝3 s 时,a 车的位移x a ＝v a t ＝6 mb 车的位移x b ＝v b ＋v b ′2t ＝15 m 由题图知,t ＝3 s 时a 车和b 车到达同一位置,得x 0＝x b －x a ＝9 m 、13、(2018·河南郑州模拟)一水池水深H ＝0、8 m 、现从水面上方h ＝0、8 m 高处由静止释放一质量为m ＝0、1 kg 的硬质球体,测得球体从释放到落至水池底部用时t ＝0、6 s 、已知球体直径远小于水池深度,不计空气及水的阻力,取g ＝10 m/s 2,求：(1)通过计算判断球体在水中做什么运动？(2)从水面上方多高处静止释放小球,才能使小球落至池底所用时间最短、答案： (1)匀速运动 (2)0、4 m解析： (1)设小球落至水面所用时间为t 1,在水中运动做匀变速运动,加速度为a ,则h ＝12gt 12,v ＝gt 1,H ＝v (t －t 1)＋12a (t －t 1)2 解得a ＝0,则小球在水中做匀速运动、(2)设释放点距水面距离为s ,则t s ＝2sg ,v s ＝2gs ,t ′＝2s g ＋H2gs ,由数学知识知,当2s g ＝H 2gs时t ′最小, 即s ＝H 2＝0、4 m 、。
最新《步步高》高考物理一轮复习讲义第九章-第3课时-电磁感应中的电路和图象问题
专题九 电磁感应中的电路和图象问题考纲解读 1.能认识电磁感应现象中的电路结构，并能计算电动势、电压、电流、电功等.2.能由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象或由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．1． [对电磁感应中等效电源的理解]粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a 、b 两点间的电势差绝对值最大的是( )答案 B解析 线框各边电阻相等，切割磁感线的那个边为电源，电动势相同均为Bl v .在A 、C 、D 中，U ab ＝14Bl v ，B 中，U ab ＝34Bl v ，选项B 正确．2． [电磁感应中的电路问题]如图1所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感应强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、有效阻值为R2的金属导线ab 垂直导轨放置，并在水平外力F 的作用下以速图1 度v 向右匀速运动，则(不计导轨电阻)( )A ．通过电阻R 的电流方向为P →R →MB ．a 、b 两点间的电压为BL vC ．a 端电势比b 端电势高D ．外力F 做的功等于电阻R 上产生的焦耳热 答案 C解析 由右手定则可知通过金属导线的电流由b 到a ，即通过电阻R 的电流方向为M →R →P ，A 错误；金属导线产生的感应电动势为BL v ，而a 、b 两点间的电压为等效电路路端电压，由闭合电路欧姆定律可知，a 、b 两点间电压为23BL v ，B 错误；金属导线可等效为电源，在电源内部，电流从低电势流向高电势，所以a 端电势高于b 端电势，C 正确；根据能量守恒定律可知，外力F 做的功等于电阻R 和金属导线产生的焦耳热之和，D 错误．3． [对B －t 图象物理意义的理解]一矩形线圈abcd 位于一随时间变化的匀强磁场内，磁场方向垂直线圈所在的平面向里(如图2甲所示)，磁感应强度B 随时间t 变化的规律如图乙所示．以I 表示线圈中的感应电流(图甲中线圈上箭头方向为电流的正方向)，则下列选项中能正确表示线圈中电流I 随时间t 变化规律的是( )图2答案 C解析 0～1 s 内磁感应强度均匀增大，根据楞次定律和法拉第电磁感应定律可判定，感应电流为逆时针(为负值)、大小为定值，A 、B 错误；4 s ～5 s 内磁感应强度恒定，穿过线圈abcd 的磁通量不变化，无感应电流，C 正确，D 错误． 4． [对电磁感应现象中i －x 图象物理意义的理解]如图3所示，两个相邻的有界匀强磁场区域，方向相反，且垂直纸面，磁感应强度的大小均为B ，以磁场区左边界为y 轴建立坐标系，磁场区域在y 轴方向足够长，在x 轴方向宽度均为a .矩形导线框ABCD的CD边与y轴重合，AD边长为a.线框从图示位置水平向右匀速穿过两磁场区域，且线框平面始终保持与磁场垂直，图3线框中感应电流i与线框移动距离x的关系图象正确的是(以逆时针方向为电流的正方向)()答案 C解析由楞次定律可知，刚进入磁场时电流沿逆时针方向，线框在磁场中时电流沿顺时针方向，出磁场时沿逆时针方向，进入磁场和穿出磁场等效为一条边切割磁感线，在磁场中时，AB边和CD边均切割磁感线，相当于两等效电源串联，故电流为进入磁场和穿出时的两倍，所以C正确．考点梳理一、电磁感应中的电路问题1．内电路和外电路(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．(2)该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电路．2．电源电动势和路端电压(1)电动势：E＝Bl v或E＝n ΔΦΔt.(2)路端电压：U＝IR＝E－Ir.二、电磁感应中的图象问题1．图象类型(1)随时间变化的图象如B－t图象、Φ－t图象、E－t图象和i－t图象．(2)随位移x变化的图象如E－x图象和i－x图象．2．问题类型(1)由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象．(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量．(3)利用给出的图象判断或画出新的图象.考点一 电磁感应中的电路问题 1． 对电磁感应中电源的理解(1)电源的正负极、感应电流的方向、电势的高低、电容器极板带电问题，可用右手定则或楞次定律判定．(2)电源的电动势的大小可由E ＝Bl v 或E ＝n ΔΦΔt 求解．2． 对电磁感应电路的理解(1)在电磁感应电路中，相当于电源的部分把其他形式的能通过电流做功转化为电能． (2)“电源”两端的电压为路端电压，而不是感应电动势．例1 如图4(a)所示，水平放置的两根平行金属导轨，间距L ＝0.3 m ，导轨左端连接R ＝0.6Ω的电阻，区域abcd 内存在垂直于导轨平面B ＝0.6 T 的匀强磁场，磁场区域宽D ＝0.2 m ．细金属棒A 1和A 2用长为2D ＝0.4 m 的轻质绝缘杆连接，放置在导轨平面上，并与导轨垂直，每根金属棒在导轨间的电阻均为r ＝0.3 Ω.导轨电阻不计．使金属棒以恒定速度v ＝1.0 m/s 沿导轨向右穿越磁场．计算从金属棒A 1进入磁场(t ＝0)到A 2离开磁场的时间内，不同时间段通过电阻R 的电流强度，并在图(b)中画出．图4解析 t 1＝Dv ＝0.2 s在0～t 1时间内，A 1产生的感应电动势E 1＝BL v ＝0.18 V. 其等效电路如图甲所示． 由图甲知，电路的总电阻甲R 总＝r ＋rRr ＋R ＝0.5 Ω总电流为I ＝E 1R 总＝0.36 A 通过R 的电流为I R ＝I3＝0.12 AA 1离开磁场(t 1＝0.2 s)至A 2刚好进入磁场(t 2＝2Dv ＝0.4 s)的时间内，回路无电流，I R ＝0，乙从A 2进入磁场(t 2＝0.4 s)至离开磁场t 3＝2D ＋Dv ＝0.6 s 的时间内，A 2上的感应电动势为E 2＝0.18 V ，其等效电路如图乙所示．由图乙知，电路总电阻R 总′＝0.5 Ω，总电流I ′＝0.36 A ，流过R 的电流I R ＝0.12 A ，综合以上计算结果，绘制通过R 的电流与时间关系如图所示．答案 见解析解决电磁感应中的电路问题三步曲1．确定电源．切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，该导体或回路就相当于电源，利用E ＝n ΔΦΔt 或E ＝Bl v sin θ求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向．2．分析电路结构(内、外电路及外电路的串、并联关系)，画出等效电路图．3．利用电路规律求解．主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程求解．突破训练1 如图5所示，两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置，间距为l ＝1 m ，cd间、de 间、cf 间分别接阻值为R ＝10 Ω的电阻．一阻值为R ＝10 Ω的导体棒ab 以速度v ＝4 m/s 匀速向左运动，导体棒与导轨接触良好；导轨所在平面存在磁感应强度大小为B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场．下列说法中正确的是()图5A．导体棒ab中电流的流向为由b到aB．cd两端的电压为1 VC．de两端的电压为1 VD．fe两端的电压为1 V答案BD解析由右手定则可判知A选项错；由法拉第电磁感应定律E＝Bl v＝0.5×1×4 V＝2 V，U cd＝RR＋RE＝1 V，B正确；由于de、cf间电阻没有电流流过，故U cf＝U de＝0，所以U fe ＝U cd＝1 V，C错误，D正确．考点二电磁感应中的图象问题1．题型特点一般可把图象问题分为三类：(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象；(2)由给定的有关图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量；(3)根据图象定量计算．2．解题关键弄清初始条件，正负方向的对应，变化范围，所研究物理量的函数表达式，进、出磁场的转折点是解决问题的关键．3．解决图象问题的一般步骤(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者是E－t图象、I－t图象等；(2)分析电磁感应的具体过程；(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系；(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式；(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等．(6)画出图象或判断图象．例2(2012·福建理综·18)如图6所示，一圆形闭合铜环由高处从静止开始下落，穿过一根竖直悬挂的条形磁铁，铜环的中心轴线与条形磁铁的中轴线始终保持重合．若取磁铁中心O为坐标原点，建立竖直向下为正方向的x轴，则下图中最能正确反映环中感应电流i随环心位置坐标x变化的关系图象是()图6解析条形磁铁的磁感线分布示意图如图所示．铜环由静止开始下落过程中磁通量的变化率是非均匀变化的，故环中产生的感应电动势、环中的感应电流也是非均匀变化的，A错误．在关于O点对称的位置磁场分布对称，但环的速率是增大的，则环在O点下方的电流最大值大于在O点上方电流的最大值，故C错误．由于磁通量在O点上方是向上增大而在O点下方是向上减小的，故环中电流方向在经过O点时发生改变，D错误．可知B选项正确．答案 B1.对图象的认识，应注意以下几方面(1)明确图象所描述的物理意义；(2)必须明确各种“＋”、“－”的含义；(3)必须明确斜率的含义；(4)必须建立图象和电磁感应过程之间的对应关系；(5)注意三个相似关系及其各自的物理意义：v ～Δv ～Δv Δt ，B ～ΔB ～ΔB Δt ，Φ～ΔΦ～ΔΦΔtΔv Δt 、ΔB Δt 、ΔΦΔt分别反映了v 、B 、Φ变化的快慢． 2．电磁感应中图象类选择题的两个常见解法(1)排除法：定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是物理量的正负，排除错误的选项．(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图象作出分析和判断，这未必是最简捷的方法，但却是最有效的方法．突破训练2 如图7甲所示，圆形导线框固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直．规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B 随时间变化的规律如图乙所示．若规定顺时针方向为感应电流i 的正方向，下列各图中正确的是( )甲 乙图7答案 C解析 根据法拉第电磁感应定律：E ＝n ΔΦΔt ＝nS ·ΔBΔt ，由B －t 图象知，1 s ～3 s ，B 的变化率相同，0～1 s 、3 s ～4 s ，B 的变化率相同，再结合楞次定律知，0～1 s 、3 s ～4 s 内感应电流的方向为顺时针方向，1 s ～3 s 内感应电流的方向为逆时针方向，可知C 正确．突破训练3如图8所示，在坐标系xOy中，有边长为L的正方形金属线框abcd，其一条对角线ac和y轴重合、顶点a位于坐标原点O处．在y轴右侧的Ⅰ、Ⅳ象限内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的上边界与线框的ab边刚好完全重合，左边界与y轴重合，右边界与y轴平行．t＝0时刻，线框以恒定的速度v沿垂直于磁场上边界的方向穿过磁场区域．取沿a→b→c→d→a方向的感应电流图8 为正方向，则在线框穿过磁场区域的过程中，感应电流i、ab间的电势差U ab随时间t 变化的图线是下图中的()答案AD解析在ab边通过磁场的过程中，利用楞次定律或右手定则可判断出电流方向为逆时针方向，即沿正方向，电流在减小，U ab＝－I(R bc＋R cd＋R da)在减小．在cd边通过磁场的过程中，可判断出电流为顺时针方向，即沿负方向，电流逐渐减小，U ab＝－IR ab逐渐减小，A、D正确.45．电磁感应中图象与电路综合问题的分析解析 (1)线框进入磁场前，线框仅受到拉力F 、斜面的支持力和线框重力，由牛顿第二定律得：F －mg sin α＝ma线框进入磁场前的加速度a ＝F －mg sin αm＝5 m/s 2(4分)(2)因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，ab 边进入磁场切割磁感线，产生的电动势E ＝Bl 1v (1分)形成的感应电流I ＝E R ＝Bl 1v R (1分)受到沿斜面向下的安培力F 安＝BIl 1(1分) 线框受力平衡，有F ＝mg sin α＋B 2l 21vR (1分)代入数据解得v ＝2 m/s(1分)(3)线框abcd 进入磁场前时，做匀加速直线运动；进入磁场的过程中，做匀速直线运动；线框完全进入磁场后至运动到gh 线，仍做匀加速直线运动． 进入磁场前线框的运动时间为t 1＝v a ＝25 s ＝0.4 s(1分)进入磁场过程中匀速运动时间为t 2＝l 2v ＝0.62s ＝0.3 s(1分)线框完全进入磁场后线框受力情况与进入磁场前相同，所以该阶段的加速度大小仍为a ＝5 m/s 2，该过程有 x －l 2＝v t 3＋12at 23解得t 3＝1 s(2分)因此线框整体进入磁场后，ab 边运动到gh 线的过程中，线框中有感应电流的时间t 4＝t 1＋t 2＋t 3－0.9 s ＝0.8 s(2分)E ＝ΔB ·S Δt ＝0.5×0.62.1－0.9V ＝0.25 V(2分)此过程产生的焦耳热Q ＝E 2t 4R ＝0.252×0.80.1J ＝0.5 J(2分)答案 (1)5 m /s 2 (2)2 m/s (3)0.5 J突破训练4 如图10甲所示，水平面上的两光滑金属导轨平行固定放置，间距d ＝0.5 m ，电阻不计，左端通过导线与阻值R ＝2 Ω的电阻连接，右端通过导线与阻值R L ＝4 Ω的小灯泡L 连接．在CDFE 矩形区域内有竖直向上的匀强磁场，CE 长l ＝2 m ，有一阻值r ＝2 Ω的金属棒PQ 放置在靠近磁场边界CD 处．CDFE 区域内磁场的磁感应强度B 随时间变化规律如图乙所示．在t ＝0至t ＝4 s 内，金属棒PQ 保持静止，在t ＝4 s 时使金属棒PQ 以某一速度进入磁场区域并保持匀速运动．已知从t ＝0开始到金属棒运动到磁场边界EF 处的整个过程中，小灯泡的亮度没有发生变化．求：图10(1)通过小灯泡的电流；(2)金属棒PQ 在磁场区域中运动的速度大小． 答案 (1)0.1 A (2)1 m/s解析 (1)0～4 s 内，电路中的感应电动势 E ＝ΔΦΔt ＝ΔB Δt ·S ＝24×0.5×2 V ＝0.5 V此时灯泡中的电流I L ＝E R 总＝E Rr R ＋r ＋R L ＝0.52×22＋2＋4 A ＝0.1 A(2)由于灯泡亮度没有变化，故I L 没变化． 根据E ′＝Bd vI ′＝E ′R 总′＝E ′r ＋RR L R ＋R L ，U L ＝I ′·RR L R ＋R L，I L ＝U LR L解得v ＝1 m/s高考题组1．(2012·课标全国·20)如图11，一载流长直导线和一矩形线框固定在同一平面内，线框在长直导线右侧，且其长边与长直导线平行．已知在t ＝0到t ＝t 1的时间间隔内，长直导线中电流i 发生某种变化，而线框中的感应电流总是沿顺时针方向，线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右．设电流i 正方 图11 向与图中箭头所示方向相同，则i 随时间t 变化的图线可能是()答案 A解析 因通电导线周围的磁场离导线越近磁场越强，而线框中左右两边的电流大小相等，方向相反，所以其受到的安培力方向相反，线框的左边受到的安培力大于线框的右边受到的安培力，所以合力与线框的左边受力的方向相同．因为线框受到的安培力的合力先水平向左，后水平向右，根据左手定则，线框处的磁场方向先垂直纸面向里，后垂直纸面向外，根据右手螺旋定则，导线中的电流先为正，后为负，所以选项A 正确，选项B 、C 、D 错误．2． (2012·重庆理综·21)如图12所示，正方形区域MNPQ 内有垂直纸面向里的匀强磁场．在外力作用下，一正方形闭合刚性导线框沿QN 方向匀速运动，t ＝0时刻，其四个顶点M ′、N ′、P ′、Q′恰好在磁场边界中点．下列图象中能反映线框所受安培力F的大小随时间t变化规律的是() 图12答案 B解析 如图所示，当M ′N ′从初始位置运动到M1′N 1′位置的过程中，切割磁感线的有效长度随时间变化关系为：L 1＝L －(L －2v t )＝2v t ，L 为导线框的边长．产生的电流I 1＝BL 1v R，导线框所受安培力F 1＝BI 1L 1＝B 2(2v t )2v R ＝4B 2v 3t 2R ，所以F 1为t 的二次函数图象，是开口向上的抛物线．当Q ′P ′由CD 位置运动到M ′N ′位置的过程中，切割磁感线的有效长度不变，电流恒定．当Q ′P ′由M ′N ′位置运动到M 1′N 1′位置的过程中，切割磁感线的有效长度L 2＝L －2v t ，产生的电流I 2＝BL 2vR ，导线框所受的安培力F 2＝B 2(L －2v t )2v R ，也是一条开口向上的抛物线，所以应选B.3． (2011·海南单科·6)如图13，EOF 和E ′O ′F ′为空间一匀强磁场的边界，其中EO ∥E ′O ′，FO ∥F ′O ′，且EO ⊥OF ；OO ′为∠EOF 的角平分线，OO ′间的距离为l ；磁场方向垂直于纸面向里．一边长为l 的正方形导线框沿O ′O 方向匀速通过磁场，t ＝0时刻恰好位于图示位置．规定导线框中感应电流沿逆时针方向时为正，则感应电流i 与时间t 的关系图线可能正确的是( )图13答案 B解析 本题中四个选项都是i －t 关系图线，故可用排除法．因在第一个阶段内通过导线框的磁通量向里增大，由楞次定律可判定此过程中电流沿逆时针方向，故C 、D 错误．由于穿过整个磁场区域的磁通量变化量ΔΦ＝0，由q ＝ΔΦR 可知整个过程中通过导线框的总电荷量也应为零，而在i －t 图象中图线与时间轴所围总面积表示通过的总电荷量，为零，即时间轴的上下图形面积的绝对值应相等．故A 错误，B 正确．4． (2011·重庆理综·23)有人设计了一种可测速的跑步机，测速原理如图14所示．该机底面固定有间距为L 、长度为d 的平行金属电极．电极间充满磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且接有电压表和电阻R .绝缘橡胶带上镀有间距为d 的平行细金属条，磁场中始终仅有一根金属条，且与电极接触良好，不计金属电阻．若橡胶带匀速运动时，电压表读数为U ，求： (1)橡胶带匀速运动的速率； (2)电阻R 消耗的电功率；(3)一根金属条每次经过磁场区域克服安培力做的功．图14答案 (1)U BL (2)U 2R (3)BLUd R解析 (1)设该过程产生的感应电动势为E ，橡胶带运动速率为v . 由：E ＝BL v ，E ＝U ，得：v ＝UBL .(2)设电阻R 消耗的电功率为P ，则P ＝U 2R.(3)设感应电流大小为I ，安培力为F ，克服安培力做的功为W . 由：I ＝U R ，F ＝BIL ，W ＝Fd ，得：W ＝BLUdR .模拟题组5． 如图15所示有理想边界的两个匀强磁场，磁感应强度均为B ＝0.5 T ，两边界间距s ＝0.1 m ，一边长L ＝0.2 m 的正方形线框abcd 由粗细均匀的电阻丝围成，总电阻为R ＝0.4 Ω，现使线框以v ＝2 m/s 的速度从位置Ⅰ匀速运动到位置Ⅱ，则下列能正确反映整个过图15程中线框a 、b 两点间的电势差U ab 随时间t 变化的图线是( )答案 A解析 ab 边切割磁感线产生的感应电动势为E ＝BL v ＝0.2 V ，线框中感应电流为I ＝ER ＝0.5 A ，所以在0～5×10－2 s 时间内，a 、b 两点间电势差为U 1＝I ×34R ＝0.15 V ；在5×10－2 s ～10×10－2 s 时间内，ab 两端电势差U 2＝E ＝0.2 V ；在10×10－2 s ～15×10－2 s 时间内，a 、b 两点间电势差为U 1＝I ×14R ＝0.05 V.6． 如图16所示，垂直纸面的正方形匀强磁场区域内，有一位于纸面且电阻均匀的正方形导体框abcd ，现将导体框分别朝两个方向以v 、3v 速度匀速拉出磁场，则导体框从两个方向移出磁场的两过程中( ) A ．导体框中产生的感应电流方向相同图16B ．导体框中产生的焦耳热相同C ．导体框ad 边两端电势差相同D ．通过导体框截面的电荷量相同 答案 AD解析 由右手定则可得两种情况导体框中产生的感应电流方向相同，A 项正确；热量Q ＝I 2Rt ＝(Bl v R)2R ·l v ＝B 2l 3v R ，可知导体框产生的焦耳热与运动速度有关，B 项错误；电荷量q ＝It ＝Bl v R ·l v ＝Bl 2R ，故通过截面的电荷量与速度无关，电荷量相同，D 项正确；以速度v拉出时，U ad ＝14Bl v ，以速度3v 拉出时，U ad ＝34Bl ·3v ，C 项错误．(限时：45分钟)►题组1 对电磁感应中电路问题的考查1．如图1所示，竖直平面内有一金属环，半径为a ，总电阻为R (指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A 铰链连接的长度为2a 、电阻为R2的导体棒AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则这时AB 两 图1 端的电压大小为( )A.Ba v 3B.Ba v 6C.2Ba v 3D ．Ba v答案 A解析 摆到竖直位置时，AB 切割磁感线的瞬时感应电动势E ＝B ·2a ·(12v )＝Ba v .由闭合电路欧姆定律得，U AB ＝E R 2＋R 4·R 4＝13Ba v ，故选A.2． 如图2所示，两光滑平行金属导轨间距为L ，直导线MN 垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处在垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B .电容器的电容为C ，除电阻R 外，导轨和导线的电阻均不计．现给导线MN 一初速度，使导线MN 向右运动， 图2 当电路稳定后，MN 以速度v 向右做匀速运动时( )A ．电容器两端的电压为零B ．电阻两端的电压为BL vC ．电容器所带电荷量为CBL vD ．为保持MN 匀速运动，需对其施加的拉力大小为B 2L 2vR答案 C解析 当导线MN 匀速向右运动时，导线MN 产生的感应电动势恒定，稳定后，电容器既不充电也不放电，无电流产生，故电阻两端没有电压，电容器两极板间的电压为U ＝E ＝BL v ，所带电荷量Q ＝CU ＝CBL v ，故A 、B 错，C 对；MN 匀速运动时，因无电流而不受安培力，故拉力为零，D 错．3． 两根平行的长直金属导轨，其电阻不计，导线ab 、cd 跨在导轨上且与导轨接触良好，如图3所示，ab 的电阻大于cd 的电阻，当cd 在外力F 1(大小)的作用下，匀速向右运动时，ab 在外力F 2(大小)的作用下保持静止，那么在不计摩擦力的情况下(U ab 、U cd 是导线与导轨接触间的电势差)( )图3A ．F 1>F 2，U ab >U cdB ．F 1<F 2，U ab ＝U cdC ．F 1＝F 2，U ab >U cdD ．F 1＝F 2，U ab ＝U cd答案 D解析 通过两导线电流强度一样，两导线都处于平衡状态，则F 1＝BIl ，F 2＝BIl ，所以F 1＝F 2，A 、B 错误；U ab ＝IR ab ，这里cd 导线相当于电源，所以U cd 是路端电压，U cd ＝IR ab ，即U ab ＝U cd ，故D 正确．4. 把总电阻为2R 的均匀电阻丝焊接成一半径为a 的圆环，水平固定在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，如图4所示，一长度为2a 、电阻等于R 、粗细均匀的金属棒MN 放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触．当金属棒以恒定速度v 向右移动经过环心O 时，求：图4(1)棒上电流的大小和方向及棒两端的电压U MN ； (2)圆环和金属棒上消耗的总热功率． 答案 (1)4Ba v 3R ，从N 流向M 2Ba v 3(2)8B 2a 2v 23R解析 (1)把切割磁感线的金属棒看成一个内阻为R 、电动势为E 的电源，两个半圆环看成两个并联的相同电阻，画出等效电路图如图所示．等效电源电动势为E ＝Bl v ＝2Ba v 外电路的总电阻为R 外＝R 1R 2R 1＋R 2＝12R棒上电流大小为I ＝ER 外＋R ＝2Ba v 12R ＋R ＝4Ba v 3R电流方向从N 流向M .根据分压原理，棒两端的电压为 U MN ＝R 外R 外＋R·E ＝23Ba v .(2)圆环和金属棒上消耗的总热功率为P ＝IE ＝8B 2a 2v 23R .►题组2 对电磁感应图象的考查5. 如图5所示，两平行光滑的金属导轨MN 、PQ 固定在水平面上，相距为L ，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n 个宽度皆为x 0的条形匀强磁场区域1、2、3、…、n 组图5成，从左向右依次排列，磁感应强度大小分别为B 、2B 、3B 、…、nB ，两导轨左端MP 间接入电阻R ，金属棒ab 垂直放在水平导轨上，且与导轨接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．若在不同的磁场区对金属棒施加不同的拉力，使棒ab 以恒定速度v 向右匀速运动．取金属棒图示位置(即磁场1区左侧)为x ＝0，则通过棒ab 的电流i 、对棒施加的拉力F 随位移x 变化的图象是( )答案 AD解析 金属棒切割磁感线产生的感应电动势E ＝BL v ，电路中感应电流I ＝E R ＝BL v R ，所以通过棒的电流i 与n 成正比，选项A 正确；棒所受的安培力F 安＝BIL ＝B 2L 2vR ，因为棒匀速运动，对棒施加的外力F 与F 安等大反向，即F 与n 2成正比，选项D 正确． 6． 如图6所示，空间存在两个磁场，磁感应强度大小均为B ，方向相反且垂直纸面，MN 、PQ 为其边界，OO ′为其对称轴，一导线折成边长为L 的正方形闭合线框abcd ，线框在外力作用下由纸面内图示位置从静止开始向右做匀加速运动，若电流以逆时针方向为正方向，则从线框开始运动到ab 边刚进入到PQ 右侧磁场的过程中，能反映线框中感应电流随时间变 图6 化规律的图象是( )答案 B解析 由法拉第电磁感应定律知在ab 边运动到MN 边界的过程中感应电动势E ＝2BL v ＝2BLat ，感应电流为i ＝E R ＝2BLat R ∝t ，C 、D 错；在ab 边从MN 边界运动到PQ 边界的过程中，产生的感应电动势为E ＝BL v ＝BLat ，感应电流为i ′＝E R ＝BLatR ∝t ，即刚过MN边界时感应电动势、感应电流均减小一半，所以A 错，B 对．7． 如图7所示，导体棒沿两平行金属导轨从图中位置以速度v 向右匀速通过一正方形abcd 磁场区域，ac 垂直于导轨且平行于导体棒，ac 右侧的磁感应强度是左侧的2倍且方向相反，导轨和导体棒的电阻均不计，下列关于导体棒中感应电流和所受安培图7力随时间变化的图象正确的是(规定电流从M 经R 到N 为正方向，安培力向左为正方向)( )答案 A解析 导体棒运动时间t 时切割磁感线产生的感应电动势大小E ＝Bl v ＝2B v 2t ，感应电流大小I ＝E R ＝2B v 2tR ，导体棒所受的安培力大小F ＝BIl ＝4B 2v 3t 2R，由此可见，感应电流的大小I 与时间t 成正比，而安培力的大小F 则与时间t 是二次函数关系．由楞次定律可知，导体棒在第一、二区域的磁场中运动时，产生的感应电流分别为从M经R到N和从N 经R到M；由左手定则判断得出，导体棒在第一、二区域的磁场中运动时受到的安培力均为水平向左，只有A正确．8．如图8甲所示，正六边形导线框abcdef放在匀强磁场中静止不动，磁场方向与线框平面垂直，磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示．t＝0时刻，磁感应强度B的方向垂直纸面向里，设产生的感应电流以顺时针方向为正、竖直边cd所受安培力的方向以水平向左为正．则下面关于感应电流i和cd边所受安培力F随时间t变化的图象正确的是()图8答案AC解析0～2 s时间内，负方向的磁场在减弱，产生正方向的恒定电流，cd边受安培力向右且减小.2 s～3 s时间内，电流仍是正方向，且大小不变，此过程cd边受安培力向左且增大.3 s～6 s时间内，电流沿负方向，大小不变，cd边受安培力先向右后变为向左，故选A、C.►题组3对电磁感应中电路与图象综合问题的考查9．如图9甲是半径为a的圆形导线框，电阻为R，虚线是圆的一条弦，虚线左右两侧导线框内磁场的磁感应强度随时间变化如图乙所示，设垂直线框向里的磁场方向为正，求：。
步步高高三复习用书 第九章 9.8 精品
§9.8 曲线与方程1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 2.求动点的轨迹方程的基本步骤知识拓展1.“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解. (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件.( √ ) (2)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线.( × )(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (4)方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线.( × ) (5)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( × ) 题组二 教材改编2.[P37T3]已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D.抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线.3.[P35例1]曲线C ：xy ＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______. 答案 2解析 在曲线xy ＝2上任取一点(x 0，y 0)，则x 0y 0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x 0||y 0|＝|x 0y 0|＝2.题组三 易错自纠4.方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A.两条直线 B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.5.已知M (－1,0)，N (1,0)，|PM |－|PN |＝2，则动点P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支答案 C解析 由于|PM |－|PN |＝|MN |，所以D 不正确，应为以N 为端点，沿x 轴正向的一条射线.6.(2008·浙江)如图所示，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足.若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线 答案 B解析 由题意可知P 点在空间中的轨迹应是以AB 为旋转轴的圆柱面，又P 点在平面α内，所以P 点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆.题型一 定义法求轨迹1.一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心的轨迹是( )A.双曲线的一支B.椭圆C.抛物线D.圆答案 A解析 圆C 的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，则圆心为C (3，0)，半径为1.设动圆的圆心为P (x ，y )，动圆的半径为r ，则有|PO |＝r ＋1，且|PC |＝r －1， 从而有|PO |－|PC |＝2<|OC |＝3，故选A.2.(2017·温州十校联考)点P 为直线y ＝34x 上任一点，F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则下列结论正确的是( )A.||PF 1|－|PF 2||>8B.||PF 1|－|PF 2||＝8C.||PF 1|－|PF 2||<8D.以上都有可能 答案 C解析 若||PF 1|－|PF 2||＝8，则点P 的轨迹是以F 1(－5，0)，F 2(5,0)为焦点的双曲线，其方程为x 216－y 29＝1.因为直线y ＝34x 是该双曲线的一条渐近线，整条直线在双曲线的外面，因此有||PF 1|－|PF 2||<8.3.如图，定点A∈α，定点B∈α，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是()A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点答案 B解析连接BC，∵AC⊥PC，AC⊥PB，PC∩PB＝P，PC，PB⊂平面PBC，∴AC⊥平面PBC，∴BC⊥AC，点C的轨迹是以AB为直径的圆，但C与A，B不重合，∴点C在平面α内的轨迹是一个圆，但要去掉两个点.思维升华应用定义法求轨迹的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线.题型二直接法求轨迹方程典例已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l过定点.(1)解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42.又|O1A|＝(x－4)2＋y2，∴(x－4)2＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0).又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64＞0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 整理得2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0， ③将①②代入到③中并化简得8(b ＋k )＝0，∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0).思维升华 直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，求出轨迹的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性. 跟踪训练 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.解 (1)由题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53，因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，x 29＋y 24＝1，得x 29＋[k (x －x 0)＋y 0]24＝1， 即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0，整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0.又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2， 于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3). 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2， 经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13. 题型三 相关点法求轨迹方程典例 (2017·丽水调研)如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程.解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)， 代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， ∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧ y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22].思维升华 相关点法的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1). (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y ). (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.跟踪训练 如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点.点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程.解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0).设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)，设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3).① 直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3).② 由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9).③ 又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0).分类讨论思想在曲线方程中的应用典例 (15分)已知抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为12.(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)若P 为椭圆上一个动点，Q 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的一点，|OP ||OQ |＝λ(λ≠0)，试求Q 的轨迹.思想方法指导 (1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x 2，y 2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论. (2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程. (3)区分求轨迹方程与求轨迹问题. 规范解答解 (1)因为抛物线y 2＝2px 经过点M (2，－22)， 所以(－22)2＝4p ，解得p ＝2. 所以抛物线的方程为y 2＝4x ，其焦点为F (1,0)，即椭圆的右焦点为F (1,0)，得c ＝1. 又椭圆的离心率为12，所以a ＝2，可得b 2＝4－1＝3， 故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.[5分](2)设Q (x ，y )，其中x ∈[－2,2]， 设P (x ，y 0)，因为P 为椭圆上一点，所以x 24＋y 23＝1，解得y 20＝3－34x 2. 由|OP ||OQ |＝λ可得|OP |2|OQ |2＝λ2， 故x 2＋3－34x 2x 2＋y2＝λ2，得⎝⎛⎭⎫λ2－14x 2＋λ2y 2＝3，x ∈[－2,2]. [8分]当λ2＝14，即λ＝12时，得y 2＝12，点Q 的轨迹方程为y ＝±23，x ∈[－2,2]， 此轨迹是两条平行于x 轴的线段； [10分]当λ2<14，即0<λ<12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1，此轨迹表示实轴为y 轴的双曲线满足x ∈[－2,2]的部分； [13分]当λ2>14，即λ>12时，得到x 23λ2－14＋y 23λ2＝1.此轨迹表示长轴在x 轴上的椭圆满足x ∈[－2,2]的部分. [15分]1.若方程x 2＋y 2a＝1(a 是常数)，则下列结论正确的是( )A.任意实数a 方程表示椭圆B.存在实数a 方程表示椭圆C.任意实数a 方程表示双曲线D.存在实数a 方程表示抛物线 答案 B解析 当a >0且a ≠1时，方程表示椭圆，故选B.2.设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A.y 2＝2x B.(x －1)2＋y 2＝4 C.y 2＝－2x D.(x －1)2＋y 2＝2答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ， 则MA ⊥P A ，且|MA |＝1， 又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2， 即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.3.在平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x ＋2y －5＝0，表示一条直线.4.(2017·嘉兴质检)设定点M 1(0，－3)，M 2(0,3)，动点P 满足条件|PM 1|＋|PM 2|＝a ＋9a (其中a是正数)，则点P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.不存在答案 C解析 ∵a 是正数，∴a ＋9a ≥29＝6，当且仅当a ＝3时“＝”成立.当|PM 1|＋|PM 2|＝6时，点P 的轨迹是线段M 1M 2； 当|PM 1|＋|PM 2|>6时，点P 的轨迹是椭圆，故选C.5.已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A.2x ＋y ＋1＝0 B.2x －y －5＝0 C.2x －y －1＝0 D.2x －y ＋5＝0 答案 D解析 由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.6.(2015·浙江)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支答案 C解析 本题可构造如图圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆.故选C.7.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________.答案 4π解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0.∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于4π.8.在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为____________.答案 x 22－y 22＝1(x >2) 解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，E ，F 分别为两个切点，则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |.∴|AB |－|AC |＝22<4＝|BC |，∴点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，∴b ＝2，∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2). 9.已知△ABC 的顶点A ，B 的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C 为动点，且满足sin B ＋sin A ＝54sin C ，则C 点的轨迹方程为________________.答案 x 225＋y 29＝1(x ≠±5) 解析 由sin B ＋sin A ＝54sin C 可知b ＋a ＝54c ＝10， 则|AC |＋|BC |＝10>8＝|AB |，∴满足椭圆定义.令椭圆方程为x 2a ′2＋y 2b ′2＝1， 则a ′＝5，c ′＝4，b ′＝3，则轨迹方程为x 225＋y 29＝1(x ≠±5).10.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________.答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1 解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上， 则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1.11.(2017·丽水模拟)已知点C (1,0)，点A ，B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点.(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)连接CP ，OP ，由AC →·BC →＝0，知AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |， 由垂径定理知，|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，则(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简，得x 2－x ＋y 2＝4.(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，其中p 2＝1.∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，x 2－x ＋y 2＝4，得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1或x ＝－4.由x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2.故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2).12.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程.解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM →＝12DP →知P (x,2y )，∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆.(2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k ＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k1＋4k 2.∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k21＋4k 2，－6k1＋4k 2，又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0，得k 2<15，∴0<x <83. ∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83.13.若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是( )A.x ＋y ＝5B.x 2＋y 2＝9C.x 225＋y 29＝1 D.x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1. A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意. 14.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________________.答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0) 解析 设抛物线的焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4>2＝|AB |，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).15.(2017·台州调研)在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2，0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹为( )A.焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B.焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C.焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D.焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外)答案 B解析 设C (x ，y )(y ≠0)，则由GA →＋GB →＋GC →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝⎛⎭⎫x 3，y 3.又|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，即M 为△ABC 的外心，所以点M 在y 轴上，又GM →∥AB →，则有M ⎝⎛⎭⎫0，y 3. 由|MC →|＝|MA →|，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫y －y 32＝4＋y 29， 化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0. 所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点).16.曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是________.答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，又a >1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1|·|PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为12F PF S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2 ≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2， 即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，即③正确.。
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高中物理学习材料【课本内容再回顾——查缺补漏】回顾一：电表、电表的改装1.灵敏电流表G （1）三个主要参数①内阻Rg :电流表线圈的电阻，大约几十欧到几百欧。
②满偏电流Ig :指针批转到最大刻度时的电流，大约几十微安到几毫安。
③满偏电压Ug :电流表通过Ig 时两端的电压，大约零点几伏。
（2）三个参数间的关系：由欧姆定律可知Ug=IgRg 注意：电表就是电阻。
2.电压表（1）电压表的改装电流表G 的电压量程U g =I g R g ，当改装成量程为U 的电压表时，应串联一个电阻R 分去多余的电压U-Ug ，电阻R 叫分压电阻。
根据串联电路的特点得：RU U R U I ggg g -==，解得：()gggU RU U R -=（2）电压表的内阻：R V =R g +R 3.电流表的改装电流表G 的电压量程U g =I g R g ，当改装成量程为I 的电流表时，应并联一个电阻R 分去多余的电流I-I g ，电阻R 叫分流电阻。
根据并联电路的特点：()R I I R I U g g g g -==，解得：gg g I I R I R -=（2）电流表的内阻：R A =R g ×R/（R+R g ）4.电流表改装成欧姆表①原理：闭合电路的欧姆定律②如图所示，当红、黑表笔短接时，调节R ，使电流表的指针达到满偏电流，此时指针所指表盘上满刻度处对应两表笔间电阻为零。
这时有：rR R EI g g ++=③当两表笔间接入电阻Rx 时，电流表的电流为：rR R R EI g x x +++=当Rx 改变时，Ix 随着改变，将电流表表盘上I x 处表上对应的Rx 值，就构成了欧姆表。
④中值电阻：欧姆表的内阻即为中值电阻R 中＝R 内＝R+Rg+r 因Ix 与Rx 不是线性关系，欧姆表表盘刻度不均匀。
回顾二：滑动变阻器的两种接法1.限流接法 如图所示。
用电器Rx 的电压调节范围：E U RR ER X X X≤≤+电路消耗的总功率为：EI 限流接法的选用原则：①测量时电路中的电流或电压没有要求从零开始连续调节， 只在小范围内变化，且待测电阻R x 与R 接近时。
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实验基础知识一、螺旋测微器的使用1．构造：如图1所示，B为固定刻度，E为可动刻度．图12．原理：测微螺杆F与固定刻度B之间的精密螺纹的螺距为0.5 mm，即旋钮D每旋转一周，F前进或后退0.5 mm，而可动刻度E上的刻度为50等份，每转动一小格，F前进或后退0.01 mm，即螺旋测微器的精确度为0.01 mm.读数时估读到毫米的千分位上，因此，螺旋测微器又叫千分尺．3．读数：测量值(mm)＝固定刻度数(mm)(注意半毫米刻度线是否露出)＋可动刻度数(估读一位)×0.01(mm)．如图2所示，固定刻度示数为2.0 mm，半毫米刻度线未露出，而从可动刻度上读的示数为15.0，最后的读数为：2.0 mm＋15.0×0.01 mm＝2.150 mm.图2二、游标卡尺1．构造：主尺、游标尺(主尺和游标尺上各有一个内、外测量爪)、游标卡尺上还有一个深度尺．(如图3所示)图32．用途：测量厚度、长度、深度、内径、外径．3．原理：利用主尺的最小分度与游标尺的最小分度的差值制成．不管游标尺上有多少个小等分刻度，它的刻度部分的总长度比主尺上的同样多的小等分刻度少1 mm.常见的游标卡尺的游标尺上小等分刻度有10个的、20个的、50个的，其规格见下表：4.读数：若用x表示从主尺上读出的整毫米数，K表示从游标尺上读出与主尺上某一刻度线对齐的游标的格数，则记录结果表示为(x＋K×精确度)mm.三、常用电表的读数对于电压表和电流表的读数问题，首先要弄清电表量程，即指针指到最大刻度时电表允许通过的最大电压或电流，然后根据表盘总的刻度数确定精确度，按照指针的实际位置进行读数即可．(1)0～3 V的电压表和0～3 A的电流表的读数方法相同，此量程下的精确度分别是0.1 V和0.1 A，看清楚指针的实际位置，读到小数点后面两位．(2)对于0～15 V量程的电压表，精确度是0.5 V，在读数时只要求读到小数点后面一位，即读到0.1 V.(3)对于0～0.6 A量程的电流表，精确度是0.02 A，在读数时只要求读到小数点后面两位，这时要求“半格估读”，即读到最小刻度的一半0.01 A.基本实验要求1．实验原理根据电阻定律公式知道只要测出金属丝的长度和它的直径d ，计算出横截面积S ，并用伏安法测出电阻R x ，即可计算出金属丝的电阻率． 2．实验器材被测金属丝，直流电源(4 V)，电流表(0～0.6 A)，电压表(0～3 V)，滑动变阻器(50 Ω)，开关，导线若干，螺旋测微器，毫米刻度尺． 3．实验步骤(1)用螺旋测微器在被测金属丝上的三个不同位置各测一次直径，求出其平均值d . (2)连接好用伏安法测电阻的实验电路．(3)用毫米刻度尺测量接入电路中的被测金属丝的有效长度，反复测量三次，求出其平均值l .(4)把滑动变阻器的滑片调节到使接入电路中的电阻值最大的位置．(5)闭合开关，改变滑动变阻器滑片的位置，读出几组相应的电流表、电压表的示数I 和U 的值，填入记录表格内．(6)将测得的R x 、l 、d 值，代入公式R ＝ρl S 和S ＝πd 24中，计算出金属丝的电阻率．4．电流表、电压表测电阻两种方法的比较电流表分压 电压表分流。
[K12学习]2019届高考物理一轮复习 第九章 磁场章末过关检测 新人教版
![[K12学习]2019届高考物理一轮复习 第九章 磁场章末过关检测 新人教版](https://img.taocdn.com/s3/m/acd49ce5d15abe23482f4d94.png)
第九章 磁场章末过关检测(九) (时间：60分钟 满分：100分)一、单项选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)1.如图所示，A 为一水平旋转的橡胶盘，带有大量均匀分布的负电荷，在圆盘正上方水平放置一通电直导线，电流方向如图．当圆盘高速绕中心轴OO ′转动时，通电直导线所受磁场力的方向是( )A ．竖直向上B ．竖直向下C ．水平向里D ．水平向外解析：选C.从上向下看，由于带负电的圆盘顺时针方向旋转，形成的等效电流为逆时针方向，由安培定则判定所产生的磁场方向竖直向上．由左手定则可判定通电导线所受安培力的方向水平向里．故C 正确．2.如图所示，在直角三角形ABC 的A 点和B 点分别固定一垂直纸面向外和向里的无限长通电直导线，其电流强度分别为I A 和I B ，∠A ＝30°，通电直导线形成的磁场在空间某点处的磁感应强度B ＝k I r，k 为比例系数，r 为该点到导线的距离，I 为导线的电流强度．当一电子在C 点的速度方向垂直纸面向外时，所受洛伦兹力方向垂直BC 向下，则两直导线的电流强度I B 与I A 之比为( )A.12 B ．34C.32D ．14解析：选D.由左手定则可知C 点处磁场的磁感应强度B 合的方向平行BC 向右，设A 处导线和B 处导线在C 处形成的磁场的磁感应强度大小分别为B A 和B B ，方向分别与AC 和BC垂直，如图所示，可知B B B A ＝sin 30°＝12，又B B B A ＝kI B l BC k I A l AC，计算可得I B I A ＝14，D 正确．3.一直导线平行于通电螺线管的轴线放置在螺线管的上方，如图所示，如果直导线可以自由地运动且通以方向为由a 到b 的电流，则导线ab 受磁场力后的运动情况为( )A ．从上向下看顺时针转动并靠近螺线管B ．从上向下看顺时针转动并远离螺线管C ．从上向下看逆时针转动并远离螺线管D ．从上向下看逆时针转动并靠近螺线管解析：选D.先由安培定则判断出通电螺线管的N 、S 极，找出导线左、右两端磁感应强度的方向，并用左手定则判断这两端受到的安培力的方向，如图甲所示．可以判断导线受磁场力后从上向下看逆时针方向转动．再分析此时导线位置的磁场方向，再次用左手定则判断导线受磁场力的方向，如图乙所示，导线还要靠近螺线管，所以D 正确，A 、B 、C 错误．4.(2018·东北三校联考)如图所示，某种带电粒子由静止开始经电压为U 1的电场加速后，射入水平放置、电势差为U 2的两导体板间的匀强电场中，带电粒子沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场中，则粒子射入磁场和射出磁场的M 、N 两点间的距离d 随着U 1和U 2的变化情况为(不计重力，不考虑边缘效应)( )A ．d 随U 1变化，d 与U 2无关B ．d 与U 1无关，d 随U 2变化C ．d 随U 1变化，d 随U 2变化D ．d 与U 1无关，d 与U 2无关 解析：选A.设带电粒子在加速电场中被加速后的速度为v 0，根据动能定理有qU 1＝12mv 20.设带电粒子从偏转电场中出来进入磁场时的速度大小为v ，与水平方向的夹角为θ，如图所示，在磁场中有r ＝mv qB ，v ＝v 0cos θ，而d ＝2r cos θ，联立各式解得d ＝2mv 0qB，因而选项A 正确．5．如图所示，在x 轴上方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B 的匀强磁场，x 轴下方存在垂直纸面向外的磁感应强度为B2的匀强磁场，一带负电的粒子从原点O 以与x 轴成30°角斜向上的速度v 射入磁场，且在x 轴上方运动半径为R .则下列说法正确的是( )A ．粒子经偏转一定能回到原点OB ．粒子在x 轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为2∶1C ．粒子完成一次周期性运动的时间为2πm3qBD ．粒子第二次射入x 轴上方磁场时，沿x 轴前进3R解析：选D.由r ＝mvqB可知，粒子在x 轴上方和下方两磁场中运动的半径之比为1∶2，所以B 错误；粒子完成一次周期性运动的时间t ＝16T 1＋16T 2＝πm 3qB ＋2πm 3qB ＝πmqB ，所以C 错误；粒子第二次射入x 轴上方磁场时沿x 轴前进l ＝R ＋2R ＝3R ，粒子经偏转不能回到原点O ，所以A 错误、D 正确．6.如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点．有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P 点进入磁场．这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的13.将磁感应强度的大小从原来的B 1变为B 2，结果相应的弧长变为原来的一半，则B 2∶B 1等于( )A. 2 B ． 3 C ．2 D ．3解析：选B.当轨迹半径小于或等于磁场区半径时，粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为轨迹直径．如图所示，当粒子从13圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨迹直径为PQ ，粒子都从圆弧PQ 之间射出，因此轨迹半径r 1＝R cos 30°＝32R ；若粒子射出的圆弧对应弧长为“原来”的一半，即16周长，对应的弦长为R ，即粒子运动轨迹直径等于磁场区半径R ，轨迹半径r 2＝R 2，由r ＝mv qB 可得B 2B 1＝r 1r 2＝ 3.选项B 正确．二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有错选或不答的得0分)7．(高考江苏卷)如图所示，导电物质为电子的霍尔元件位于两串联线圈之间，线圈中电流为 I ，线圈间产生匀强磁场，磁感应强度大小 B 与 I 成正比，方向垂直于霍尔元件的两侧面，此时通过霍尔元件的电流为 I H ，与其前后表面相连的电压表测出的霍尔电压 U H 满足：U H ＝kI H Bd，式中k 为霍尔系数，d 为霍尔元件两侧面间的距离．电阻R 远大于R L ，霍尔元件的电阻可以忽略，则( )A．霍尔元件前表面的电势低于后表面B．若电源的正负极对调，电压表将反偏C．I H与I成正比D．电压表的示数与R L消耗的电功率成正比解析：选CD.当霍尔元件通有电流I H时，根据左手定则，电子将向霍尔元件的后表面运动，故霍尔元件的前表面电势较高．若将电源的正负极对调，则磁感应强度B的方向换向，I H方向变化，根据左手定则，电子仍向霍尔元件的后表面运动，故仍是霍尔元件的前表面电势较高，选项A、B错误；因R与R L并联，根据并联分流，得I H＝R LR L＋RI，故I H与I成正比，选项C正确；由于B与I成正比，设B＝aI，则I L＝RR＋R LI，P L＝I2L R L，故U H＝kI H Bd＝ak（R＋R L）R2dP L，知U H∝P L，选项D正确．8.(2018·湖北宜城第一中学高三月考)如图所示，一条形磁铁放在水平桌面上，在其左上方固定一根与磁铁垂直的长直导线，当导线中通以图示方向的电流时( ) A．磁铁对桌面的压力增大B．磁铁对桌面的压力减小C．磁铁受到向右的摩擦力作用D．磁铁受到向左的摩擦力作用解析：选BC.根据条形磁铁磁感线分布情况得到直线电流所在位置磁场方向(切线方向)，再根据左手定则判断安培力方向，如图甲，根据牛顿第三定律，电流对磁铁的作用力向左上方，F＝F′，如图乙，根据平衡条件，可知通电后支持力变小，静摩擦力变大，故磁铁对桌面的压力变小，而静摩擦力向右．选项B、C正确．9.(2018·陕西西安模拟)如图所示，有一个正方形的匀强磁场区域abcd ，e 是ad 的中点，f 是cd 的中点，如果在a 点沿对角线方向以速度v 射入一带负电的带电粒子，恰好从e 点射出，则( )A ．如果粒子的速度增大为原来的二倍，将从d 点射出B ．如果粒子的速度增大为原来的三倍，将从f 点射出C ．如果粒子的速度不变，磁场的磁感应强度变为原来的2倍，也将从d 点射出D ．只改变粒子的速度使其分别从e 、d 、f 点射出时，在磁场中运动时间关系为：t e ＝t d >t f解析：选AD.作出示意图，如图所示，根据几何关系可以看出，当粒子从d 点射出时，轨道半径增大为原来的二倍，由半径公式R ＝mvqB可知，速度v 增大为原来的二倍或磁感应强度变为原来的一半，A 项正确，C 项错误；如果粒子的速度增大为原来的三倍，则轨道半径也变为原来的三倍，从图中看出，出射点在f 点下面，B 项错误；据粒子的周期公式T ＝2πm qB，可知粒子的周期与速度无关，在磁场中的运动时间取决于其轨迹圆弧所对应的圆心角，所以从e 、d 点射出时所用时间相等，从f 点射出时所用时间最短，D 项正确．10.如图所示，一个绝缘且内壁光滑的环形细圆管固定于竖直平面内，环的半径为R (比细圆管的内径大得多)．在圆管的最低点有一个直径略小于细圆管内径的带正电小球处于静止状态，小球的质量为m ，带电荷量为q ，重力加速度为g .空间存在一磁感应强度大小未知(不为零)，方向垂直于环形细圆管所在平面向里的匀强磁场．某时刻，给小球一方向水平向右、大小为v 0＝5gR 的初速度，则以下判断正确的是( )A ．无论磁感应强度大小如何，获得初速度后的瞬间，小球在最低点一定受到管壁的弹力作用B ．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球在最高点一定受到管壁的弹力作用C ．无论磁感应强度大小如何，小球一定能到达环形细圆管的最高点，且小球到达最高点时的速度大小都相同D ．小球从环形细圆管的最低点运动到所能到达的最高点的过程中，水平方向分速度的大小一直减小解析：选BC.小球在轨道最低点时受到的洛伦兹力方向竖直向上，若洛伦兹力和重力的合力恰好提供小球所需要的向心力，则在最低点时小球不会受到管壁弹力的作用，A 选项错误；小球运动的过程中，洛伦兹力不做功，小球的机械能守恒，运动至最高点时小球的速度v ＝gR ，由于是双层轨道约束，小球运动过程中不会脱离轨道，所以小球一定能到达轨道的最高点，C 选项正确；在最高点时，小球圆周运动的向心力F ＝m v 2R＝mg ，小球受到竖直向下的洛伦兹力的同时必然受到与洛伦兹力等大反向的轨道对小球的弹力，B 选项正确；小球从最低点运动到最高点的过程中，小球在下半圆内上升的过程中，水平分速度向右且减小，到达圆心的等高点时，水平分速度为零，而运动至上半圆后水平分速度向左且不为零，所以水平分速度一定有增大的过程，D 选项错误．三、非选择题(本题共2小题，共40分．按题目要求作答，计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)11．(20分)(2015·高考山东卷)如图所示，直径分别为D 和2D 的同心圆处于同一竖直面内，O 为圆心，GH 为大圆的水平直径．两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场．间距为d 的两平行金属板间有一匀强电场，上极板开有一小孔．一质量为m 、电量为＋q 的粒子由小孔下方d2处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v 射出电场，由H 点紧靠大圆内侧射入磁场．不计粒子的重力．(1)求极板间电场强度的大小；(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；(3)若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为2mv qD 、4mvqD，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子运动的路程．解析：(1)设极板间电场强度的大小为E ，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得qE d 2＝12mv 2① 由①式得E ＝mv 2qd.②甲(2)设Ⅰ区磁感应强度的大小为B ，粒子做圆周运动的半径为R ，由牛顿第二定律得qvB ＝m v 2R③如图甲所示，粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况．若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系得R ＝D4④ 联立③④式得B ＝4mvqD⑤若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得R ＝3D4 ⑥联立③⑥式得B ＝4mv3qD.⑦(3)设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的半径分别为R 1、R 2，由题意可知，Ⅰ区和Ⅱ区磁感应强度的大小分别为B 1＝2mv qD 、B 2＝4mv qD，由牛顿第二定律得qvB 1＝m v 2R 1，qvB 2＝m v 2R 2⑧代入数据得R 1＝D 2，R 2＝D4⑨设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的周期分别为T 1、T 2，由运动学公式得T 1＝2πR 1v ，T 2＝2πR 2v⑩乙据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称性可知，Ⅰ区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ1，Ⅱ区内圆弧所对圆心角设为θ2，圆弧和大圆的两个切点与圆心O 连线间的夹角设为α，由几何关系得θ1＝120° ⑪ θ2＝180° ⑫ α＝60°⑬丙粒子重复上述交替运动回到H 点，轨迹如图丙所示，设粒子在Ⅰ区和Ⅱ区做圆周运动的时间分别为t 1、t 2，可得t 1＝360°α×θ1×2360°T 1， t 2＝360°α×θ2360°T 2⑭设粒子运动的路程为s ， 由运动学公式得s ＝v (t 1＋t 2)⑮联立⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮式得s ＝5.5πD .答案：(1)mv 2qd (2)4mv qD 或4mv3qD(3)5.5πD12．(20分)(2018·江苏扬州高三模拟)在竖直平面内建立一平面直角坐标系xOy ，x 轴沿水平方向，如图甲所示．第二象限内有一水平向右的匀强电场，场强为E 1.坐标系的第一、四象限内有一正交的匀强电场和匀强交变磁场，电场方向竖直向上，场强E 2＝12E 1，匀强磁场方向垂直纸面．处在第三象限的发射装置(图中未画出)竖直向上射出一个比荷qm＝102C/kg 的带正电的粒子(可视为质点)，该粒子以v 0＝4 m/s 的速度从－x 上的A 点进入第二象限，并以v 1＝8 m/s 速度从＋y 上的C 点沿水平方向进入第一象限．取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，磁感应强度按图乙所示规律变化(以垂直纸面向外的磁场方向为正方向)，g ＝10 m/s 2.试求：(1)带电粒子运动到C 点的纵坐标值h 及电场强度E 1；(2)＋x 轴上有一点D ，OD ＝OC ，若带电粒子在通过C 点后的运动过程中不再越过y 轴，要使其恰能沿x 轴正方向通过D 点，求磁感应强度B 0及其磁场的变化周期T 0；(3)要使带电粒子通过C 点后的运动过程中不再越过y 轴，求交变磁场磁感应强度B 0和变化周期T 0的乘积B 0T 0应满足的关系．解析：(1)t ＝v 0g＝0.4 s ，h ＝v 02t ＝0.8 ma x ＝v 1t＝2g ，qE 1＝2mg ，E 1＝0.2 N/C.(2)qE 2＝mg ，所以带电粒子在第一象限将做匀速圆周运动，设粒子运动圆轨道半径为R ，周期为T ，则qv 1B 0＝m v 21R 可得R ＝0.08B 0使粒子从C 点运动到D 点，则有：h ＝(2n )R ＝(2n )0.08B 0，B 0＝0.2n (T)(n ＝1，2，3…)T ＝2πm qB 0，T 02＝T4T 0＝T 2＝πm qB 0＝π20n(s)(n ＝1，2，3…)．K12学习教育资源K12学习教育资源 (3)当交变磁场周期取最大值而粒子不再越过y 轴时可作如图运动情形：由图可知θ＝5π6，T 0≤56T ＝π60B 0所以可得B 0T 0≤π60(kg/C)． 答案：(1)0.8 m 0.2 N/C(2)0.2n (T)(n ＝1，2，3…)π20n(s)(n ＝1，2，3…) (3)B 0T 0≤π60(kg/C)。
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章末自测卷(第九章)
(限时：45分钟)
一、单项选择题
1.关于磁感应强度B，下列说法正确的是()
A.根据磁感应强度的定义式B＝F
IL可知，磁感应强度B与F成正比，与IL成反比
B.一小段通电导线放在磁感应强度为零处，它所受的磁场力一定为零
C.一小段通电导线在某处不受磁场力的作用，则该处的磁感应强度一定为零
D.磁场中某处磁感应强度的方向，与通电导线在该处所受磁场力的方向相同
答案 B
2.(2018·江西南昌模拟)如图1所示，在玻璃皿的中心放一个圆柱形电极B，沿边缘内壁放一个圆环形电极A，把A、B分别与电源的两极相连，然后在玻璃皿中放入导电液体，现把玻璃皿放在如图所示的磁场中，液体就会旋转起来.若从上向下看，下列判断正确的是()
图1
A.A接电源正极，B接电源负极，液体顺时针旋转
B.A接电源负极，B接电源正极，液体顺时针旋转
C.A、B与50 Hz的交流电源相接，液体持续旋转
D.仅磁场的N、S极互换后，重做该实验发现液体旋转方向不变
答案 A
解析若A接电源正极，B接电源负极，在电源外部电流由正极流向负极，因此电流由边缘流向中心，玻璃皿所在处的磁场竖直向下，由左手定则可知，导电液体受到的磁场力沿顺时针方向，因此液体沿顺时针方向旋转，故A正确；同理，若A接电源负极，B接电源正极，根据左手定则可知，液体沿逆时针方向旋转，故B错误；A、B与50 Hz的交流电源相接，液体不会持续旋转，故C错误；若磁场的N、S极互换后，重做该实验发现液体旋转方向变化，故D错误.
3.如图2所示，质量为m、长度为L的金属棒MN两端由等长的轻质细线水平悬挂在O、O′点，
处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B ，棒中通以某一方向的电流，平衡时两细线与竖直方向夹角均为θ，重力加速度为g .则( )
图2
A.金属棒中的电流方向由N 指向M
B.金属棒MN 所受安培力的方向垂直于OMNO ′平面向上
C.金属棒中的电流大小为mg BL
tan θ D.每条细线所受拉力大小为mg cos θ
答案 C
解析 平衡时两细线与竖直方向夹角均为θ，故金属棒受到安培力，根据左手定则，可判断金属棒中的电流方向由M 指向N ，故A 错误；金属棒MN 所受安培力的方向垂直于MN 和磁场方向向右，故B 错误；设每条细线所受拉力大小为F T ，由受力分析可知，2F T sin θ＝BIL,2F T cos θ＝
mg ，得 I ＝mg BL tan θ，故C 正确；由受力分析可知，2F T cos θ＝mg ，得F T ＝mg 2cos θ
，故D 错误. 4.不计重力的两个带电粒子M 和N 沿同一方向经小孔S 垂直进入匀强磁场，在磁场中的径迹如
图3.分别用v M 与v N 、t M 与t N 、q M m M 与q N m N
表示它们的速率、在磁场中运动的时间、荷质比，则( )
图3
A.如果q M m M ＝q N m N
，则v M >v N B.如果q M m M ＝q N m N
，则t M <t N C.如果v M ＝v N ，则q M m M >q N m N
D.如果t M ＝t N ，则q M m M >q N m N
答案 A。