《2.4.2 圆的渐开线的参数方程》课件2-优质公开课-人教B版选修4-4精品
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
33 3 2
3π 6
,
������
=
sin
π 3
-
π 3
cos
π 3
=
3 2
-
π 6
,
所 当
以φ=点π2时A,的������������坐==标csoi为ns π2π212-+π2+π2cos63siπnπ2,
π23=- π6π
22
= 1,
; ,
所以点 B 的坐标为
π 2
,1
.
13-
§4 平摆线和渐开线
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
一二
二、渐开线
1 .渐 开 线、基圆 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在绳的 外端,把绳拉紧再逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持相切,此时,铅笔 尖所画出的曲线称为此圆的渐开线,此圆称为渐开线的基圆,如图所示.
(φ (1-cos������)
为 参 数,k∈N+).
11-
§4 平摆线和渐开线
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型二 求渐开线的参数方程
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
一二
【做一做
1】
已知一个圆的参数方程为
������ ������
= =
33csoins������������,(θ
2.平 摆 线(旋轮线)的参数方程 ������ = r(α-sin������),
半径为 r 的圆的平摆线的参数方程为 ������ = r(1-cos������)(-∞<α<+∞).
3.平 摆 线的性质 当圆滚动半周时,过定点 M 的半径转过的角度是 π,点 M 到达最高点 (πr,2r),再滚动半周,点 M 到达(2πr,0),这时圆周和 x 轴又相切于点 M,得到平 摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是 2r,最小值是 0,即平摆线的拱高为 2r. -3-
然 这 个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况. 2 .圆 的 渐开线的参数方程中的参数的几何意义
剖析:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母 r 是 指基圆的半径,而参数 φ 是指绳子外端运动时,半径 OB 相对于 Ox 转过的角 度,如图所示,其中的∠AOB即是角 φ.显然点 P由参数 φ唯一确定.在我们解
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 2-1】 半径为 4 的圆的渐开线的参数方程
为
.
解析:因为圆的半径 r=4,
所以圆的渐开线的参数方程为
������ = 4(cos������ + ������sin������), ������ = 4(sin������-������cos������) (φ 为参数).
������������==csoisnπ2π2+- π2π2csoisnπ2π2
=
π 2
, 所以
= 1,
A
π 2
,1
.
因为当
φ=π
时,
������ = cos π+ πsin π = -1,所以 ������ = sin π-πcos π = π,
B(-1,π).
故 |AB|=
π+1
2
2 + (1-π)2=
为参数),只需把点
(2,0)代入参数方程求出 r的表达式,根据表达式求出 r的最大值,再确定对应
的 平 摆线的参数方程即可. 解:令 y=0,可得 r(1-cos α)=0,由于 r>0,
即得 cos α=1,所以 α=2kπ(k∈Z). 代入 x=r(α-sin α),得 x=r(2kπ-sin 2kπ).
决 有 关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有 关 的 问题,使求解过程更加简单.
-8-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 3】已知一个圆的平摆线方程是 ������ = 2������-2sin������,(φ 为参数), ������ = 2-2cos������
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
一二
【做一做 2-2】 当 φ 为π2,π 时,圆的渐开线 ������������==cossin������������+-���������c���soisn������������,上对应的
点 A,B 间的距离为
.
解析:因为当 φ=π2时,
又因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
即得 则当
rk==���1���1π时(k∈,r 取N+最). 大值为1.
π
代 入 即可得圆的平摆线的参数方程为
������ ������
= =
1 π 1 π
(������-sin������),
(α (1-cos������)
为参数).
-9-
【例 2】 求半径为 10 的基圆的渐开线的参数方程.
分 析 :代入参数方程公式即可.
解:因为圆的半径 r=10,
所 以 圆的渐开线的参数方程为
������ ������
= =
10(cos������ + ������sin������), 10(sin������-������cos������) (φ
分析:利用参数方程求出 t 的三角函数值,从而求出点的坐标.
解:由题意知,y=1-cos t=1,所以 cos t=0,
∵0≤t<2π,
∴当t1t=1=π2π2,t时2=,3x2π=.π2-sin
π 2
=
π2-1,y=1-cos
π2=1.
∴当At2=π2 3-21π,时1
; ,x=32π-sin
3π 2
为参数).那么圆
的平摆线方程中与参数
A.π2-1
B.
α=π2对应的点 2
A
与点
B
3π 2
,2
之间的距离为(
).
C. 10
D.
3π 2
-1
解析:根据圆的参数方程可知,圆的半径为 3,那么它的平摆线的参数方程为������ ������
= =
3(������-sin������),(α 3(1-cos������)
§4 平摆线和渐开线
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
反思要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义.
10-
§4 平摆线和渐开线
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 在平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆
线的参数方程.
解:令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1.
-2-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
一二
一、平摆线
1.平 摆 线(旋轮线) 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点 的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线),如图所示.
式的参数方程中的参数分别是π
3
和
π2,求
A,B
两点的坐标.
解:由题意知 r=1,圆的渐开线的参数方程为
������ ������
= =
cos������+ ������sin������, sin������-������cos������ (φ
是参
数).
当 φ=π3时,
������ = cos π + π sin π = 1 +
答案:
������ = 4(cos������ + ������sin������), ������ = 4(sin������-������cos������) (φ
为参数)
-6-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得 x=r(2kπ-sin 2kπ)=1,
所以 r=21������π,又 r 是圆的半径,r>0, 所以应有 k>0 且 k∈Z,即 k∈N+,
所 以 所求摆线的参数方程是
������ ������
= =
1 2������π
1 2������π
(������-sin������),
《2.4.2 圆的渐开线的参数方程》课件2
-1-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1.了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. 2.了解平摆线和渐开线在实际中的作用.
=
32π+1,y=1-cos
32π=1.
∴B
3π 2
+
1,1
.
即平摆线与 y=1 有两交点为 A
π 2
-1,1
,B
3π 2
+
1,1
.
反思解 此类题,应明确相应参数的意义.
14-
§4 平摆线和渐开线
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
5 4
π2
-π
+
2
=
5π2-4π+8
2.
5π2-4π+8
答案:
2
-7-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1 .圆 的 平摆线的参数方程中的参数的几何意义 剖 析 :根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程,可以知道其中的 字母 r 是指圆的半径,参数 α 是过圆周上点 M 的半径与过圆与 x 轴切点的 半 径 的夹角.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当
题型一 题型二 题型三
题型一 求平摆线的参数方程
【例 1】 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大 时该平摆线的参数方程.
分 析 :根据圆的平摆线的参数方程
������ ������
= =
������������((���1���--csoins������������)),(α
2 .渐 开 线的参数方程 ������ = r(cos������+ ������sin������),
半径为 r 的圆的渐开线的参数方程是 ������ = r(sin������-������cos������) (其中 φ 为
参数).
-5-
§4 平摆线和渐开线 一二
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用
【例 3】 求平摆线 ������ = ������-sin������,(0≤t<2π)与直线 y=1 的交点的直角坐标. ������ = 1-cos������
为参
数).
反思求 渐开线的参数方程,只需知道半径即可.
12-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】已知圆的直径为 2,其渐开线上两点 A,B 对应的标准形
为参数),把
α=π2代入参数方程中可得
������
=3
π 2
-1
������ = 3,
,
即A 3
π 2
-1
,3 .
所以|AB|=
3
π 2
-1
-
3π 2
2
+
(3-2)2
=
10.
答案:C
-4-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
3π 6
,
������
=
sin
π 3
-
π 3
cos
π 3
=
3 2
-
π 6
,
所 当
以φ=点π2时A,的������������坐==标csoi为ns π2π212-+π2+π2cos63siπnπ2,
π23=- π6π
22
= 1,
; ,
所以点 B 的坐标为
π 2
,1
.
13-
§4 平摆线和渐开线
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
一二
二、渐开线
1 .渐 开 线、基圆 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在绳的 外端,把绳拉紧再逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持相切,此时,铅笔 尖所画出的曲线称为此圆的渐开线,此圆称为渐开线的基圆,如图所示.
(φ (1-cos������)
为 参 数,k∈N+).
11-
§4 平摆线和渐开线
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型二 求渐开线的参数方程
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
一二
【做一做
1】
已知一个圆的参数方程为
������ ������
= =
33csoins������������,(θ
2.平 摆 线(旋轮线)的参数方程 ������ = r(α-sin������),
半径为 r 的圆的平摆线的参数方程为 ������ = r(1-cos������)(-∞<α<+∞).
3.平 摆 线的性质 当圆滚动半周时,过定点 M 的半径转过的角度是 π,点 M 到达最高点 (πr,2r),再滚动半周,点 M 到达(2πr,0),这时圆周和 x 轴又相切于点 M,得到平 摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是 2r,最小值是 0,即平摆线的拱高为 2r. -3-
然 这 个几何意义还不是很明显,直接使用还要注意其取值的具体情况. 2 .圆 的 渐开线的参数方程中的参数的几何意义
剖析:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程,可知其中的字母 r 是 指基圆的半径,而参数 φ 是指绳子外端运动时,半径 OB 相对于 Ox 转过的角 度,如图所示,其中的∠AOB即是角 φ.显然点 P由参数 φ唯一确定.在我们解
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做 2-1】 半径为 4 的圆的渐开线的参数方程
为
.
解析:因为圆的半径 r=4,
所以圆的渐开线的参数方程为
������ = 4(cos������ + ������sin������), ������ = 4(sin������-������cos������) (φ 为参数).
������������==csoisnπ2π2+- π2π2csoisnπ2π2
=
π 2
, 所以
= 1,
A
π 2
,1
.
因为当
φ=π
时,
������ = cos π+ πsin π = -1,所以 ������ = sin π-πcos π = π,
B(-1,π).
故 |AB|=
π+1
2
2 + (1-π)2=
为参数),只需把点
(2,0)代入参数方程求出 r的表达式,根据表达式求出 r的最大值,再确定对应
的 平 摆线的参数方程即可. 解:令 y=0,可得 r(1-cos α)=0,由于 r>0,
即得 cos α=1,所以 α=2kπ(k∈Z). 代入 x=r(α-sin α),得 x=r(2kπ-sin 2kπ).
决 有 关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有 关 的 问题,使求解过程更加简单.
-8-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 3】已知一个圆的平摆线方程是 ������ = 2������-2sin������,(φ 为参数), ������ = 2-2cos������
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
一二
【做一做 2-2】 当 φ 为π2,π 时,圆的渐开线 ������������==cossin������������+-���������c���soisn������������,上对应的
点 A,B 间的距离为
.
解析:因为当 φ=π2时,
又因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
即得 则当
rk==���1���1π时(k∈,r 取N+最). 大值为1.
π
代 入 即可得圆的平摆线的参数方程为
������ ������
= =
1 π 1 π
(������-sin������),
(α (1-cos������)
为参数).
-9-
【例 2】 求半径为 10 的基圆的渐开线的参数方程.
分 析 :代入参数方程公式即可.
解:因为圆的半径 r=10,
所 以 圆的渐开线的参数方程为
������ ������
= =
10(cos������ + ������sin������), 10(sin������-������cos������) (φ
分析:利用参数方程求出 t 的三角函数值,从而求出点的坐标.
解:由题意知,y=1-cos t=1,所以 cos t=0,
∵0≤t<2π,
∴当t1t=1=π2π2,t时2=,3x2π=.π2-sin
π 2
=
π2-1,y=1-cos
π2=1.
∴当At2=π2 3-21π,时1
; ,x=32π-sin
3π 2
为参数).那么圆
的平摆线方程中与参数
A.π2-1
B.
α=π2对应的点 2
A
与点
B
3π 2
,2
之间的距离为(
).
C. 10
D.
3π 2
-1
解析:根据圆的参数方程可知,圆的半径为 3,那么它的平摆线的参数方程为������ ������
= =
3(������-sin������),(α 3(1-cos������)
§4 平摆线和渐开线
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
反思要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义.
10-
§4 平摆线和渐开线
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【变式训练 1】 在平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆
线的参数方程.
解:令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1.
-2-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
一二
一、平摆线
1.平 摆 线(旋轮线) 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点 的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线),如图所示.
式的参数方程中的参数分别是π
3
和
π2,求
A,B
两点的坐标.
解:由题意知 r=1,圆的渐开线的参数方程为
������ ������
= =
cos������+ ������sin������, sin������-������cos������ (φ
是参
数).
当 φ=π3时,
������ = cos π + π sin π = 1 +
答案:
������ = 4(cos������ + ������sin������), ������ = 4(sin������-������cos������) (φ
为参数)
-6-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得 x=r(2kπ-sin 2kπ)=1,
所以 r=21������π,又 r 是圆的半径,r>0, 所以应有 k>0 且 k∈Z,即 k∈N+,
所 以 所求摆线的参数方程是
������ ������
= =
1 2������π
1 2������π
(������-sin������),
《2.4.2 圆的渐开线的参数方程》课件2
-1-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1.了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. 2.了解平摆线和渐开线在实际中的作用.
=
32π+1,y=1-cos
32π=1.
∴B
3π 2
+
1,1
.
即平摆线与 y=1 有两交点为 A
π 2
-1,1
,B
3π 2
+
1,1
.
反思解 此类题,应明确相应参数的意义.
14-
§4 平摆线和渐开线
题型一 题型二 题型三
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
5 4
π2
-π
+
2
=
5π2-4π+8
2.
5π2-4π+8
答案:
2
-7-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
1 .圆 的 平摆线的参数方程中的参数的几何意义 剖 析 :根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程,可以知道其中的 字母 r 是指圆的半径,参数 α 是过圆周上点 M 的半径与过圆与 x 轴切点的 半 径 的夹角.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.当
题型一 题型二 题型三
题型一 求平摆线的参数方程
【例 1】 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大 时该平摆线的参数方程.
分 析 :根据圆的平摆线的参数方程
������ ������
= =
������������((���1���--csoins������������)),(α
2 .渐 开 线的参数方程 ������ = r(cos������+ ������sin������),
半径为 r 的圆的渐开线的参数方程是 ������ = r(sin������-������cos������) (其中 φ 为
参数).
-5-
§4 平摆线和渐开线 一二
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
题型三 平摆线、渐开线的参数方程的应用
【例 3】 求平摆线 ������ = ������-sin������,(0≤t<2π)与直线 y=1 的交点的直角坐标. ������ = 1-cos������
为参
数).
反思求 渐开线的参数方程,只需知道半径即可.
12-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
D S 典例透析 IANLITOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
【变式训练 2】已知圆的直径为 2,其渐开线上两点 A,B 对应的标准形
为参数),把
α=π2代入参数方程中可得
������
=3
π 2
-1
������ = 3,
,
即A 3
π 2
-1
,3 .
所以|AB|=
3
π 2
-1
-
3π 2
2
+
(3-2)2
=
10.
答案:C
-4-
§4 平摆线和渐开线
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO