第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题-(原卷版)

压轴解答题
第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题
【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．
类型一 中点问题
典例1已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率13e =，焦距为2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点()0,2Q 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若x 轴上的一点E 满足AE BE =，试求出点E 的横坐标的取值范围．
【来源】河南省温县第一高级中学2021-2022学年高三上学期1月月考文科数学试题
【举一反三】已知椭圆C ：()222210y x a b a b
+=>>的焦距与椭圆2
213x y +=的焦距相等，且C 经过抛
物线()2
12y x =- （1）求C 的方程；
（2）若直线y kx m =+与C 相交于A ，B 两点，且A ，B 关于直线l ：10x ty ++=对称，O 为C 的对称中心，且AOB 的面积为
10
3
，求k 的值． 类型二 垂直问题
典例2 已知椭圆1C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22
，1C 的长轴是圆2C ：22
2x y +=的直径.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆1C 的左焦点F 作两条相互垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交椭圆1C 于P ，Q 两点，2l 交圆2C 于M ，
N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值.
【来源】广东省肇庆市2021届高三二模数学试题
【举一反三】已知椭圆222:1(1)x C y a a
+=>，离心率6
3e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆
C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；
（Ⅱ）记1AEE ，11AE F ，1AFF 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试证明
13
2
2S S S 为定值． 类型三 面积问题
典例3如图，已知椭圆221:12
x y Γ+=和抛物线2
2:3x y Γ=，斜率为正的直线l 与y 轴及椭圆1Γ依次交于P 、
A 、
B 三点，且线段AB 的中点
C 在抛物线2Γ上．
(1)求点P 的纵坐标的取值范围；
(2)设D 是抛物线2Γ上一点，且位于椭圆1Γ的左上方，求点D 的横坐标的取值范围，使得PCD 的面积存在最大值．
【来源】浙江省2022届高三水球高考命题研究组方向性测试Ⅴ数学试题
【举一反三】已知椭圆C ：22
221(x y a b a b
+=>>0)的右焦点F 与右准线l ：x ＝4的距离为2．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线():0m y kx t t =+≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与直线m 及x 轴和y 轴分别相交于点D ，E ，G ，直线GF 与右准线l 相交于点H ．记AEGF ，ADGH 的面积分别为S 1，S 2，求1
2
S S 的值．
【来源】江苏省苏州中学等四校2021-2022学年高三下学期期初联合检测数学试题
类型四 范围与定值问题
典例4已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>2
()2,1P ．
(1)求C 的方程；
(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 【来源】重庆市2022届高三下学期开学考试数学试题
【举一反三】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为(2,0)F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆
相交所得的弦长为2． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆内一点P （0，t ），斜率为k 的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，设直线OM ，ON （O 为坐标原点）的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围． 【来源】江苏省扬州大学附中2021届高三下学期2月检测数学试题
典例5 已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点与短轴的两个端点组成的三角形是等腰直角三角形，
点(10,1)P 是椭圆C 上一点． (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t -+-=引两条切线，分别交椭圆C 于点P ，Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值． 【来源】云南省昭通市2022届高三期末数学（理）试题
【举一反三】已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>经过两点33,2M ⎭
，242N ⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程：
(2)A 、B 分别为椭圆C 的左、右顶点，点P 为圆224x y +=上的动点（P 不在坐标轴上），P A 与PB 分别与椭圆C 交E 、F 两点，直线EF 交x 轴于H 点，请问点P 的横坐标与点H 的横坐标之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【来源】江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（理）试题
【精选名校模拟】
1．已知椭圆22
22C :1(0)x y a b a b
+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点
A ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；
（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．
【来源】湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校2021届高三下学期联考数学试题
2．如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>上一点(0,2)A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B
点，且满足||2||AF FB =， 33
||2
AB =
．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值． 【来源】黑龙江省漠河市高级中学2020-2021学年高三上学期第三次摸底考试文科数学试题
3．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，离心率3
e = 4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（非长轴端点），MO 的延长线与椭圆交于P 点，求PMN 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.
【来源】天津市十二区县重点学校2021届高三下学期毕业班联考（一）数学试题
4．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的左､右焦点分别为1F ，2F 3
G 是椭圆上一点，
12GF F △的周长为643+.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且四边形OAGB 为平行四边形，求证：OAGB 的面
积为定值.
【来源】陕西省宝鸡市2021届高三下学期高考模拟检测（二）文科数学试题
5．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2
2
e =，过右焦点(),0F c 的直线y x c =-与椭圆交于
A ，
B 两点，A 在第一象限，且2AF =．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）在x 轴上是否存在点M ，满足对于过点F 的任一直线l 与椭圆C 的两个交点P ，Q ，都有MP MQ ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
【来源】河南省济源（平顶山许昌市）2021届高三第二次质量检测理科数学试题
6．已知椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，并且经过()03P ，点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设过点P 的直线与x 轴交于N 点，与椭圆的另一个交点为B ，点B 关于x 轴的对称点为B '，直线PB '交x 轴于点M ，求证：OM ON ⋅为定值． 【来源】北京平谷区2021届高三数学一模试题
7．已知经过原点O 的直线与离心率为2
2
的椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>交于A ，B 两点，1F 、2F 是
椭圆C 的左、右焦点，且12AF F △面积的最大值为1.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图所示，设点P 是椭圆C 上异于左右顶点的任意一点，过点Р的椭圆C 的切线与2x =-交于点M .记直线1PF 的斜率为1k ，直线2MF 的斜率为2k ，证明：12k k ⋅为定值，并求出该定值. 【来源】广西南宁市2021届高三一模数学（文）试题
8．设O 是坐标原点，以1F 、2F 为焦点的椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的长轴长为2，以12F F 为直
径的圆和C 恰好有两个交点. （1）求C 的方程；
（2）P 是C 外的一点，过P 的直线1l 、2l 均与C 相切，且1l 、2l 的斜率之积为112m m ⎛
⎫
-≤≤-
⎪⎝
⎭
，记u 为PO 的最小值，求u 的取值范围.
【来源】广东省深圳市2021届高三一模数学试题
9．已知点(1,0)A ，点B 是圆2
2
1:(1)16O x y ++=上的动点，线段AB 的垂直平分线与1BO 相交于点C ，点C 的轨迹为曲线E . （1）求E 的方程
（2）过点1O 作倾斜角互补的两条直线12,l l ，若直线1l 与曲线E 交于,M N 两点，直线2l 与圆1O 交于,P Q 两点，当,,,M N P Q 四点构成四边形，且四边形 MPNQ 的面积为831l 的方程. 【来源】广东省广州市2021届高三一模数学试题
10．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率是12，椭圆C 过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知12,F F 是椭圆C 的左、右焦点，过点2F 的直线l （不过坐标原点）与椭圆C 交于,A B 两点，求
11F A F B ⋅ 的取值范围.
【来源】东北三省三校（哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学 ）2020-2021学年高三下学期第一次联合模拟考试文科数学试题
11．已知椭圆2222:1x y C a b
+=7，离心率为1
2，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合
的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为：2x a =-，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标； ②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．
【来源】广东省广州市执信中学2022届高三下学期二月月考数学试题
12．已知()12,0A -，()22,0A 分别为椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>的左、右顶点，点31,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在椭圆上．过
点1,02D ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线交椭圆于两点P ，Q （P ，Q 与顶点1A ，2A 不重合），且直线1A P 与2A Q ，1A Q 与2A P 分别
交于点M ，N ． (1)求椭圆C 的方程
(2)设直线1A P 的斜率为1k ，直线1A Q 的斜率为2k ． ①证明：12k k ⋅为定值； ②求DMN 面积的最小值．
【来源】山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期期末数学试题
13．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的右焦点为F ，点A ，B 分别为右顶点和上顶点，点O 为坐标原点，
11e OF OA FA
+=，OAB 2，其中e 为E 的离心率． (1)求椭圆E 的方程；
(2)过点O 异于坐标轴的直线与E 交于M ，N 两点，射线AM ，AN 分别与圆22:4C x y +=交于P ，Q 两点，记直线MN 和直线PQ 的斜率分别为1k ，2k ，问
1
2
k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【来源】四川省绵阳市2021-2022学年高三上学期第二次诊断性考试理科数学试题
14．已知点M 是椭圆C ：()22
2210y x a b a b +=>>上一点，1F ，2F 分别为椭圆C 的上、下焦点，124F F =，当
1290F MF ∠=︒，12F MF △的面积为5.
(1)求椭圆C 的方程：
(2)设过点2F 的直线l 和椭圆C 交于两点A ，B ，是否存在直线l ，使得2OAF 与1OBF △（O 是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.
【来源】江西省赣州市2022届高三上学期期末数学（文）试题
15．已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>过点
3
P
⎛
⎝⎭
3
(1)求椭圆C的方程；
(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形AOB的面
积
1
tan
2
=-∠
S AOB若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【来源】江西省赣州市2022届高三上学期期末数学（理）试题。