江苏省南京外国语学校2020-2021学年八年级(上)期中数学试卷 解析版 (1)

2020-2021学年江苏省南京外国语学校八年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2D．a：b：c＝7：24：25
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
5．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）
A．42B．48C．84D．96
6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD 的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（）
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
7．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是（）
A．2和3B．3和3C．2和4D．3和4
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
二、填空题（本大题共10小题，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有．（填序号）
10．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为．
11．如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝．
12．若三角形三边满足a：b：c＝5：12：13，且三角形周长为25cm，则这个三角形最长边上的高为．
13．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是．
14．如图，B、C、D在同一直线上，∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝1，BC＝DE＝3，则△ACE 的面积为．
15．如图，AB＝AC＝AD，AD∥BC，若∠D＝24°，则∠BAC＝度．
16．在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝°．
17．如图，图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝70厘米，BC＝84厘米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝70厘米．档位为Ⅰ档时，OD∥AB．档位为Ⅱ档时，OD′⊥AC．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为厘米．
18．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，CE是高，且∠ECA＝36°，平面内有一异于点A，B，C，E的点D，若△ABC≌△CDA，则∠DAE的度数为．三、解答题（本大题共8小题，共62分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．求证：△ABC≌△EAD．
20．（6分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当△P AC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
21．（6分）如图，已知△ABC，点P为BC上一点．
（1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE
＝AF．
22．（7分）如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
23．（8分）已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
（1）写出逆命题．
（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
24．（9分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接P A，PB，PC，以BP为边作∠PBQ ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若∠APB＝150°，PB＝8，P A＝6，连接PQ，求PC的长．
25．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P 是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：点P在OC的垂直平分线上．
26．（12分）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：
如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
2020-2021学年江苏省南京外国语学校八年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
【分析】根据垂直平分线的性质定理判断即可．
【解答】解：如图：
A．∵直线l为线段FG的垂直平分线，
∴FO＝GO，l⊥FG，
∵EF＝GH，
∴EF+FO＝OG+GH，
即EO＝OH，
∴l为线段EH的垂直平分线，故此选项正确；
B．∵EO≠OQ，
∴l不是线段EQ的垂直平分线，故此选项错误；
C．∵FO≠OH，
∴l不是线段FH的垂直平分线，故此选项错误；
D．∵l为直线，EH不能平分直线l，
∴EH不是l的垂直平分线，故此选项错误；
故选：A．
3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2﹣b2＝c2D．a：b：c＝7：24：25
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解答】解：A、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝75°≠90°，故△ABC不是直角三角形；
B、因为∠C＝∠A﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠A＝90°，故△ABC是直角
三角形；
C、因为a2﹣b2＝c2，a2＝b2+c2，故△ABC是直角三角形；
D、因为a：b：c＝7：24：25，设a＝7x，b＝24x，c＝25x，（7x）2+（24x）2＝（25x）2，
故△ABC是直角三角形．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，
∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
故选：B．
5．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为（）
A．42B．48C．84D．96
【分析】根据平移的性质分别求出BE、DE，根据题意求出OE，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由平移的性质知，BE＝6，DE＝AB＝10，
∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，
∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，
∴S四边形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）•BE＝（10+6）×6＝48，
故选：B．
6．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD 的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（）
A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°
【分析】由AB＝AC，根据等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ACB＝70°，由角平分线的定义推出∠APB＝∠ACB＝35°，最后用三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】解：如图，AP与BC相交于点O，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠CAB＝40°，
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，
∴∠APB＝∠ACB＝35°，
∵AB＝AC，AP是∠BAC的平分线，
∴AP⊥BC，OB＝OC，
∴CP＝BP，
∴∠APC＝∠APB＝35°，
∴∠BPC＝70°，
∵BP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBD＝∠CBD＝55°，
∴∠D＝∠BPC﹣∠PBD＝70°﹣55°＝15°．
故选：A．
7．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是（）
A．2和3B．3和3C．2和4D．3和4
【分析】根据等腰三角形的判定和直角三角形的判定得出即可．
【解答】解：∵设小正方形的边长是1，连接AE、CE、BD、CE、CD、DE，
则AB＝BC＝2，BE＝4，
由勾股定理得：EC2＝AE2＝22+42＝20，DC2＝DE2＝12+32＝10，BD2＝32+32＝18，∴AE＝EC，DC＝DE，AB2+BE2＝AE2，BC2+BE2＝CE2，CD2+DE2＝CE2，
∴等腰三角形有△AEC，△CDE，共2个；
直角三角形有△ABE，△CDE，△CBE，共3个；
故选：A．
8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（）
A．50.5寸B．52寸C．101寸D．104寸
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r，DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，共22分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
9．如图，已知：∠A＝∠D，∠1＝∠2，下列条件中：①∠E＝∠B；②EF＝BC；③AB＝EF；④AF＝CD．能使△ABC≌△DEF的有②④．（填序号）
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理和已知条件逐个判断即可．
【解答】解：
①∠E＝∠B，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴①错误；
②EF＝BC，符合全等三角形的判定定理，可以用AAS证明△ABC≌△DEF，∴②正确；
③AB＝EF，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，∴③错误；
④∵AF＝CD，
∴AF+FC＝CD+FC，
∴AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴④正确；
故答案为：②④．
10．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且A、B、C三个正方形的边长分别为2、3、4，则正方形D的面积为29．
【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程4+16＝x﹣9，求出即可．
【解答】解：设正方形D的面积为x，
∵正方形A、B、C的边长分别为2、3、4，
∴正方形的面积分别为4、9、16，
根据图形得：4+16＝x﹣9，
解得：x＝29，
故答案为：29．
11．如图，∠MON内有一点P，点P关于OM的轴对称点是G，点P关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON＝35°，则∠GOH＝70°．
【分析】连接OP，根据轴对称的性质可得∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，然后求出∠GOH＝2∠MON，代入数据计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠PON+∠NOH＝2∠MON，
∵∠MON＝35°，
∴∠GOH＝2×35°＝70°．
故答案为：70°．
12．若三角形三边满足a：b：c＝5：12：13，且三角形周长为25cm，则这个三角形最长边上的高为cm．
【分析】首先根据三边比设三边长分别为a＝5xcm，b＝12xcm，c＝13xcm，再根据周长
计算出边长，然后利用勾股定理可证明三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式计算出最长边上的高．
【解答】解：∵a：b：c＝5：12：13，
∴设三边长分别为：a＝5xcm，b＝12xcm，c＝13xcm，
∵周长为25cm，
∴5x+12x+13x＝25，
解得：x＝，
∴三边长分别为：a＝cm，b＝10cm，c＝cm，
∵（）2+102＝（）2，
∴三角形是直角三角形，
设最长边上的高是hcm，
××h＝××10，
解得：h＝．
故答案为：cm．
13．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB．
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
14．如图，B、C、D在同一直线上，∠B＝∠D＝90°，AB＝CD＝1，BC＝DE＝3，则△ACE 的面积为5．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△CDE，可得AC＝CE，∠ACB＝∠CED，由勾股定理可求AC的长，即可求解．
【解答】解：在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED，
∵∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∵∠B＝90°，AB＝1，BC＝3，
∴AC＝＝＝＝CE，
∴S△ACE＝××＝5，
故答案为：5．
15．如图，AB＝AC＝AD，AD∥BC，若∠D＝24°，则∠BAC＝84度．
【分析】首先根据AB＝AC＝AD，可得∠ACD＝∠D＝24°，∠B＝∠ACB，∠ACB＝∠ACB+∠BCD；然后根据AD∥BC，可得∠ADC＝∠D＝24°，据此求出∠ACB＝48°，再根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴∠ACD＝∠D＝24°，∠B＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACB+∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠D＝24°，
∴∠ACB＝48°，
∴∠D＝84°．
故答案为：84．
16．在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝45°．
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用勾股定理的逆定理，可以判断△AEF 的形状，从而可以求得∠BAC﹣∠DAE的度数．
【解答】解：连接AF、EF，
则∠CAB＝∠F AD，
∵∠F AB﹣∠DAE＝∠F AE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠F AE，
设小正方形的边长为1，
则AF＝，EF＝，AE＝，
∴AF2+EF2＝AE2，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴∠F AE＝45°，
即∠BAC﹣∠DAE＝45°，
故答案为：45．
17．如图，图1是小慧在“天猫•双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示，已知两支脚AB＝AC＝70厘米，BC＝84厘米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝70厘米．档位为Ⅰ档时，OD∥AB．档位为Ⅱ档时，OD′⊥AC．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端D向后靠的水平距离（即EF）为14厘米．
【分析】过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE 于点N，再次证明全等：△ABG≌△DON，△ACG≌△OD'M，便可解决问题．
【解答】解：过A作AG⊥BC于点G，过O作OH⊥BC于H，作OM⊥D'F于点M，交DE于点N，如图所示，
则OM＝HE，ON＝HE，
∵AB＝AC＝70厘米，BC＝84厘米，
∴BG＝CG＝BC＝42厘米，
∴AG＝（厘米），
∵AB∥OD，BC∥OM，
∴∠ABG＝∠DON，
在△ABG和△DON中，
，
∴△ABG≌△DON（AAS），
∴BG＝ON＝HE＝42厘米，
∵OD'⊥AC．
∴∠D'OM+∠MOC＝90°，
∵OM∥BC，
∴∠MOC＝∠ACG，
∵∠ACG+∠CAG＝90°，
∴∠CAG＝∠D'OM，
在△ACG和△OD'M中，
，
∴△ACG≌△OD'M（AAS），
∴AG＝OM＝HF＝56厘米，
∴EF＝HF﹣HE＝56﹣42＝14（厘米），
故答案为：14．
18．（4分）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，CE是高，且∠ECA＝36°，平面内有一异于点A，B，C，E的点D，若△ABC≌△CDA，则∠DAE的度数为117°、27°、9°和81°．
【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：如图：
∵在△ABC中，AB＝AC，CE是高，且∠ECA＝36°，
∴∠BAC＝54°，∠ACB＝∠ABC＝63°，
∵△ABC≌△CDA，
∴∠CAD＝∠ACB＝63°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝63°+54°＝117°，
同理，∠DAE＝9°，
当△ABC为钝角三角形时，
∵在△ABC中，AB＝AC，CE是高，且∠ECA＝36°，
∴∠EAC＝54°，∠ACB＝∠ABC＝27°，
∵△ABC≌△CDA，
∴∠CAD＝∠ACB＝27°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝54°﹣27°＝27°，
同理可得：∠DAE＝81°．
故答案为：117°、27°、9°和81°．
三、解答题（本大题共8小题，共62分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．
求证：△ABC≌△EAD．
【分析】根据中点的定义，再根据AAS证明△ABC≌△EAD解答即可．
【解答】证明：∵C为AE的中点，AE＝4，DE＝2，
∴AC＝AE＝2＝DE，
又∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠E，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
20．（6分）如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'．
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△ABC的面积．
（3）点P在直线MN上，当△P AC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'；
（2）根据网格中最小正方形的边长为1，即可求△ABC的面积；
（3）根据两点之间线段最短，作点A关于MN的对称点A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△P AC周长最小．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求；
（2）△ABC的面积为：3×2＝3；
（3）因为点A关于MN的对称点为A′，连接A′C交直线MN于点P，此时△P AC周长最小．
所以点P即为所求．
21．（6分）如图，已知△ABC，点P为BC上一点．
（1）尺规作图：作直线EF，使得点A与点P关于直线EF对称，直线EF交直线AC于E，交直线AB于F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接PE，AP，AP交EF于点O，若AP平分∠BAC，请在（1）的基础上说明PE ＝AF．
【分析】（1）连接AP，作线段AP的垂直平分线，交AC于E，交AB于F，连接EF即可；
（2）由（1）中作图可知EF⊥AP，AE＝PE，再证明△AOF≌△AOE，得到AF＝AE，即可证明PE＝AF．
【解答】解：（1）如图，直线EF即为所作图形；
（2）∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠CAP，
由（1）可知：EF垂直平分AP，
∴EF⊥AP，AE＝PE，
在△AOF和△AOE中，
∠OAF＝∠OAE，AO＝AO，∠AOF＝∠AOE＝90°，
∴△AOF≌△AOE（ASA），
∴AF＝AE，
∴AF＝PE．
22．（7分）如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
【分析】设BC＝xcm，则CD＝（34﹣x）cm，再根据勾股定理及勾股定理的逆定理列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，
∵BC+CD＝34，
∴CD＝34﹣x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，
∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，
解得x＝8．
∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．
23．（8分）已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
（1）写出逆命题如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出“已知”，“求证”，再进行“证明”；如果是假命题，请举反例说明．
【分析】（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；
（2）根据矩形的判定定理和性质定理证明结论．
【解答】解：（1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；
（2）是真命题，
已知，△ABC中，BD是AC边上的中线，BD＝AC，
求证：∠ABC＝90°，
证明：延长BD至E，使DE＝BD，连接AE，CE，
∵AD＝CD，BD＝DE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵BD＝BE，BD＝AC，
∴BE＝AC，
∴平行四边形ABCE是矩形，
∴∠ABC＝90°．
24．（9分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接P A，PB，PC，以BP为边作∠PBQ ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若∠APB＝150°，PB＝8，P A＝6，连接PQ，求PC的长．
【分析】（1）AP＝CQ．根据等边三角形的性质可得出∠ABC＝60°，AB＝CB，由∠ABP+∠PBC＝60°，∠PBC+∠CBQ＝60°可得出∠ABP＝∠CBQ，结合AB＝CB，BP＝BQ可证出△ABP≌△CBQ（SAS），根据全等三角形的性质可得出AP＝CQ；
（2）连接PQ，根据全等三角形的性质可得出∠BQC＝150°，由BP＝BQ，∠PBQ＝60°可得出△PBQ为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出PQ＝PB＝8，∠BQP＝60°，进而可得出∠PQC＝90°，再在Rt△PQC中，利用勾股定理可求出PC的长．
【解答】解：（1）AP＝CQ．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝CB，
∴∠ABP+∠PBC＝60°．
又∵∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠CBQ．
在△ABP和△CBQ中，，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP＝CQ．
（2）连接PQ，如图所示．
∵△ABP≌△CBQ，
∴∠BQC＝∠BP A＝150°．
∵BP＝BQ，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ为等边三角形，
∴PQ＝PB＝8，∠BQP＝60°，
∴∠PQC＝90°．
在Rt△PQC中，∠PQC＝90°，PQ＝8，CQ＝AP＝6，
∴PC＝＝10．
25．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P 是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC．
（1）求∠APO+∠DCO的度数；
（2）求证：点P在OC的垂直平分线上．
【分析】（1）利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
（2）证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形，进而解答即可．【解答】解：（1）如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
（2）
∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴OP＝PC，
∴点P在OC的垂直平分线上．
26．（12分）阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为28；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：
如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．
【分析】【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
（3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可
求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解答】解：【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c＝a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故答案为：5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2××4×6＝28．
故答案为：28．
（3）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，
∴x+4y＝，
∴S2＝x+4y＝．
故答案为：．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：（a+b）×k（a+b）＝3××b×ka+×c×ck，∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．。