相似三角形(章)学案

课时一 相似三角形的判定（一）
学习目标：
1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”及其推论的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”及其推论的判定两个三角形相似. 3．发展同学们合情推理与数学说理能力。

学习过程：
一、创设情境，引入新课：
问题：如果两个三角形的对应边 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。

结合我们学习全等三角形的判定，是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？如果有，包括哪几种情况？写下来：
二、合作交流，探究新知： 探究一：
相似三角形的判定方法1
（1）请同学们观察你与同伴的直角三角尺，同样角度的三角尺是否相似？你能提出什么猜想？
（2）由此我们发现：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么 。

（3）如果两个三角形的两对角分别对应相等，这两个三角形是否相似？为什么？
归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1： 。

∴ 如图，∵∠A ＝∠A ′,∠B ＝∠B ′
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′
（4）独立思考：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？举反例说明。

探究二：
如图甲与图乙，若DE ∥BC,则△ADE 与△ABC 有什么关系，你能写出证明过程吗？
归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1的推论： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三
角形相似．
∵AC ∥DB ∴△ADE ∽△ABC 探究三：
A
B
C
A ′
B ′
C ′
A B
C D E 图甲A
B C
D
E
图乙
除了以上常见的基本图形外，能利用本节判定方法的基本图形如下 （1）如图1,若∠AED ＝∠B,则△ADE ∽△ACB ； （2）如图2,若∠ACD ＝∠B,则△ACD ∽△ABC ；
（3）如图3,若∠BAC ＝90°,AD ⊥BC,则△ABC ∽△DBA ∽△DAC. 重要方法：
1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
2、识别三角形相似的常用思路：
（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；
（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等. 三：应用新知，体验成功：
例1、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BDC.
例题2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D 、E 分别在线段BC ，AC 上运动，在运动过程中始终保持∠ADE ＝60°，求证：△ABD ∽△DCE.
练习．如图，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.
(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1＝S 2
＋S 3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)
A B C D
E 图1A B
C D
图2
A B C
D 图3
(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

已知：如图，在Rt ΔABC 中，CD 是斜边AB 上的高。

求证：ΔACD ∽ΔABC ∽ΔCBD 例题4
已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长． 解：
练习．如图，在ΔABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 上的高，AD 、BE 相交于点F 。

（1
）求证：
FD EF
BF AF （2）图中还有与ΔAEF 相似的三角形吗？请一一写出 。

探索活动．在ΔABC 中 ，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，连结DE ，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE 与 ΔABC 相似？ （分两种情况讨论）
A
B
C
D
A
B C
D E F
A B C
D E A B C D
E
例题6．如图，D是直角三角形ABC直角边AC上的一点，若过D点的直线交AB于E，使得到的三角形与原三角形相似，则这样的直线有()
A．1条B．2条C．3条D．4条
例题7
四边形ABCD是正方形，点E,F分别在BC和CD边上，满足∠EAF=45°，连结EF，
求证:
第一组：如图，△BME、△DNF与△AMN相似。

第二组：如图，△ABN、△ADM和△AMN相似。

第三组：如图，△AEF与△AMN相似。

例题8
问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．求证：△OAB △OCD
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断△OAB△OCD中并说明理由；
练习：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：△ABE△DBF．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
课时二 相似三角形的判定（二）
学习目标：
1、经历三角形相似的判定方法“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似”和“三边对应成比例的两个三角形相似”的探索过程，能运用上述判定方法判定两个三角形相似。

2、培养合情推理与数学说理能力。

学习过程： 一、 创设情境、引入新课 1．复习提问：
(1)
两个三角形全等有哪些判定方法？
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
(4) 如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
二、 合作交流，解读探究
探究一： 由三角形全等的SAS 判定方法，我们会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似吗？
总结另一种判断相似的方法：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
符号语言：
∵
,AB AC
A A A
B A
C '=∠=∠''''
， ∴△ABC ∽△A B C '''.
★例题学习：判断图18.3.7中△AEB 和△FEC 是否相似？ 证明：
图18.3.7
B'
A'
A B
例1 （补充）已知：如图，在△ABC中，AE=1.5,AC=2,BC=3，
3
4 AD
AB
,
求DE的长．
解：
改编：1,在△ABC中，AE=1.5,AC=2.5,AD=2.5，当AB=多少时，△ABC∽△AED? 2,在△ABC中，AE=1.5,AC=2.5,AD=2.5，当AB=多少时，△ABC与△AED相似?
例2 （补充）已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD
•AD，
求证：△ADC∽△CDP．
例题3
问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．求证：△OAB △OCD
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断△OAB△OCD中并说明理由；
练习：如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：△ABE△DBF．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
探究二：由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
几何格式
∵
AB
A′B ′
＝
AC
A′C′
＝
BC
B′C′
∴△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

例1、
如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC
△相似的是（）
例2
如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．
三、应用新知，体验成功：
例题3
如图，正方形ABCD中，E是BC上一点，且BE=3EC
F是CD的中点，试说明△ADF∽△FCE。

B
D
A
C
F
E
A
B C
A′
B′C′
四、 达标测试，巩固提高：
1、在△ABC 中，AB:BC:CA=2:3:4，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1=1，C 1A 1=2，当B 1C 1=______时，△ABC ∽△A 1B 1C 1。

2.如下图左一，若
，则∠BAD ＝∠ ，______∽________。

3、如上图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似.
4、如上图右一，△PCD 是等边三角形，且C 、D 在线段AB 上，（1）当AC 、CD 、DB 满足什么条件时，△ACP ∽△PDB ？（2）当以上两三角形相似时，求∠APB 的度数。

5、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）
6、如图，E 是四边形ABCD 的对角线上一点，且
，∠1＝∠2. 试说明：∠ABC ＝∠AED .
7、如图，AD ·AB ＝AF ·AC .试说明：△DEB ∽△FEC .
AB BC AC
AD DE AE
==AB AC
AE AD =E
D
B A
A 2
1
B
C
D
E A C
D
E
F
A .
8、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.
课时三 相似三角形判定典型例题集
例题 基本判定定理利用
（一）A 字型、反A 字型（斜A 字型）
（平行）
（不平行）
例题：如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边ABAC 上，下列条件中不能判断△AED ∽△ABC 的是（ ）
A ．∠AED ＝∠ABC
B ．∠ADE ＝∠ACB
C ．
D ．
（二）一线三等角基本模型 一线三等角的变形
B
A
B
C
D E F
练习．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（）
A．△CDF B．△BEF C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF
例题----一线三等角型
例题．已知：如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2．求证：△ABC∽△EAD．
练习1．已知：如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在AD上．求证：△ABF∽△DFE．
2．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
练习1．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；
（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．
例题
如图，在2×3的方格中，画有格点△ABC，下列选项的方格中所画格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A．B．C．D．
练习．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）
A．B．C．D．
2．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：∠ABC＝°，BC＝；
（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
例题----背景平行四边形
例题．如图，在▱ABCD中，E是BC延长线上的一点，AE与CD交于点F．求证：△ADF ∽△EBA．
练习1．如图，在▱ABCD中，E是DC上一点，连接AE．F为AE上一点，且∠BFE＝∠C 求证：△ABF∽△EAD．
例题．
已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
蝴蝶型相似
1．小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．
相似三角形判定的变化模型
旋转型：
例题手拉手型（旋转型）
例题．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC，AC 的中点，连接DE．
（1）求：的值；
（2）将△CDE绕点C逆时针方向旋转一定的角度，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
练习（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①线段AD，BE之间的数量关系为；
②∠AEB的度数为．
（2）拓展探究：
如图2，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；
练习．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E 分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．
（1）观察猜想
小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点E时，
①的值为；
②∠BEC的度数为度；
（2）类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，请求出的值及∠BFC的度数，并说明理由．
例题．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．
①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；
②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点
N．求证：△ECN∽△MEN．
．如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，求证：
①∠ABF＝∠DBE；
②△ABF∽△DBE；
③AF⊥BD；
④2BG2＝BH•BD；
⑤若CE：DE＝1：3，则BH：DH＝17：16．
课时四求线段长或线段比和表示线段长
例题．阅读材料，回答问题
在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．
（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；
（2）求CF的长．
1．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1．求DF的长度．
2．如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC＝2，求△CEF的面积；
3．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；
4．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．
（2）类比探究
如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由．
5．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
二次相似构造二次相似方法多种
3．问题背景如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，求的值；
拓展创新如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB ＝4，AC＝2，直接写出AD的长．
例题分类讨论
例题．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点D、E分别是边AB、BC上点，连结DE，将△BDE沿DE翻折得到△FDE，点B的对称点F恰好落在边AC上，若以点C、
E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则BE的长为（）
A．2 B．C．或2 D．或2
动点问题
例题
如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿边AB向点B运动，动点F以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC向点C运动，动点E比动点F先出发1秒，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动设点F的运动时间为t秒．
（1）如图1，连接DE，AF．若DE⊥AF，求t的值；
（2）如图2，连结EF，DF．当t为何值时，△EBF∽△DCF？
练习1．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
课时五瓜豆原理…全等三角形相似三角形
1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．
2．如图，矩形ABCD的边AB＝，BC＝3，E为AB上一点，且AE＝1，F为AD边上的一个动点，连接EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为．
3．如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝3，CD＝2，则BD的最大值是．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转使∠DPG＝∠DAC，且过D作DG⊥PG，连接CG，则CG最小值为．
5．如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为．
课时六 相似三角形的性质--------周长与面积
自主探究
问题一：相似三角形、相似多边形的周长之间的关系 1、已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，
求证：
'''
ABC
A B C C k C =
2、猜想：相似多边形的周长之间有什么关系？
3、根据以上两个问题你会得到什么结论？
问题二：相似三角形对应高、面积之间的关系
1、 已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，AD ，'
'
A D 分别
是高线，求证：
''
AD
k A D =
归纳：相似三角形对应高的比等于 2、已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，AD ，'
'
A D
分别是高线，求证：'''
2
ABC
A B C S k S =.
归纳：由此我们得到:相似三角形的面积比等于 。

3、已知：四边形ABCD 相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k ，它们的面积比是多少？
A
B C
D
A'
B '
C '
D
'
A B
C
D
A '
B '
C '
D '
A
B C
D
A'
B '
C '
D
'
问题三; 相似三角形对应中线、角的平分线之间的关系 已知：△ABC ∽△A'B'C'，相似比
为k ，AD ，
''A D 分别是中线，则''AD
A D 的值
是多少？若AD ，'
'
A D 分别是角平分线呢？由此你会
得到什么结论？
△ABC ∽△A'B'C'，相似比为k ，
周长比 面积比 线段比 例题
1．如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的周长比为（ ） A ．4：9
B ．2：3
C ．
：
D ．16：81
2．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为2，且△ABC 的面积为16，则△DEF 的面积为（ ） A ．32
B ．8
C ．4
D ．16
3．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为（ ）
A ．8
B ．12
C ．14
D ．16
5．如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A 'B 'C '的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA '＝1，则A 'D 等于（ ）
A '
B '
C '
D '
A ．2
B ．3
C ．
D ．
例题、
△ABC ∽△AEF ----------常用数量关系---------
EF AQ
BC AD
如图，有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC=12cm ，高AD=8cm 要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，且矩形的长是宽的2倍，问加工成的铁片的面积是多少?
改编：函数题型 如图，有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC=12cm ，高AD=8cm 要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，且矩形的长是x,宽是y ，求Y 与X 的数量关系；矩形的面积为y 与x 的数量关系？
例题：
如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的．已知BC＝3，求△ABC平移的距离．
例题
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC．
（1）若AD：DB＝1：1，则S△ADE：S四边形DBCE等于多少？
（2）若S△ADE＝S四边形DBCE，则DE：BC，AD：DB各等于多少？
相似三角形的九大模型
A字形
A字型相似练习题
1．如图，DE∥BC，则下列式子正确的是（）
A．B．C．D．
2．如图，已知，DE∥BC，AD：DB＝1：2，那么下列结论中，正确的是（）
A．DE：BC＝1：2
B．AE：AC＝1：3
C．AD：AE＝1：2
D．S△ADE：S四边形BDEC＝1：4
3．如图，网格中的每个小正方形边长为1，点A，B都在小正方形的顶点上，线段AB与网格线MN交于点C，则AC的长为（）
A．B．C．D．
4．如图，点E是平行四边形ABCD边AD上的一点，且AE＝2DE，连接BE并延长交CD 的延长线点F，若DE＝3，DF＝4，则平行四边形ABCD的周长为（）
A．34B．30C．28D．21
5．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB＝1：2，则△ADE与△ABC的面积的比为．
例题添加辅助线，构造A字型相似
例题6．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是．
反A字形
8字型
八字形相似练习题
1．如图，已知D，E分别在直线AB，AC上，且DE∥BC，若＝，则的值是（）
A．B．C．2D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝4：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A．3：4B．9：16C．16：25D．3：5
3．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）
A．16B．17C．24D．25
4．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是（）
A．m＝5B．m＝4C．m＝3D．m＝10
5．如图，E是▱ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，CD＝3CF，则S△ADF：S△BEF等于（）
A．4：1B．3：1C．4：3D．9：4
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE：ED＝1：2，BE与AC相交点F，则的值为（）
A．B．C．D．
7．如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．
8．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点M是AD的中点，连接MC交BD于点N，ON＝1．
（1）求证：△DMN∽△BCN；
（2）求BD的长；
（3）若△DCN的面积为2，直接写出四边形ABNM的面积．
蝴蝶型
共角共边模型
射影定理模型三垂直模型一线三等角模型手拉脚模型
课时七 相似三角形应用举例测高
自主探究（课前导学）
测量旗杆的高度
操作：在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB 的影长
BD a =米，标杆高FD m =米，其影长DE
b =米，求AB ：
分析：∵太阳光线是平行的
∴∠____________＝∠____________ 又∵∠____________＝∠____________＝90° ∴△____________∽△____________ ∴__________________，即AB=__________
基本公式：
=物高物影物高物影；=物高物高
物影物影
二、合作探究（课堂导学）
基本图形1
A
B
E
D
F
实验探究1：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．解：
基本图形2
例题.如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的
点A和点E．C E A
，，三点在同一条，分别在点直线上，点B D
，，
D B C
，的正下方且
E A
三点在同一条直线上．B C ，相距30米，D ，B 相距40米，乙楼高BE 为15米，甲楼高
AD 为多少米（小明身高忽略不计）
1、如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，梯脚B 距墙脚1.6m ，梯上点D 距墙1.4m ，BD 长0.55m ，求该梯子的长。

2、如图，一圆柱形油桶,高1.5米,用一根长2米的木棒从桶盖小口A 处斜插桶内另一端的B 处,抽出木棒后,量得上面没浸油的部分为1.2米,求桶内油面的高度.
基本图形
3
甲
乙
已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。

一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶点C？
基本图形4
实验探究2：.
例题、小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上方一面镜子，（镜子的高度不计），他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B ，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA=21米，以及他与镜子的距离CE=2.5米，已知他的眼睛距离地面的高度DC=1.6米，请你帮助小强计算出教学楼的高度。

（根据光的反射定
律：反射角等于入射角）
例题：如图，我们想要测量河两岸相对应两点A 、B 之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 方案一：先从B 点出发与AB 成90°角方向走50m 到O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m 到C 处，在C 处转90°，沿CD 方向再走17m 到达D 处，使得A 、O 、D 在同一条直线上．那么A 、B 之间的距离是多少？
D
C
O
B A
A D F。