2018-2019学年山东省济南市市中区八年级(下)期末数学试卷

2018-2019学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（4分）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）
A．a+3＜b+3B．a﹣4＜b﹣4C．2a＞2b D．＜
2．（4分）下列汽车标识中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．（4分）已知正多边形的一个外角是30度，这个正多边形的边数是（）
A．9B．10C．11D．12
4．（4分）下列各式从左到右的变形中，是分解因式的是（）
A．m（a+b+c）＝ma+mb+mc B．x2+5x＝x（x+5）
C．x2+5x+5＝x（x+5）+5D．a2+1＝a（a+）
5．（4分）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（）
A．75°B．60°C．45°D．15°
6．（4分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）
A．x≠2B．x≠1C．x＝2D．x＝1
7．（4分）如图，在▱ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
8．（4分）下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）
A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．a2+a+D．﹣a2+b2﹣2ab
9．（4分）如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
10．（4分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）
A．cm B．cm C．64 cm D．54cm
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，过点D作直线m∥AC，点E、F是直线m上两个动点，在运动过程中EF∥AC且EF＝AC，四边形ACFE的面积是（）
A．48B．40C．24D．30
12．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠DAB＝60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE＝2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距高是2；③AF＝CF；④△ABF的面积为．其中一定成立的有（）个
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）
13．（4分）如果a﹣b＝2，ab＝3，那么a2b﹣ab2＝．
14．（4分）使得分式值为零的x的值是．
15．（4分）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3，上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是．
16．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（2x+6，5x）在第四象限，则x的取值范围是．
17．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE 的周长是cm．
18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF 的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH⊥OF于点H，连接AH．在转动的过程中，AH 的最小值为．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）
19．（8分）（1）因式分解：4m2﹣9n2
（2）先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝2．
20．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．
22．（6分）如图，△ABC中，A（﹣1，1），B（﹣4，2），C（﹣3，4）．
（1）在网格中画出△ABC向右平移5个单位后的图形△A1B1C1；
（2）在网格中画出△ABC关于原点O成中心对称后的图形△A2B2C2；
（3）请直接写出点B2、C2的坐标．
23．（8分）俄罗斯足球世界杯点燃了同学们对足球运动的热情，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球供学生使用．已知用1000元购买甲种足球的数量和用1600元购买乙种足球的数量相同，甲种足球的单价比乙种足球的单价少30元．
（1）求甲、乙两种品牌的足球的单价各是多少元？
（2）学校准备一次性购买甲、乙两种品牌的足球共25个，但总费用不超过1610元，那么这所学校最多购买多少个乙种品牌的足球？
24．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．
25．（10分）如图所示，矩形OABC的邻边OA、OC分别与x、y轴重合，矩形OABC的对称中心P（4，3），点Q 由O向A以每秒1个单位速度运动，点M由C向B以每秒2个单位速度运动，点N由B向C以每秒2个单位速度运动，设运动时间为t秒，三点同时出发，当一点到达终点时同时停止．
（1）根据题意，可得点B坐标为，AC＝；
（2）求点Q运动几秒时，△PCQ周长最小？
（3）在点M、N、Q的运动过程中，能否使以点O、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若能，请求出t 值；若不能，请说明理由．
26．（12分）阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，
①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为
2a2+5ab+2b2，
②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．
即2a2+5ab+2b2＝．
27．（12分）正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EF、FG．（1）如图1，直接写出EF与FG关系为．
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到
线段FH，连接EH．
①证明：△HFE≌△PFG；
②直接写出EF、EH、BP三者之间的数量关系；
（3）如图3，若点P为CB延长线上一动点，连接FP，按照（2）中的做法在图3中补全图形，并直接写出EF、EH、BP三者之间的数量关系．
2018-2019学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题意）
1．【解答】解：A、不等式的两边都加3，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都减4，不等号的方向不变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故C正确；
D、不等式的两边都除以3，不等号的方向不变，故D错误；
故选：C．
2．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3．【解答】解：因为360÷30＝12，
则正多边形的边数为12．
故选：D．
4．【解答】解：A、m（a+b+c）＝ma+mb+mc，不符合题意；
B、x2+5x＝x（x+5），符合题意；
C、x2+5x+5＝x（x+5）+5，不符合题意；
D、a2+1＝a（a+），不符合题意，
故选：B．
5．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，
∴∠BAC等于旋转角，
即旋转角等于60°．
故选：B．
6．【解答】解：由题意得，x﹣2≠0，
解得x≠2．
故选：A．
7．【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝3cm，
∵BC＝AD＝5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，
故选：B．
8．【解答】解：能用完全平方公式分解的是1﹣2x+x2＝（x﹣1）2，故选：B．
9．【解答】解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，
即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．
故选：A．
10．【解答】解：如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27（cm），
同理可得，BF＝27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm），
故选：C．
11．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝8×6＝48；
∵EF∥AC且EF＝AC，
∴四边形ACFE是平行四边形，
∴四边形ACFE的面积＝2△ACD的面积＝矩形ABCD的面积＝48；
故选：A．
12．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝6，
∵∠DAB＝60°，
∴AB＝AD＝DB，∠ABD＝∠DBC＝60°，
在△ABF与△CBF中，，
∴△ABF≌△CBF（SAS），①正确；
过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥CD，MH⊥AB，如图：
∵CE＝2，BC＝6，∠ABC＝120°，
∴BE＝6﹣2＝4，
∵EG⊥AB，
∴EG＝2，
∴点E到AB的距离是2，②正确；
∵菱形是轴对称图形，直线BD是对称轴，F在BD上，
∴AF＝CF，③正确；
∵BE＝4，EC＝2，
∴S△BFE：S△FEC＝4：2＝2：1，
∴S△ABF：S△FBE＝3：2，
∴△ABF的面积为＝S△ABE＝××6×2＝，④错误；
一定成立的结论有3个，
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每题4分，共24分.把答案填在题中的横线上）13．【解答】解：∵a﹣b＝2，ab＝3，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
＝2×3
＝6．
故答案为：6．
14．【解答】解：，
解得：x＝2，
故答案为：2
15．【解答】解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，
又∵∠DAB+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BE＝AD＝3，CE＝2+3＝5，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC＝，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC＝＝2，
故答案为：2
16．【解答】解：∵点P（2x+6，5x）在第四象限，
∴，
解得﹣3＜x＜0，
故答案为﹣3＜x＜0
17．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD中点，△ABD≌△CDB，
又∵E是CD中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE＝BC，
即△DOE的周长＝△BCD的周长，
∴△DOE的周长＝△DAB的周长．
∴△DOE的周长＝×16＝8cm．
故答案为：8．
18．【解答】解：如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，∵AB＝4，BC＝4＝AD，
∴BD＝＝8，
∴BD＝2AB，DO＝4，HG＝2，
∴∠ADB＝30°，
∴PG＝DG＝1，
∴PD＝，AP＝3，
∵DH⊥OF，
∴∠DHO＝90°，
∴点H在以OD为直径的⊙G上，
∵AH+HG≥AG，
∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，
此时，Rt△APG中，AG＝＝2，
∴AH＝AG﹣HG＝2﹣2，
即AH的最小值为2﹣2．
故答案为：2﹣2．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.）19．【解答】解：（1）原式＝（2m+3n）（2m﹣3n）；
（2）原式＝•＝，
当x＝2时，原式＝2．
20．【解答】解：解①得：x≤4，
解②得：x＞2，
故不等式组的解为：2＜x≤4，
21．【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2
22．【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
（3）点B2、C2的坐标分别为（4，﹣2）和（3，﹣4）．
23．【解答】解：（1）设甲种品牌的足球的单价为x元/个，则乙种品牌的足球的单价为（x+30）元/个，根据题意得：＝，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列分式方程的解，且符合题意，
∴x+30＝80．
答：甲种品牌的足球的单价为50元/个，乙种品牌的足球的单价为80元/个．
（2）设这所学校购买m个乙种品牌的足球，则购买（25﹣m）个甲种品牌的足球，根据题意得：80m+50（25﹣m）≤1610，
解得：m≤12．
答：这所学校最多购买12个乙种品牌的足球．
24．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．∵E是AB的中点，
∴AE＝BE．
在△ADE与△BCE中，
，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE＝EC．
在直角△ADE中，AD＝4，AE＝AB＝3，
由勾股定理知，DE＝＝＝5，
∴△CDE的周长＝2DE+CD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．
25．【解答】解：（1）∵矩形OABC的对称中心为P（4，3），
∴OA＝BC＝8，AB＝OC＝6，∠AOC＝90°，
∴B（8，6），AC＝＝10，
故答案为：（8，6），10；
（2）作P关于x轴的对称点P'，连接P'C交x轴于Q，P′N⊥y轴于N
如图2所示：则P'（4，﹣3），
此时PQ+CQ的值最小＝P'C，△PCQ的周长最小，
P′N＝4，CN＝9，
∵P′N∥OQ，
∴△P′CN∽△QCO，
∴＝，即＝，
∴OQ＝，
∴点Q运动秒时，△PCQ周长最小；
（3）由题意得：OQ＝t，CM＝BN＝2t，则BM＝CN＝8﹣2t，
∵OQ∥MN，
∴当OQ＝MN时，以点O、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴t＝8﹣2t﹣2t，或t＝2t﹣（8﹣2t），
解得：t＝，或t＝；
即在点M、N、Q的运动过程中，能使以点O、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，t值为秒或秒．
26．【解答】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，
＝112﹣2×38，
＝45；
（3）①如图所示，
②如上图所示的矩形面积＝（2a+b）（a+2b），
它是由2个边长为a的正方形、5个边长分别为a、b的长方形、2个边长为b的小正方形组成，所以面积为2a2+5ab+2b2，
则2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b），
故答案为：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
27．【解答】解：（1）如图1所示：
∵点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，
∴AE＝AF＝BF＝BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AFE＝∠AEF＝∠BFG＝∠BGF＝45°，
∴∠EFG＝180°﹣∠AFE﹣∠BFG＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴EF⊥FG，
在△AEF和△BFG中，，
∴△AEF≌△BFG（SAS），
∴EF＝FG，
故答案为：EF⊥FG，EF＝FG；
（2）如图2所示：
①证明：由（1）得：∠EFG＝90°，EF＝FG，
∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，∴∠PFH＝90°，FP＝FH，
∵∠GFP+∠PFE＝90°，∠PFE+∠EFH＝90°，
∴∠GFP＝∠EFH，
在△HFE和△PFG中，，
∴△HFE≌△PFG（SAS）；
②解：由①得：△HFE≌△PFG，∴EH＝PG，
∵AE＝AF＝BF＝BG，∠A＝∠B＝90°，
∴EF＝AF＝BG，
∴BG＝EF，
∵BG+GP＝BP，
∴EF+EH＝BP；
（3）解：补全图形如图3所示，EF+BP＝EH．理由如下：
由（1）得：∠EFG＝90°，EF＝FG，
∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，∴∠PFH＝90°，FP＝FH，
∵∠EFG+∠GFH＝∠EFH，∠PFH+∠GFH＝GFP，
∴∠GFP＝∠EFH，
在△HFE和△PFG中，，
∴△HFE≌△PFG（SAS），
∴EH＝PG，
∵AE＝AF＝BF＝BG，∠A＝∠ABC＝90°，∴EF＝AF＝BG，
∴BG＝EF，
∵BG+BP＝PG，
∴EF+BP＝EH．。