专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)(解析精编版)

专题05 构造法求数列通项的八种技巧(二)答案
◆构造四:同型构造法
【经典例题1】【解析】因为11
n n n
a a n +=+,所以1(1).n n n a na ++=令n n
b na =,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即22
1,33n n n na a a n
=⨯=
=
. 【经典例题2】【解析】因为12
n n n
a a n +=
+,所以11(2),(1)(2)(1).n n n n n a na n n a n n a +++=++=+令(1)n n b n n a =+,则1n n b b +=,即{}n b 是常数数列,所以1.n b b =因此(1)1n n n a +=⨯4
22,.(1)
n a n n ⨯=
+
【经典例题3】【解析】12(1(1))n n na n a n n +++=+,等式两侧同除(1)n n +,形成
1121n n a a n n +=++,令n n a
b n
=,则121n n b b +=+,这又回到了构造一的形式,所以12(1)1n n b b +=++,{}1n b +是以2为首项,2为公比的等差数列,即12212n n n b -⨯+==, 21n n b =-,所以
21n n
a n
=-,(21)n n a n =-. 【经典例题4】【解析】等式两侧同除(1)(2)n n n ++,得
1(1)(2)(1)(1)(2)
1
n n a a n n n n n n +=++++++,即
1(1)(2)(1)(1)(2)1n n a a n n n n n n +-=+++++,1(1)(2)(1)(11
1)(2)n n a a n n n n n n +=-++++-+,另(1)n n a b n n =+，所以
1(12)1)(1n n b b n n +--=++,接下来就是叠加法发挥作用的时候了212311b b -=-，323411
b b -=-，
434511
b b -=
-……111(1)n n b b n n --
-=+叠加得1112(1)n b b n --=+,11122
a b ==,所以1(1)11n b n n n =+=+-，即
(1)1
n a n n n n =++，2
n a n =.
【练习1】【答案】B 【解析】数列{}n a 满足11a =,113n n n n a a a a ++-=,则:
111
3n n
a a +-=(常数) 则：数列1n a ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是以1
11a =为首项,3为公差的等差数列。

所以：1
13(1)32n n n a =+-=-, 所以：132n a n =
- 则:1011
310228
a ==⨯- 故选：B 【练习2】【解析】已知等式可转化为()[]
11(1)0.n n n n a a n a na ++++-=因为0(n a n >)
*∈N ,所以
1(1)0n n n a na ++-=,所以1(1).n n n a na ++=令n n b na =,则1n b +n b =,即{}n b 是常数数列,所以1n b b =,即11n n na a =⨯=,因此1
n a n
=
. 【练习3】【解析】将等式两边同时除以2n
得,
11
322n n n n a a +-=+,所以12n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以12a =为首项,3为公差的等差数
列,即
1
23(1)312
n
n a n n -=+-=-,所以1(31)2n n a n -=-⋅. 【练习4】【解析】等式两侧同除(1)(1)n n n +-,得
1(1)(1)(11
)
n n a a n n n n n n +=-+--,即
1(1)(1)(11)n n a a n n n n n n +=-+---1(1)(1)(111)n n a a n n n n n n +-=---+,另(1)n n a b n n =-，所以111
1
n n b b n n +-=--,接
下来依旧是叠加法321121b b -=-，431132b b -=- (1111)
2
n n b b n n ----
=- 叠加得21111n b b n ---=
,22321a b ==⨯,1
21
n b n ∴=+-,即
12(1)1n a n n n =+--,22(1)2n a n n n n n =+-=-*(2,)n n N ∈,当1n =时,代入题干原式得11a =,经检验可以合并,22n a n n =∴-*()n N ∈.
【练习5】【解析】(1)当1n =时,因为111a a =-,所以112a =
.当2n =时,因为12212a a a +=-,所以216
a =. (2) 1n n S na =-,所以当2n 时,111(1).n n S n a --=--所以n a 1(1)n n n a na -=--,即11
.1
n n n a a n --=
+ 所以1(1)(1),(1)n n n n a n a n n a -+=-+1(1).n n na -=-令(1)n n b n n a =+,则1n n b b -=,即{}n b 是常数数列,所以
1.n b b =因此11
(1)12,2(1)
n n n n a a n n +=⨯⨯=+.
◆构造五:取倒数构造等差
【经典例题1】【解析】取倒数得:
1112n n a a +=+,即1
11
2(1)n n n a a --=>所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1,公差为2的等差数列
112(1)21n n n a =+-=-,所以121
n a n =-. 【经典例题2】【解析】(1)因为 1n n n a S S -=-,所以1120n n n n S S S S ---+=,两边同除以1n n S S -得:
1
11
n n S S --2=,故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以112a =为首项,2为公差的等差数列,即122(1)2n n n S =+-=,所以n S =
1
2n . (2)1111
22(1)2(1)
n n n a S S n n n n -=-=
-=---. 【经典例题3】【解析】因为121n
n n a a a +=
+,所以
1111111111,11122222n n n n n a a a a a ++⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭,所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是以11112a -= 为首项,12为公比的等比数列,所以
11211,22n
n n n n a a +⎛⎫
-== ⎪⎝⎭
. 【练习1】【答案】C 【解析】
1111,n n n a a S S ++=-=⋅ 111,10n n n n S S S S S ++∴-==-≠
10n n S S +∴≠ 1111n n S S +∴-= 11
111
1,1n n S S S +∴-=-=- 1n S ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是首项为1-,公差为-1的等差数列 11(1)n n n S ∴
=---=- 1n S n ∴=-554111
5420
a S S ∴=-=-+=
综上所述，答案选择:C 【练习2】【答案】42
5
a =
【解析】
1122111,,222n n n n n n n a a a a a a a +++=
∴==+∴+数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为111a =,公差为1
2的等差数列, 1111(1)22n n n a +∴
=+-=, 422
,15
n a a n ∴=∴=+. 【练习3】【答案】
【解析】由已知得1
11323n n n a a --=+⋅,则13n n a =1132333n n n n a --⋅+,即11112333n n n n a a --=+.所以数列 13n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以2
3
为公差的等差数列.所以11221(1)3333n n n n a -=+-⋅=,即n a 11(21)3n n -=-⋅.。