圆周率π的历史及近似计算的发展过程

欧拉于1748年发现的两个级数：

2

6
k
k 1

1
2

2

8
(2k 1)
k 0
1
2
这两个级数收敛速度也很慢，所以在计算时使用价 值并不大。
为提高计算效率，采用基于arctanx的级数的一种加速方 法：
已知arctanx的泰勒级数展开式为：
arctan x
k 0
( 1) x
令n=4，可得b(n), c(n)分别为
3.14103
3.14271
在刘徽之后二百年,南北朝人祖冲之应用刘徽的割圆 术,在刘徽的基础上继续推算,求出了精确的七位有效 数字的圆周率值:3. 1415926 <π< 3. 1415927。在《中 国科学技术史》中,李约瑟博士指出:“在这个时期,中 国人不久赶上了希腊人,并且在公元五世纪祖冲之和 他的儿子祖堩的计算中又出现了跃进,从而使他们领 先了一千年。” 祖冲之所得圆周率的精度保持了记录达一千年,直到 十五世纪中亚数学家al - Kashi 和十六世纪法国数学 家Viete 才计算出更精确的值,前者到第十四位,后者到 第九位。到欧洲文艺复兴之前,圆周率的最好结果是 公元1600 年Van Ceulen 所得的第35 位。
下面看中国,刘徽是三世纪中国著名的数学家,他是 用割圆术来求圆周率的。 割圆术从单位圆开始，首先作单位圆的内接正六边形， 然后边数加倍，正12边形，正24边形，正48边形，正 96边形，… 利用勾股定理，可以建立边数与面积的递 推公式，进而得到π的近似值.
设圆内接正n边形的边长为 a n ，圆内接正n边形的 面积为 S n ，则边长有以下递推公式：
k
2 k 1
2k 1
若在其中取x=1,则得到的就是莱布尼茨级数，其收敛 速度极慢。
观察级数可知，当x的值越接近0，级数收敛得越快.
因此考虑令 则有
x tan 1 5
，则
arctan
1 5
tan 2
2 tan 1 tan
2

2x 1 x
2
5
5 12 120 119
需要说明的是,Archimedes 并不是用我们这里的代数和 三角符号,而是用纯几何的方法推导的,并且也没有使用 我们现在使用的小数表示(小数的正式使用是在十六、 十七世纪的事) ,所以他从a1 ,b1 出发推导出a6 ,b6 是极 为烦琐的,计算量是惊人的。
古印度在这方面的情况。印度在公元500 —1000 年间, 出现了四、五个有名的数学家,印度数学由此而出现了 繁荣的景象。对圆周率得出最好近似值的是阿耶波多, 他所得到的近似值是3. 1416 ,但直到十二世纪前后印度 数学家始终没有使用过该值。在他的《阿耶波多书》 里,他是这样说的:100 加4 ,乘以8 ,再加62000 ,结果是直 径为20000 的圆周的近似值,这就导致了圆周率为3. 1416 ,由于书中没有一处地方提示过证明的方法,所以 我们无从得知他是如何得出该结果的,但从其准确性上 看,他应该是通过推算得出的。
圆周率π的发展历史及近似计算
------数学案例教学之八
内容简介

一、对圆周率π的发展历史的介绍
二、圆周率π发展的四个时期的近似计算 方法介绍 三、结合Mathematica软件对近似计算方法 的演示与比较 四、对近似计算π的其他若干方法的介绍





人类是在什么时候首先发现了圆的周长是其直 径三倍多的事实现在已经很难追溯了,从那个难 以确定的时间以来,人们一直在努力地回答圆的 周长究竟是其直径的三倍多多少的问题。
我们借助于计算机利用软件Mathematica来完成 刘徽的工作：
a a b c

0 n_ n_ n_
1; : Sqrt 2 Sqrt 4 a n 1 ^ : 2 ^ n a n ; 3 : 2 ^ n a n b n 1 ; 6

100 300 500 700 900
3.15149 3.14491 3.14359 3.14302 3.1427
0.009900 0.003322 0.001996 0.001426 0.001109
发现其收敛速度慢，使用前1000项计算大约能精确 到百分位.
从几何上推算出圆周率近似值的应该首推古希腊的 Archimedes (287 - 212 BC) ,他得到的圆周率是大于 223/ 71 而小于22/ 7 ,他是用96边的圆内接正多边形 和圆外切正多边形来进行推算的。
半径为1 的圆,分别内接和外切正 3 2 n1 边形,设它 们周长的一半分别为an 和bn , 当n 递增时可以得到 递增的数列a1 ,a2 , ⋯,an , ⋯,和递减的数列b1 ,b2 , ⋯bn ⋯,此二数列有相同的极限π。
在古印度,宗教活动中的庙宇和祭坛等的 建筑设计,需要用到数学知识,在梵文经典《测 绳的法规》中对此作了总结,所包含的内容可以 上溯到公元前五世纪或更早的年代,其中使用 π的值往往用复杂的式子表示如:
4(1
2 15 ) 3.0044...
2

[1
4 1 3 ( 2 1)]
2


1 3 3 5 5 7 7... 2 4 4 6 6 8 8...
而最著名的公式是Leibniz级数(1674年发现）:

4
1
1 3

1 5

1 7
...
我们可以执行如下程序来体验利用莱布尼茨级数 计算π的效果：
Table n, N 4 Sum 1 ^ j 2 j 1 , j, 0, n N Pi Sum 1 ^ j 2 j 1 , j, 0, n , n, 100, 1000, 200 TableForm
2
3.0883...
显然,这些近似值比3 强不了多少,并且也 都是经验性。印度这种使用经验性π值的年代 一直延续到公元六世纪数学家阿耶波多。
二、几何推算时期 从几何上推算出圆周率近似值的应该首推 古希腊的Archimedes (287 - 212 BC) ,他得到的 圆周率是大于223/ 71 而小于22/ 7 ,他是用96 边的圆内接正多边形和圆外切正多边形来进行 推算的。
1593年，VieTa首次给出计算π的精确表达式
2


2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 ...
Vieta n_ :Module u , u N Product Cos Pi 2 ^ i 1 , i, 1, n 1 , Return 2 u Table n, Vieta n , Pi Vieta n , n, 0, 20, 2
1
即 所以
arctan
1 239
16 4 16 arctan
16
k 0
1 5
4 arctan ( 1)
k
1 239
( 1)
k
2k 1 5

1
2 k 1
4
k 0

2k 1 239

1
2 k 1
编制程序观察加速效果：
arctan x_, n_ :Sum 1 ^ j 2 j 1 x ^ 2 j 1 , j, Table n, N 16 arctan 1 5, n 4 arctan 1 239, n , 40 N Pi 16 arctan 1 5, n 4 arctan 1 239, n , 50 n, 0, 25, 5 TableForm
下面我们看东方的情况。在中国,成书大约在一世纪 的《周髀算经》上记述了周公和商高的问答,在商高 曰“数之法出于圆方”下,有赵爽(公元220 年) 注(“周 三而径一”) 。东汉科学家张衡提出 10 ,而在西 汉缉为定本的中国古典数学名著《九章算术》中仍 沿用周三径一之说,其精度比不上古埃及和巴比仑,这 种状况一直延续到公元三世纪的魏晋时期,因为数学 家 刘徽的出现而得以改变。
tan 4
2 tan 2 1 tan 2
2
2 1 (
12 5 12
)
2
Baidu Nhomakorabea
1
因此，4

4
, 4

4
非常接近于0.
而
120
1 119 tan tan( 4 ) 120 4 1 tan 4 239 1 119

tan 4 1
古往今来,从没有哪一个数学常数能象圆周率那 样吸引众多的学者。圆周率在各个时期的文明 中都像一颗闪耀的明珠,它往往能够在一定程度 上折射出该文明数学发展的水平。下面就让我 们回顾π计算的四个时期。
一、经验性获得时期 该阶段的特点是,π的获得并没有理论上的根据, 而是从实际经验中得到的, 一般说来,精确度是 不高的。
数学案例教学之八数学案例教学之八一对圆周率一对圆周率的发展历史的介绍的发展历史的介绍二圆周率二圆周率发展的四个时期的近似计算发展的四个时期的近似计算方法介绍方法介绍三结合三结合mathematicamathematica软件对近似计算方法软件对近似计算方法的演示与比较的演示与比较四对近似计算四对近似计算的其他若干方法的介绍的其他若干方法的介绍人类是在什么时候首先发现了圆的周长是其直径三倍多的事实现在已经很难追溯了从那个难以确定的时间以来人们一直在努力地回答圆的周长究竟是其直径的三倍多多少的问题
13 12 11 9
6, 3.1415138011443010763, 0.000078852445492162

8
,
,
每增加两项，可以提高1位数的精确度.
三、解析计算时期
欧洲的文艺复兴带来了一个崭新的数学世界,π数学 公式的出现使圆周率的计算进入了一个新的阶段, 最早的公式之一是数学家Willis所得的:
a62 n1 a62 n 2 a62n ( ) 1 1 2 2
2 2
2
4 a62 n
2
面积与边长有如下关系：
S 62n1 6 2
n1

a62n 4
3 2 a62n
n
圆面积S与多边形面积 S n 之间有如下关系：

古埃及和巴比仑的π 属于经验性获得阶段。
在古埃及所留下的两批草纸之一的莱登草纸上有一个 例子:“ 有一块9 凯特(即直径为9)的圆形土地,其面积多 大? 今取其直径的九分之一,即1 ,则余8 ,作8 乘以8 ,得 64 ,这个大小就是面积。”由此可见,他们认为圆的面 积等于一个边长为此圆直径的九分之八的正方形面积, 通过简单的推算,就可得出圆周长与其直径之比是 256/ 81 ,大约是3. 1605。在巴比仑,他们把圆的面积取 为圆周平方的十二分之一,由此似乎可以看出,他们认 为圆周是直径的三倍,即π取3。但在给出正六边形及 外接圆周长之比时,实际上又用了25/ 8 即3. 125 作为π 的值。以上的时间大约是公元前2000 年左右。
S2n S 2 S2n Sn
他算到192 边形时得到314. 1024 < 100π<314. 2704. 刘徽用157/ 50 = 3. 14 表示圆周率,被称为“徽率”。 刘徽所建立的一般公式S2n < S< S2n + (S2n - Sn) 可以把圆周率计算到任意的精度,它比阿基米德用 内接和外切双方逼近的方法更为简洁.


0, 2.8284271247461900976, 0.313165528843603140
2, 3.1214451522580522856, 0.020147501331740952
4, 3.1403311569547529123, 0.001261496635040326 8, 3.1415877252771597006, 4.9283126335378 10 10, 3.1415923455701177423, 3.080196754961 10 12, 3.1415926343385629891, 1.92512302494 10 14, 3.1415926523865913458, 1.2032018927 10 16, 3.1415926535145931202, 7.52001183 10 18, 3.1415926535850932311, 4.7000074 10 20, 3.1415926535894994880, 2.937505 10