高中数学含参数不等式问题的解题策略(一)

高中数学含参数不等式问题的解题策略 （一）
周六晚8：00---10：00 周日下午3：30---5：30
与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型：
第一种类型：解含有参数的不等式；
第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.
第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，求参数的范围. 其中的解题常见的策略有：
反客为主法，利用函数图像的凹凸性，几何意义法，，分离参数法，以及纯一元二次函数的图像分析法（着重从开口方向、与y 的交点、对称轴、及“△”来分析）数形结合法等方法。

如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。

【问题1】求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx+a 2-1≤0的解集分别是：
(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．
【问题2】设()()2212log 210,0x x x y a ab b a b ⎡⎤=+-+>>⎣⎦
，求使y 为负值的x 德取值范围.
【问题3】解关于x 的不等式)10(12≠>->-a a a a a x x 且
【问题4】． 解关于x 的不等式3
22---x x x a ＞0 2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 【问题5】．(2008广东卷,理)设a ∈R 若函数3ax y e x =+\x ∈R 有大于零的极值点，则a ∈____
【问题6】．设{}31<<=x x A ,又设B 是关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤+-≤+-0
52,0222bx x a x x 的解集, 试确定b a ,的取值范围
使B A ⊆
【问题8】．(2009·湖北省八校高三第一次联考)设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤┐p 是┐q 的
必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是___
【问题9】(2005江西卷，理，文)已知函数b
ax x x f +=2
)(（a ，b 为常数）且方程 ()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x .(1）求函数f (x )的解析式
（2）设1>k ，解关于x 的不等式x k x k x f --+<
2)1()( 【问题10】己知三个不等式：①x x -<-542 ②12
322≥+-+x x x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；
(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。

3．含参数的不等式的成立问题
首先请看这样一个题目：已知函数()()2lg x
ax a x f --=
(Ⅰ)若()x f 的定义域A ≠∅,试求a 的取值范围.
(Ⅱ) 若()x f 在()3,2∈x 上有意义, 试求a 的取值范围. (Ⅲ)若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的取值范围所形成的集合.. 这三问中,
(Ⅰ) ()x f 的定义域非空,相当于存在实数x ,使02>--x ax a 成立, 是能成立问题,
(Ⅱ)()x f 在区间()3,2上有意义,等价于()2
x ax a x --=ϕ0>在()3,2恒成立, 是恒成立问题, (Ⅲ)()0>x f 的解集为()3,2,等价于不等式12
>--x ax a 的解集为()3,2;是恰成立问题.. （1） 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题的操作程序
用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序基本上是这样的:
①恒成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最小值大于A ,
若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值小于B .
②能成立问题
若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >（()B x f <）成立,即()A x f >（()B x f <）在区间D 上能成立, ,则等价于函数()x f 在区间D 上的最大值大于A ,（最小值小于B ）.
③恰成立问题
若不等式()A x f >（或()B x f <）在区间D 上恰成立, 则等价于不等式的解集为D ,
（2）不等式的恒成立问题
【问题1】(2008天津卷,理)设1a >,若仅有一个常数c 使得对于任意的[],2x a a ∈,都有2,y a a ⎡⎤∈⎣⎦满足方程
log log a a x y c +=,这时a 的取值集合为 .
【问题2】(2008湖北卷,理7)若21()ln(2)2
f x x b x =-
++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 ．．
【问题3】(2008江苏卷, 14)已知函数3()31f x ax x =-+（x ∈R ），对于[11]x ∈-，，总有()0f x ≥成立，则实
数a 的值为 ．
【问题4】(2008天津卷,文)设函数()()4322f x x ax x b x =+++∈R . (Ⅰ) 当103
a =-时,讨论函数()f x 的单调性; (Ⅱ) 函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的范围; (Ⅲ) 若对于任意的[]2,2a ∈-,不等式()1f x ≤在[]1,1-上恒成立, 求
b 的取值范围.
【问题5】（2006全国卷Ⅱ，理）设函数()(1)ln(1).f x x x =++若对所有的0,x ≥都有()f x ax ≥ 成立，求实数a
的取值范围。

【练习】1已知函数()a x f x x 421++=
(Ⅰ)若此函数在(]1,∞-上有意义,试求a 的范围(Ⅱ) 若此函数的定义域是(]1,∞-,试求a 的值.
2.已知()()23243
f x x ax x x =+-∈R 在区间[]1,1-上是增函数. 求实数a 组成的集合A ; 3.若函数()()112
13123+-+-=x a ax x x f ,在区间()4,1上为减函数, 在区间()+∞,6上为增函数,试求a 的取值范围.).
下周待续（3）不等式的能成立,恰成立和部分成立问题及用数形结合的方法，解决不等式的问题。