【非常学案】2020学年高中数学 2.1.2 数列的递推公式课件 新人教B版必修5

4．设数列满足 a1＝1，an＝2＋an1－1(n>1)，试写出这个数列 的前 4 项．
【解】 a1＝1， a2＝2＋a11＝2＋1＝3， a3＝2＋a12＝2＋13＝73，
a4＝2＋a13＝2＋37＝177.
一辆邮车每天从 A 地往 B 地运送邮件，沿途(包括 A，B)共 有 8 站，从 A 地出发时，装上发往后面 7 站的邮件各一个，到达 后面各站卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往 下面各站的邮件各一个，试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件 个数所成的数列，画出该数列的图象，并指出该数列的最大项．
【解】 ∵a1＝3，an＋1＝2an＋1， ∴a2＝2×3＋1＝7，a3＝2×7＋1＝15， a4＝2×15＋1＝31，a5＝2×31＋1＝63， a6＝2×63＋1＝127.
由 a1＝3，a2＝7，a3＝15，a4＝31，a5＝63，a6＝127， 可以看出，如果给每一项均加上 1，就变成了 a1＋1＝22，a2＋1＝23，a3＋1＝24， a4＋1＝25，a5＋1＝26，a6＋1＝27， ∴可猜想出：an＋1＝2n＋1， ∴an＝2n＋1－1.
本例中若把通项公式变为“an＝n2－5n＋4”，试求该数列 的最小项．
【解】 法一 ∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，可知对称轴 方程为 n＝52＝2.5.
又 n∈N*，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值，其最小值为 a2＝ a3＝22－5×2＋4＝－2.
法二 设第 n 项最小， 由aann≤≤aann－＋11，， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解这个不等式组得 2≤n≤3， ∴n＝2,3， ∴a2＝a3 且最小，a2＝a3＝22－5×2＋4＝－2.
由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中 各部分的关系，依次代入计算即可； (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表 示前面的项的形式； (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表 示后面的项的形式．
已知数列{an}满足 a1＝3，an＋1＝2an＋1，写出数列的前 6 项 并归纳出{an}的通项公式．
忽略数列的项可能相等致误 已知 an＝9n·1n0＋n 1(n∈N*)，则数列{an}中有没有最 大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由．
【错解】 设 an 最大(n≥2)，
则aann>>aann＋－11，，
9n·1n0＋n 1>91n0－n1－·n1 ， 即9n·1n0＋n 1>9n＋11·0nn＋＋1 2，
【自主解答】 由 a1＝2，an＋1＝2an，得 a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， … 猜想 an＝2n(n∈N*)．
证明如下： 由 an＋1＝2an，得aan＋n 1＝2. 因此可得aa21＝2，aa32＝2，aa43＝2，…，aan－n 1＝2. 将上面的 n－1 个式子相乘可得 aa21·aa32·aa43·…·aan－n 1＝2n－1. 即aan1＝2n－1，所以 an＝a1·2n－1. 又 a1＝2，故 an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．
【解析】 结合数列前 n 项，观察数列的变化规律 a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，由此归纳得 an＝an－1＋ n(n≥2，n∈N*)． 【答案】 B
2．已知{an}中，a1＝1，aan＋n 1＝12，则数列{an}的通项公式是
()
A．an＝2n
B．an＝21n
C．an＝12n－1
【自主解答】 法一 ∵an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－94)2＋ 105
8. 又∵n∈N*，∴当 n＝2 时，an 取得最大值 13. 法二 设 an 为数列中的最大项， 则aann≥≥aann＋－11，， ∴－－22nn22＋＋99nn＋＋33≥≥－－22nn＋－1122＋＋99nn＋－11＋＋33，，
而不是an>an－1， an>an＋1.
【正解】 设 an 最大(n≥2)，则aann≥≥aann＋－11，， 即99nn··11nn00＋＋nn 11≥ ≥991nn0－ ＋n111－··0n1nn，＋＋1 2， 解得 8≤n≤9. 又∵n∈N*，∴n＝8 或 9. 故数列{an}的最大项为 a8＝a9＝19098.
1．数列的递推公式是除通项公式外的另一种表达数 列的方法，要注意它与通项公式的区别．
2．用递推公式求通项公式是常见的题型，本节所介 绍的累加与累乘法是常用方法．
3．求数列的最值是数列单调性的具体应用，要结合 函数求最值的方法加以理解，同时注意数列本身的性质．
1．数列 1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A．an＋1＝an＋n(n∈N＋) B．an＝an－1＋n(n≥2，n∈N＋)，a1＝1 C．an＋1＝an＋(n－1)(n∈N＋) D．an＝an－1＋(n－1)(n≥2，n∈N＋)，a1＝1
1．写出前五排座位数？ 【提示】 20,22,24,26,28. 2．第 n 排的座位数 an 与第 n＋1 排的座位数 an＋1 有何关系？ 【提示】 an＋1＝an＋2
如果已知数列{an}的 第1项 (或前几项)，且从第二项(或 某一项)开始的任一项 an 与它的 前一项an－1 (或前几项)间的 关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的 递推 公
【思路探究】 首先要读懂题意，弄清每站装上多少邮件， 卸下多少邮件，其次要将得到的数列用图象表示，再通过观察图 象得到数列的最大项．
【 自 主 解 答 】 将 A ， B 之 间 所 有 站 ( 包 括 A ， B) 按 1,2,3,4,5,6,7,8 的顺序编号，通过计算，上面各站剩余的邮件数排 成数列 7,12,15,16,15,12,7, 0.
●重点难点 重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项． 难点：理解递推公式与通项公式的关系．
课 1.了解递推公式的含义．(重点) 标 2.能根据递推公式写出数列的前n项，并能归纳 解 出一些简单数列的通项公式．(难点) 读 3.会求数列中的最大(小)项．(易错点)
递推公式
【问题导思】 某剧场有 30 排座位，第一排有 20 个座位，从第二排起，后 一排都比前一排多 2 个座位(如图)．
式．用递推公式给出数列的方法叫做递推法．
由递推公式求数列中的项
已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝a2n＋an2，写出它的 前 5 项，并归纳出数列的一个通项公式．
【思路探究】 (1)已知 a1，怎样求 a2？进而怎样求 a3，a4， a5?
(2)由通项写出的 5 项，怎样归纳{an}的通项公式？
第三次倒出 b 升后还剩纯酒精为 a1－ba2－a1－ba2·ba＝ a1－ba3 升，…，
所以第 n 次倒出 b 升后还剩纯酒精为 a1－ban 升． 答：容器里还有纯酒精 a1－ban 升．
判断数列的单调性 常采用作差比较判断数列中相邻两项的大小，来判断数列的 单调性，当各项均为正数时，也可以用作商法．
【自主解答】 ∵a1＝1，an＋1＝22＋anan， ∴a2＝22＋a1a1＝23，a3＝22＋a2a2＝12， a4＝22＋a3a3＝25，a5＝22＋a4a4＝13， ∴它的前 5 项依次是 1，23，12，25，13. 它的前 5 项又可写成1＋2 1，2＋2 1，3＋2 1，4＋2 1，5＋2 1， 故它的一个通项公式为 an＝n＋2 1.
D．an＝n12
【解析】 由已知可知，a1＝1，a2＝12，a3＝212，a4＝213，…， ∴可知 an＝2n1－1.
【答案】 C
3．数列{an}中，a1＝1，且 an＋1＝nan，则 a3＝________.
【解析】 ∵a1＝1，an＋1＝nan. ∴a2＝1·a1＝1，a3＝2·a2＝2. 【答案】 2
列表： 站号
1 2 3 4 5 6 78
剩余邮件数 7 12 15 16 15 12 7 0
该数列的图象如图所示．
由图象可知该数列的最大项是第 4 项．
从盛满 a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加满，再倒 出 b 升，再用水加满，这样连续倒了 n 次，则容器里还有纯酒精 多少升？
【解】 第一次倒出 b 升后剩的纯酒精为 a1－ba升， 第二次倒出 b 升后剩的纯酒精为 a1－ba－a1－ba·ba＝ a1－ba2 升，
易
错
教
易
学
误
教
辨
法
析
分
析
当
堂
双
课
基
前 自
2.1.2 数列的递推公式(选学)
达 标
主
导
课
学
后
知
能
课
检
堂
测
互
动
教
探
师
究
备
课
资
源
●三维目标 1．知识与技能 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会 根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前 n 项和与 an 的关系．
2．过程与方法 经历数列知识的形成及理解运用的过程． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的 兴趣．
由递推公式求通项公式
已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 5 项，猜想 an 并加以证明．
【思路探究】 (1)你能写出数列的前 5 项并猜想出 an 吗？ (2)若把条件 an＋1＝2an 变形为aan＋n 1＝2，你能依此递推下去，直到 产生aa21＝2 吗？(3)如果把产生的这些式子相乘会有什么结论产 生？
1．由递推公式求通项公式的三个步骤 第一步：先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前 3 项)； 第二步：根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项 统一形式； 第三步：写出一个通项公式并证明．
2
．
(1)
当
an an－1

定
条
件
时
，
常
用
an ＝
aan－n 1·aann－ －12·aann－－32·…·aa21·a1 累乘法求 an.
解得 8<n<9. 又因为 n∈N*，所以 n 不存在， 故数列{an}中没有最大项．
【错因分析】 若 an 最大，则 an 与 an－1 或 an＋1 可能同时最 大，上面解题错在认为数列中的项都不相等，因此列出的不等式 组未含“等号”．
【防范措施】 对于数列{an}，若第 n 项最大，则aann≥ ≥aann－ ＋11， ，
数列1361015?的递推公式是解析结合数列前n项观察数列的变化规律2nba2ncan1da解析由已知可知a地出发时装上发往后面7站的邮件各一个到达后面各站卸下前面各站发往该站的一个邮件同时装上该站发往下面各站的邮件各一个试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列画出该数列的图象并指出该数列的最大项
数列的最大(小)项的求法
已知数列{an}的通项公式为 an＝－2n2＋9n＋3，求 当 n 为何值时，an 有最大值？并求出最大值．
【思路探究】 (1)通项公式是什么函数的形式？能否利用 函数求出最大值？(2)若设 an 为{an}中的最大项，则 an 应满足什 么关系式？能否利用此关系式求得 n 值？
(2)当 an－an－1＝f(n)(n≥2)满足一定条件时，常用 an＝(an－
an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 累加来求通项 an.
已知数列{an}中，a1＝1，an1＋1－a1n＝12，求数列{an}的通项公 式．
【解】 a1n＝a1n－an1－1＋an1－1－an1－2＋…＋a12－a11＋a11 ＝12＋12＋…＋12＋1＝n＋2 1， 故 an＝n＋2 1.
解之得：74≤n≤141， ∴n＝2，a2＝13， ∴当 n＝2 时，an 取得最大值 13.
判断数列最大项和最小项的方法一般有两种：一是利用函数 的单调性和最值，即参照数列对应的函数的性质的研究方法，由 函数的单调性过渡到数列的增减性，然后判断最值；二是利用通 项求解，即通过判断不等式组aann≥≥aann＋－11，， 或aann≤≤aann＋－11， 有无正 整数解来判断．