全国通用近年高考数学大一轮复习第九章概率第52讲几何概型优选学案(2021年整理)

（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习第九章概率第52讲几何概型优选学案
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第52讲几何概型
考纲要求
考情分析命题趋势
1。

了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
2．了解几何概型的意义．2017·全国卷Ⅰ,4
2017·江苏卷，7
2016·全国卷Ⅱ，8
几何概型主要
考查事件发生的概率
与构成事件区域的长
度、角度、面积、体
积有关的实际问题，
注重考查数形结合思
想和逻辑思维能力．分值：5分
1．几何概型
如果事件发生的概率只与构成该事件区域的__长度（面积或体积)__成比例，而与A的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个特点
一是__无限性__，即在一次试验中，基本事件的个数是无限的；二是__等可能性__，即每一个基本事件发生的可能性是均等的．因此，用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的，同属于“比例解法”,即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的__图形面积（体积、长度）__”与“试验的基本事件所占的__总面积(总体积、总长度）__”之
比来表示．
3．在几何概型中，事件A的概率的计算公式
P（A)＝__ 错误!__。

4．随机模拟方法
（1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．
（2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是：①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;③计算频率f n（A）＝错误!作为所求概率的近似值．
1．思维辨析(在括号内打“√”或“")．
(1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √)
(2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的．( ×）
(3）几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等．（√)
(4）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．（√）
解析(1）正确．由随机模拟方法及几何概型可知,该说法正确．
（2)错误．虽然环境相同，但是因为随机模拟得到的是某一次的频率,所以结果不一定相等．
(3)正确．由几何概型的定义知,该说法正确．
（4)正确．由几何概型的定义知，该说法正确．
2．在区间(15,25]内的所有实数中随机抽取一个实数a,则这个实数满足17＜a＜20的概率是（C）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析∵a∈(15,25］，
∴P(17＜a＜20）＝错误!＝错误!.
3．有一杯2 L的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从水中取0.1 L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为（C）
A．0.01 B．0。

02
C．0.05 D．0.1
解析因为取水是随机的，而细菌在2 L水中的任何位置是等可能的，则小杯水中含有这个细菌的概率为P＝错误!＝0。

05.
4．已知x是［－4，4］上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2＜0的概率为( B）A．错误!B．错误!
C．错误!D．0
解析x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1，则P＝错误!＝错误!。

5．某路公共汽车每5 min发车一次,某乘客到乘车点时刻是随机的，则他候车时间不超过3 min的概率是（A）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析此题可以看成向区间［0，5］内均匀投点，求点落入[2，5］内的概率．设A＝｛某乘客候车时间不超过3 min｝，则P(A)＝错误!＝错误!.
一与长度、角度有关的几何概型
（1)设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线段l的概率为P＝错误!.
（2）当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．
【例1】 (1）设A为圆周上一点,在圆周上等可能地任取一点与A连接，则弦长超过半径2倍的概率是( B）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
(2)(2017·江苏卷)记函数f（x）＝错误!的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是__ 错误!__。

（3)甲、乙两个人玩一转盘游戏(转盘如图①，C为弧AB的中点)，任意转动转盘一次，指针指向圆弧AC时甲胜，指向圆弧BC时乙胜．后来转盘损坏如图②，甲提议连接AD，取AD中点E，若任意转动转盘一次,指针指向线段AE时甲胜，指向线段ED时乙胜．然后继续游戏,你觉得此时游戏__不公平__(填公平或不公平)，因为P甲__＜__P乙（填“〈”“>"或“＝"）．
解析（1）作等腰直角△AOC和△AMO，B为圆上任一点，则当点B在错误!上运动时，
弦长|AB｜＞错误!R,
∴P＝错误!＝错误!。

(2）由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，则D＝[－2，3]，则所求概率为错误!＝错误!。

(3）连接OE，在Rt△AOD中,∠AOE＝错误!，∠DOE＝错误!，若任意转动转盘一次，指针指向线段AE的概率是P甲＝错误!÷错误!＝错误!，指针指向线段ED的概率是P乙＝错误!÷错误!＝错误!，所以P甲〈P乙,所以乙胜的概率大,即这个游戏不公平．
二与面积有关的几何概型
与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A构成的平面区域形状的判断及面积的计算，基本方法是数形结合．
【例2】 (1)如图,已知圆的半径为10，其内接△ABC的内角A，B分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在△ABC内的概率为( B)
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
(2）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__ 错误!__(用数字作答)．
解析(1)由正弦定理
BC
sin A
＝错误!＝2R(R为圆的半径)⇒错误!⇒错误!那么S△ABC＝错误!
×10错误!×10错误!×sin 75°＝错误!×10错误!×10错误!×错误!＝25（3＋错误!)．于是，豆子落在三角形ABC内的概率为错误!＝错误!＝错误!。

（2）设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟、第y 分钟．根据题意可画出图形，如图所示,则总事件所占的面积为（50－30）2
＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝｛(x ，y )｜y －x ≥5，30≤x ≤50，30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为错误!×15×15＝错误!，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P （A ）＝错误!＝错误!。

三 与体积有关的几何概型
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积（事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
【例3】 (1）在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为__1－错误! __.
(2）在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V
3的概率是__错误! __。

解析 (1)正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心,1为半径且在正方体内部的半球的体积为错误!×错误!πr 3＝错误!×错误!π×13＝错误!π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－错误!＝1－错误!. (2)由题意知错误!＞错误!，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ,则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以错误!＝错误!＝错误!〉错误!，又错误!＝错误!，所以错误!＞错误!,故所求的概率为错误!（即为长度之比)．
1．把半径为2的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（ A ）
A ．错误!－1
B ．错误!
C ．错误!－错误!
D ．错误!
解析 这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为2，所以点落在星形内的概率为P
＝错误!＝错误!－1。

故选A．
2．在区间[－1，1］上随机取一个数x，使cos错误!的值介于0到错误!之间的概率为（A）A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析在区间［－1,1］上随机取一个数x，试验的全部结果构成的区域长度为2.
∵－1≤x≤1，∴－错误!≤错误!x≤错误!。

由0≤cos 错误!x≤错误!,得错误!≤错误!x≤错误!或－错误!≤错误!x≤－错误!,
∴错误!≤x≤1或－1≤x≤－错误!。

设事件A为“cos 错误!x的值介于0到错误!之间”，则事件A发生对应的区域长度为错误!。

∴P（A)＝错误!＝错误!。

3．在区间［－2,2]上随机取一个数x,使错误!－错误!≤1成立的概率为__错误!__。

解析在区间［－2，2］上随机取一个数x，则－2≤x≤2，而满足不等式｜x＋1｜－|x －1｜≤1的x的取值为x≤错误!.又因为－2≤x≤2，故－2≤x≤错误!，所以使不等式成立的概率为P＝错误!＝错误!.
4．如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为__0。

18__.
解析由题意知，这是个几何概型问题,错误!＝错误!＝0。

18，
∵S正＝1,∴S阴＝0.18.
错误!
错因分析：对事件中的几何元素认识不清晰，导致解题错误．
【例1】 (1）在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM＜AC的概率为______。

(2)在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM,与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率为______。

解析（1）这是一个与长度有关的几何概型问题，在AB上截取AC′＝AC，于是P（AM＜
AC）＝P(AM＜AC′)＝错误!＝错误!＝错误!。

（2）这是一个与角度有关的几何概型问题，在AB上截取AC′＝AC，则∠ACC′＝错误!＝67.5°,而∠ACB＝90°，于是P(AM＜AC）＝P（AM＜AC′)＝错误!＝错误!。

答案(1）错误!(2)错误!
【跟踪训练1】在区间［0，1]上随机取两个数x，y,记p1为事件“x＋y≤错误!”的概率，p
2
为事件“xy≤错误!”的概率，则( D）
A．p1＜p2＜错误!B．p2＜错误!＜p1
C．1
2
＜p2＜p1D．p1＜错误!＜p2
解析（x,y)构成的区域是边长为1的正方形及其内部，其中满足x＋y≤错误!的区域如图（1)中阴影部分所示,所以p1＝错误!＝错误!,满足xy≤错误!的区域如图（2）中阴影部分所示，
所以p2＝S
1
＋S2
1×1
＝错误!＞错误!,所以p1＜错误!＜p2。

故选D.
课时达标第52讲
[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题
1．在区间［－2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( B)
A．4
5
B．错误!
C．2
5
D．错误!
解析区间［－2，3］的长度为3－（－2）＝5，[－2，1］的长度为1－(－2）＝3，故满足条件的概率P＝错误!。

2．设p在[0,5］上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为( C) A．错误!B．错误!
C．3
5
D．错误!
解析方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2（舍去)．所以所求概率为错误!＝错误!.
3．在区间[0，2π]上任取一个数x,则使得2sin x>1的概率为( C)
A．错误!B．错误!
C．1
3
D．错误!
解析∵2sin x>1,x∈[0，2π],∴x∈错误!，
∴P＝错误!＝错误!.故选C．
4．（2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( B)
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为错误!。

根据几何概型的概率公式，得所求概率P＝错误!＝错误!。

故选B.
5．设不等式组错误!表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是( D)
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析作出平面区域可知平面区域D是以A（4,3)，B（4,－2），C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.
P＝错误!＝错误!＝错误!.故选D.
6．已知函数f（x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4.记函数f（x）满足条件错误!为事件A,则事件A发生的概率为( C）
A．1
4
B．错误!
C．错误!D．错误!
解析由题意，得错误!即错误!表示的区域如图中阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，所以所求概率为错误!.故选C．
二、填空题
7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于错误!的概率为__ 错误!__.
解析当V M－ABCD＝1
6
时，即
1
3
×1×1×h＝错误!，解得h＝错误!,
则点M到底面ABCD的距离小于错误!,
所以所求概率P＝错误!＝错误!。

8．记集合A＝｛(x,y)｜x2＋y2≤4｝和集合B＝{(x,y）|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0｝表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M（x，y),则点M落在区域Ω2的概率为__ 错误!__。

解析作圆O：x2＋y2＝4，区域Ω1就是圆O内部（含边界),其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB内部（含边界），其面积为2,因此所求概率为错误!＝错误!.
9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于错误!的概率是__ 错误!__.
解析设随机取出的两个数分别为x，y,则0〈x〈1,0〈y〈1，依题意有x＋y〈错误!，由几何概型知,所求概率为P＝错误!＝错误!。

三、解答题
10．设事件A表示“关于x的一元二次方程x2＋ax＋b2＝0有实根”，其中a，b为实常数．
(1)若a为区间［0，5]上的整数值随机数，b为区间［0,2]上的整数值随机数，求事件A 发生的概率；
(2）若a为区间［0，5］上的均匀随机数，b为区间［0，2]上的均匀随机数，求事件A 发生的概率．
解析(1)当a∈{0，1,2,3,4,5｝，b∈｛0,1,2｝时，共可以产生6×3＝18个一元二次方程．若事件A发生，则a2－4b2≥0，即|a|≥2｜b｜。

又a≥0，b≥0,所以a≥2b.从而数对(a，b）的取值为(0,0），（1,0），（2,0),（2，1），(3,0)，（3,1),（4，0)，（4,1），(4，2)，(5,0），
(5，1），（5,2)，共12组值，所以P(A)＝12
18
＝错误!.
(2)据题意，试验的全部结果所构成的区域为D＝｛（a，b)｜0≤a≤5,0≤b≤2｝，构成事件A的区域B＝{（a，b)|0≤a≤5,0≤b≤2,a≥2b}．在平面直角坐标系中画出区域B，D，如图．
其中区域D为矩形，其面积S(D）＝5×2＝10，
区域B为直角梯形,其面积S(B）＝错误!×2＝6.
所以P（A)＝错误!＝错误!＝错误!。

11．已知袋子中放有大小和形状相同但颜色互异的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是错误!.
（1）求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；
②在区间［0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2〉(a－b）2恒成立”的概率．
解析（1)由题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，
取到标号为2的小球的概率是错误!＝错误!，解得n＝2。

（2）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的
小球标号为b,则取出2个小球的可能情况共有12种结果，令满足“2≤a＋b≤3"为事件A，则
事件A共有8种结果，故P（A）＝错误!＝错误!.
②由①可知(a－b）2≤4，故x2＋y2〉4，（x，y）可以看成平面中点的坐标，则全部结果构
成的区域Ω＝｛（x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R},由几何概型可得概率为P＝错误!＝1－错误!.
12．甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方
案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且
每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计)即为中奖．
乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分），如
果摸到的是2个红球，即为中奖．
问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？
解析如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为πR2（R为圆盘的
半径),
阴影区域的面积为错误!＝错误!。

所以在甲商场中奖的概率为P1＝错误!＝错误!。

如果顾客去乙商场,记盒子中3个白球为a1，a2,a3,3个红球为b1,b2，b3，记（x，y)为一次
摸球的结果，则一切可能的结果有（a1，a2），（a1，a3）,（a1,b1）,(a1，b2），（a1，b3 )，(a2，a
)，（a2,b1),(a2，b2),(a2，b3），（a3，b1)，(a3，b2），(a3，b3），(b1，b2）,(b1，b3),（b2，b3），3
共15种，
摸到的2个球都是红球有(b1，b2)，(b1,b3),(b2，b3）共3个，所以在乙商场中奖的概率为P
＝错误!＝错误!,又P1〈P2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大．
2。