2.4§2.4 正交多项式和最佳平方逼近

n−1
( x ), n = 1 , 2 , L
−2 x 2
( 2 . 4 . 10 )
给出。它们是在区间（ ， ） 给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 ρ ( x ) = e 多项式如下： 个Hermite多项式如下： 多项式如下
的正交多项式。 的正交多项式。前几
H H H H
2 3 4 5
(x ) = 4 x (x ) = 8 x
1 2 ( 3 x − 1 ), 2 1 3 ( x ) = ( 5 x − 3 x ), P3 2 1 4 2 ( x ) = ( 35 x − 30 x + 3 ), P4 8 1 5 3 P 5 ( x ) = 8 ( 63 x − 70 x + 15 x ).
P 2(x) =
− 上的单根,并且与原点对称 并且与原点对称. 它们的根都是在开区间 (− 1,1)上的单根 并且与原点对称
（2.4.4）
给出的多项式序列
{P k ( x )}
=
项式序列，其中 是正交多项式序列，
a
( x P k , P k) (P k , P k)
k
, bk =
(P k , P k) ( P k −1 , P k −1)
.
(2.4.5)
三项递推公式（ 三项递推公式（2.4.4）是构造正交多项式的简单公式，此外， ）是构造正交多项式的简单公式，此外， 还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。 还有其他的特殊的情形，这里，不进一步讨论。
2 2 4 4 i =0 i =0
从而有
1
a = ( xP , P ) /( P , P ) = 0.5, b = ( P , P ) /( P , P ) = 0.125 P ( x ) = ( x − a ) P ( x ) − b P ( x ) = ( x − 0.5) − 0.125
1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 1 0
(x) = 4 (x) = (x) =
x 8 x 16 x
x
2
+ 1,
3
− 20
x
+ 5 x.
它们的根都在开区间（ ， ）上的单根，并且与原点对称。 它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与原点对称。 （3）Legendre多项式。 ） 多项式。 多项式 Legendre多项式可由三项递推公式 多项式可由三项递推公式
第二章 插值与拟合
2.4.2 连续区间上正交多项式
连续区间上的正交多项式的概念与离散点集上的正交多项式 概念相似， 概念相似，只要将内积的定义作相应的改变 。函数 f (x ) 和g (x ) 在连 续意义下的内积定义为 续意义下的内积定义为
( f , g ) = ∫ ρ ( x ) f ( x ) g ( x )dx , f , g ∈ C [a , b]
(2.4.8) 的正交多项式. 的正交多项式
给出.它们是在区间 − 给出 它们是在区间 [− 1,1] 上的带权 前几个第一类Chebyshev多项式如下 多项式如下: 前几个第一类 多项式如下
ρ(x) =
1 1−
x
2
T T T T
2
(x) =
1 2
x
3 4
2
− 1, − 3 x, − 8
5
3 4 5
第二章 插值与拟合
P 0 ( x ) = 1, P 1 ( x ) = x , (n + 1) P n +1 ( x ) = ( 2n + 1) xP n ( x ) − n P n −1 ( x ), k = 1,2,L ,
(2.4.7)
给出.它们是在区间 的正交多项式.前几 给出 它们是在区间 [ − 1 ,1 ] 上的带权 ρ ( x) = 1 的正交多项式 前几 多项式如下: 个Legendre多项式如下 多项式如下
2.4.1 离散点集上的正交多项式
设有点集 {x i }
m i=0
离散意义下的内积定义为 ，函数 f ( x ) 和 g ( x ) 在离散意义下的内积定义为
( f , g ) =
∑ w
i = 0
m
i
f (
x
i
) g (
x
i
)
(2.4.1)
其中
w
i
> 0为给定的权数。在离散意义下，函数 f ( x ) 的2范数定义为 为给定的权数。在离散意义下， 范数定义为
L2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2, L 3 ( x ) = − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6 , L 4 ( x ) = x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24 L 4 ( x ) = − x 5 + 25 x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120
给定点集和权数并且点集中至少有个互异则由下列三项递推公式244给出的多项式序列是正交多项式序列其中245三项递推公式244是构造正交多项式的简单公式此外还有其他的特殊的情形这里不进一步讨论
第二章 插值与拟合
2.4 正交多项式和最佳平方逼近
正交多项式是数值计算中的重要工具， 正交多项式是数值计算中的重要工具，这里只介绍正交多项式 的基本概念、某些性质和构造方法。 的基本概念、某些性质和构造方法。离散情形的正交多项式用于下 节的数据拟合， 节的数据拟合，连续情形的正交多项式用于生成最佳平方逼近多项 式和下章的高斯型求积公式的构造。 式和下章的高斯型求积公式的构造。它们在数值分析的其他领域中 也有不少应用。 也有不少应用。
第二章 插值与拟合
L ( x ) = 1, L ( x ) = 1 − x , 1 0 ( 2.4.9) 2L Ln + 1 ( x ) = (1 + 2n − x ) Ln ( x ) − n n − 1 ( x ), n = 1,2,L ,
−x 给出。它们是在区间 ， 的正交多项式。 给出。它们是在区间[0，+∞)上带权 ρ ( x ) = e 的正交多项式。 上带权 前几个Legendre多项式如下 多项式如下: 前几个 多项式如下
2 2 i=0 i =0 4 4
P (x),P (x),P (x) 。
0 1
a
0
= ( xP 0 , P 0 ) /( P 0 , P 0 ) = 0.5, P 1 ( x ) = x − a 0 = x − 0.5
由此得
( P 1 , P 1) = ∑ w i P 1 ( x i ) = 0.625, ( xP 1 , P 1) = ∑ w i x i P 1 ( x i ) = 0.3125.
(ϕ 1 , ϕ 0 ) (ϕ 1 , ϕ 1 ) M (ϕ 1 , ϕ n )
L L L
(ϕ n , ϕ 0 ) (ϕ n , ϕ 1 ) . M (ϕ n , ϕ n )
下面我们先讨论在区间[a,b]上 一般的最佳平方逼近问题。 设 上 一般的最佳平方逼近问题。 下面我们先讨论在区间 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), L ϕ n ( x ), 是C[a,b]中的线性无关函数，记 中的线性无关函数， 中的线性无关函数
2 3
− 2, − 12 x ,
4 5
( x ) = 16 x ( x ) = 32 x
− 48 x − 160
2
+ 12 ,
3
x
+ 120
x.
它们的根都在区间（ ， ）上的单根， 它们的根都在区间（-∞，+∞）上的单根，并且与原点对称
第二章 插值与拟合
2.4.3连续函数的最佳平方逼近 连续函数的最佳平方逼近
0, i ≠ j (ϕ , ϕ ) = i j a i > 0, i = j
(2.4.3)
m
m
ϕ 则称多项式组 {
k ( x )}
n
k =0
为在离散点集 {x i} 上的带权 {w i} 的正
i=0
i=0
交多项式序列。 交多项式序列。 下面给出离散点上正交多项式的构造方法 .
ϕ 给定点集 { k( x)} 和权数 {w i }
定理2.6 定理
ϕ 0 ( x ), ϕ1 ( x ), Lϕ n ( x ), 在[a,b]上线性无关的充要条件是 上线性无关的充要条件是
它的Gramer行列式 n≠０，其中 行列式G ０ 它的 行列式
第二章 插值与拟合
(ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ 0 , ϕ 1 ) Gn = M (ϕ 0 , ϕ n )
n k =0
m i=0
，并且点集
个互异，则由下列三项递推公式 个互异，
{x i }
m
i=0
中至少有 n + 1
P 0 ( x ) = 1, P 1 ( x ) = x − a 0 , P k +1 ( x ) = ( x − a k ) P k ( x ) − bk P k −1 ( x ), k = 1,2, L n − 1
它们的根都是在区间（ ， ）上的单根。 它们的根都是在区间（0，+∞）上的单根。
第二章 插值与拟合
(4) Hermite 多项式 Hermite多项式可由三项递推公式 多项式可由三项递推公式
H 0 ( x ) = 1, H 1 ( x ) = 1, H n + 1 ( x ) = 2 xH n ( x ) − 2 nH
第二章 插值与拟合
例2.10 已知点集
{w i }
4
{x i}
2
4
i=0
= {0 ,0 .25 ,0 .5,0 .75 ,1}
和权数
i=0
= { ,1 ,1 ,1 ,1 } 试用三项递推公式求关于该点集的正 1
交多项式
解 先令 P 0 ( x ) = 1 ，由此得
( P 0 , P 0 ) = ∑ w i P 0 ( x i ) = 5, ( xP 0 , P 0 ) = ∑ w i x i P 0 ( x i ) = 2.5,
a 0ϕ 0 ( x ) + a1ϕ 1 ( x ) + L + a nϕ n ( x ) = 0 时成立， n 当且仅当 a0 = a1 = L = a n 时成立，则称 ϕ 0 , ϕ 1 , L ϕ n 在[a,b]
上是线性无关的 的线性无关性， 上是线性无关的。对于函数组 { ϕ k ( x )} k = 0 的线性无关性，有如 线性无关 下定理。 下定理。
(2)第一类 第一类Chebyshev多项式 多项式. 第一类 多项式 第一类Chebyshev多项式可由三项递推公式 多项式可由三项递推公式 第一类
第二章 插值与拟合
T 0 ( x ) = 1,T 1 ( x ) = x , T n +1 ( x ) = 2 xT n ( x ) − T n −1 ( x ), k = 1,2,L ,
连续函数空间C[a,b]上定义了内积（2.4.6）就形成了一个内积 上定义了内积（ 连续函数空间 上定义了内积 ）就形成了一个内积 空间。在Rn空间中任一向量都可用它的线形无关的基表示，类似 空间。 空间中任一向量都可用它的线形无关的基表示， 空间中任一向量都可用它的线形无关的基表示 对内积空间任一元素f(x)∈ 地，对内积空间任一元素 ∈ C[a,b]，也可用线形无关的基表示。 ，也可用线形无关的基表示。 上连续， 设 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), L ϕ n ( x ), 在[a,b]上连续，如果 上连续
f
2
=
( f , f )
(2.4.2)
n
有了内积，就可以定义正交性。 有了内积，就可以定义正交性。若函数 f ( x ) 和 g( x ) 的内 ϕ 则称两者正交。 积 ( f , g ) = 0 ，则称两者正交。若多项式组 { k ( x )} 在离散意义 下的内积满足
k =0
第二章 插值与拟合
a b
（2.4.6）
为给定的权函数。按连续意义下的内积， 其中的 ρ(x) ≥ 0为给定的权函数。按连续意义下的内积，若多项式 n 满足条件(2.4.3),则称它为在区间 [a , b ] 上的带权 ρ ( x ) 则称它为在区间 组 { k ( x)}k =0 满足条件 则称它为在 ϕ 的正交多项式序列. 的正交多项式序列 完全类似于离散情况下的正交多项式的构造方法,连续区间上的 完全类似于离散情况下的正交多项式的构造方法 连续区间上的 正交多项式序列同样可以由递推公式(2.4.4)和(2.4.5)构造 其中内积 构造,其中内积 正交多项式序列同样可以由递推公式 和 构造 式定义. 按(2.4.6)式定义 式定义 下面给出几种常用的正交多项式. 下面给出几种常用的正交多项式 (1)Legendre多项式 多项式. 多项式 Legendre多项式可由三项递推公式 多项式可由三项递推公式
Φ = span {ϕ 0 ,ϕ 1 , , L , ϕ n , } = {ϕ ( x ) : ϕ ( x ) =
∑a
k =0
n
k
ϕ k ( x ), a k ∈ R }