初中数学增长率问题探索

增长率问题探索
增长率问题是近几年中考的热点题型，只有掌握增长率问题的本质内涵，才能在中考时以不变应万变。

增长率实质是；增加量占起始量的百分比，增加量是终极量减去
起始量。

设起始量为q ,终极量为p ,增长率为x 则增长一次为p=q(1＋ｘ) l连续增长二次为ｐ=q（1＋x)2
．若x＞０,表示增长；若x<0，表示降低．
一、平均增长率
例1 ：某果园今年栽种果树2０0棵,现计划扩大栽种面积,使今后两年的栽种量都比前一年增长一个相同的百分数，这样三年(包括今年）的总栽种量为1400棵，求这个百分数
分析:设增长率为x则明年栽种量为200（1+ｘ)，后年栽种量为２０0(１+x)2 则三年总栽种量为200+200（１+ｘ）+200（1＋x）2
解：设增长率为x则根据题意得
200＋２0０（1+ｘ）+２00(1+x)２=1400
设１+ｘ＝y则20０+20０ｙ+20０ｙ2＝１400
解之得ｙ
１=2 y
２
＝-3
即１+x=2或1＋x＝－3
X1=１ｘ2＝-4
所以这个百分数为１0０％
例２：某商厦二月份的销售额为1００万元,三月份销售额下降了２0％。

商厦从四月份起改进经营措施,销售额稳步上升，五月份销售额达到135.2万元,
试求四、五两个月的平均增长率.
分析:先算出三月份的销售额为100(1-20%)万元．设四、五两个月的平均增长率为ｘ，则四月份销售额为１00(1－20%)（1+x）万元，五月份的销售额
为100（１－20%)（1+x)（1+x)＝100(1－20%)（1+x)2万元，于是可列
出方程10０(1－20%)（１+x）２=135.2.
解:设四、五两个月的平均增长率为x，由题意得方程
10０（1-20%）(１＋x)２=135.2
（1+x)2=１.69
即１＋x＝±1.3
故x1=0.3,x2=-２．3
因为ｘ2=-2.3不符实际,舍去，所以ｘ=0.3=30%,
即四、五两个月的平均增长率为%
30.
专项练习：
1、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入,２007年投入3000万元，
预计200９年投入５００0万元.设教育经费的年平均增长率为x，根据题意,下面所列方程正确的是（)
A．3０0０(１+x）２=50００ﻩﻩB.3000x2=５00０
Ｃ.30０0（１＋x%)２=５000 D.3０00(１+ｘ)＋３00０(1＋x)２=５000
２、某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大,五月份的产量提高到121０辆,则该厂四、五月份的月平均增长率为___＿__＿_.
3、某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的５5元降到了３5元.设平均每
次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是( ）
A.55 (1+ｘ)2=3５Ｂ.３５(１+x）2=55 Ｃ．55 (1-x)2=35
D．35（1-x)2=55
4、某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81％,
则平均每次降价( ）
A.1０%ﻩﻩＢ.１9％ﻩC.９.5%ﻩD．20%
二、变化的增长率
例3 : K国某种商品今年2月份的进口量比上年末减少了２0％，由于该种商品价格上涨，进口该种商品的费用反而比上年末增加了3０%，2月份的涨幅比１月份的涨幅多5％,求1月份该种商品价格相对上年末的增长率。

分析: 设上年末该种商品的进口量为a,该种商品价格为b,今年１月份的价格增长率为x,则今年２月份该种商品的进口量为（1－20%)a，1月份的价格为b(1+ｘ) 2月份价格为ｂ(1+x)(1+x+5%),今年2月份的费用为（1－20％）a×b（１+ｘ)(1+ｘ+5％)
解：今年1月份的价格增长率为ｘ则根据题意得
（1-２0％)ａ×b(１+x）(1+x+5％)＝aｂ(1+30％)
化简整理得8(１＋ｘ)２+０.4(1+x)-13=０
令1+ｘ=y则 8ｙ2+0.4ｙ-１3=0
解之得ｙ
1=1.25 y
2
＝－1.３
即 1+ｘ=1.25 或 1＋x=-2.3
∴ x
1=０.2５=25％ｘ
2
=-2.3(舍去)
所以1月份该种商品价格相对上年末的增长率为25%
点评:本题是一个变化的增长率问题．如果设增长前的值为a, 第一次增长率为x，第二次增长率比第一次增长率多ｍ, 那么第二次增长率为(x+m）,增长后的结果为ｂ,由题意列出方程的方法可以概括为公式a (1+x) (１+x＋ｍ)＝ｂ.当m =０时,变化的增长率问题就成为平均增长率问题
专项练习：1( 陕西省中考题）有一商场在第一季度内将某种家电商品连续降价,其中3月份的降幅比２月份的降幅要多2个百分点（一个百分点=1%），结果3月份的销售台数比1月份增加4倍，销售收入增加296％. 问2月份在1月份的基础上降价百分之几?
三、相关的增长率
例3、如图所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划用３2米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪A ＢＣD .求 1． 矩形草坪BC 边的长．
解之得:ｘ1=１0 x 2=６
当x=１０时AB 为10米，BC 为12米
当x ＝6时 A Ｂ为６米,B Ｃ为2０米＞１6米，不合题意根据题意得
所以矩形草坪BC 边的长为１2米.
2.设AB 边的增长率为y 则BC 边的增长率为2.5ｙ，
根据题意得 １０（1+y ）×１2（1+２．5y)=２16
解之得 y 1=0.2=20％ y 2=-1.6(舍去)
所以A Ｂ边的增长率为20％
专项练习:
1（南京市中考题）某农场种植了１０亩地的南瓜,亩产量为20０0kg ，根据市场需要,今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜,已知南瓜的种植面积的增长率是亩产量的增长率的２倍,今年南瓜的总产量为60000,求南瓜亩产量的增长率.。