2012年高考试题+模拟新题分类汇编(数学理)N 选修4系列

N2 选修4-2 矩阵
21 B ．N2 [2012·江苏卷]已知矩阵A 的逆矩阵A
－1
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－14 3
412 －12，求矩阵A 的特征值．
21 B ．解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.
因为A －1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
143412－1
2
，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥
⎤2 32 1，
于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.
21A ．N2 [2012·福建卷] 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎫
a b 01(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.
(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．
21A ．解： (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．
由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a b 01⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .
又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1， 整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
因为a ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝1.
(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫11 01，A 2＝⎝⎛⎭⎫11 01⎝⎛⎭⎫11 01＝⎝⎛⎭
⎫12 01， 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭
⎫1－2 0
1.
3．C3、N2[2012·上海卷] 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2 cos x sin x －1的值域是________．
3.⎣⎡⎦⎤－52
，－3
2 [解析] 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．
f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－1
2
sin2x 的值域为
⎣⎡⎦⎤－52
，－32.
N3 选修4-4 坐标系与参数方程
12．N3[2012·天津卷] 已知抛物线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2pt 2，
y ＝2pt (t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，
准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.
12．2 [解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．
将参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2pt 2，y ＝2pt 化为普通方程为y 2＝2px (p >0)，并且F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，E ⎝⎛⎭
⎫－p
2，±6p ， 又∵|EF |＝|MF |＝|ME |，即有3＋p
2＝
⎣⎡⎦
⎤p 2－⎝⎛⎭⎫－p 22＋(±6p －0)2，解之得 p ＝±2(负值舍去)，即p ＝2. 10． N3[2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π
6
，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.
图1－1
10.1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ [解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．
由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π
6
，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标方程为：
ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2cos θ－3sin θ＝1
sin ⎝⎛⎭
⎫
π6－θ，所以
f (θ)＝1
sin ⎝⎛⎭
⎫π6－θ.
15 C. N3 [2012·陕西卷]直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．
15C. 3 [解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y ＝±3
2，所以弦
长为 3.
23．N3[2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy .圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.
(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．
23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3
.
故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)(解法一)
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．
故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝t
－3≤t ≤ 3.
(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝y
－3≤y ≤3)
(解法二)
在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3)．将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
得ρcos θ
＝1，
从而ρ＝1
cos θ
.
于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝tan θ，
－π3≤θ≤π
3
. 23．N3[2012·课标全国卷]已知曲线C 1的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在
C 2上，且A ，B ，C ，
D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；
(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．
23．解：(1)由已知可得
A 2cos π3，2sin π3，
B 2cos π3＋π2,2sin π3＋π2，
C 2cos π3＋π,2sin π
3＋π，
D 2cos π3＋3π2,2sin π3＋3π2
，
即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则
S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16 ＝32＋20sin 2φ.
因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．
21 C ．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－
3
2
与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 21C ．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－3
2中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝
(2)2＋12－2×1×2cos π
4
＝1，
于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，
y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝a sin θ，y ＝3cos θ
(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.
9.3
2
[解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点，化难为易．
曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝1－2t
(t 为参数)的普通方程是2x ＋y －3＝0，曲线C 2的普通方程是x 2a 2＋y 2
9
＝1，
两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点⎝⎛⎭⎫32，0，代入曲线C 2，得⎝⎛⎭⎫322
a 2＋029
＝1，解得a ＝3
2.
16．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已
知射线θ＝π
4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2
(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为
________．
16.⎝⎛⎭⎫52，52 [解析] 曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝()t －12 化为直角坐标方程是y ＝()x －22，射线θ＝π4化为直角坐
标方程是y ＝x ()x ≥0.联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝()x －22，
y ＝x ()x ≥0，
消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.所以y 1＝1，
y 2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝⎛⎭⎫52，52. 21B. N3 [2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛
⎭
⎫
233，π2，圆C 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝－3＋2sin θ
(θ为参数)． (1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．
21B. 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫
0，233，
又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝
⎛⎭⎫1，3
3，故直线OP 的平面直角坐标方
程为y ＝3
3
x .
(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝
⎛⎭⎫
0，233，
所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，
圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9
＝3
2
＜r ，故直线l 与圆C 相交．
13．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π
6
(ρ∈R )的距离是________．
13.3 [解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．
应用极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ
将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋
()y －22
＝4，直线θ＝π6化为直角坐标方程为y ＝3
3
x .因为x 2
＋()y －22
＝4的圆心为()0，2，所以圆心()0，2到直线y ＝3
3
x ，即3x －3y ＝0的距离为d ＝||2×()－3()33＋32
＝ 3.
9．N3[2012·北京卷] 直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．
9．2 [解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．
方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，
法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝1
2
<3，所以直线与圆相交，答案为2.
法二：联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝9，
x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为
2.
14．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参
数方程分别为⎩⎨⎧ x ＝t ，
y ＝t (t 为参数)和⎩
⎨⎧
x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为
________．
14．(1,1) [解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2
＋y 2
＝2，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝1，
所以交点坐标为(1,1)．
图1－3
15．N3[2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．
N4(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．
15．(1)ρ＝2cos θ [解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，因此x 2＋y 2－2x ＝0的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
－32
≤x ≤32 [解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x >1
2
时，原不等式可化为
2x －1＋2x ＋1≤6，解得x ≤32，此时12<x ≤32；当x <－1
2
时，原不等式可化为－2x ＋1－2x －1≤6，解
得x ≥－32，此时－32≤x <－12；当－12≤x ≤1
2
时，原不等式可化为1－2x ＋2x ＋1≤6，解得x ∈R ，此
时－12≤x ≤1
2
.综上，原不等式的解集为⎣⎡⎦⎤－32，32.
24．N3[2012浙江卷]
在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨
⎧ x ＝2＋t cos α，
y ＝3＋t sin α
(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同两点A ，B .
(1)若α＝π
3
，求线段AB 中点M 的坐标；
(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．
解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程x 24
＋y 2
＝1.
(1)当α＝π
3
时，设点M 对应参数为t 0.
直线l 方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋1
2
t ，
y ＝
3＋32t
(t 为参数)． 代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2
＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则
t 0＝t 1＋t 22＝－2813，
所以，点M 的坐标为⎝⎛
⎭⎫
1213
，－313. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α
代入曲线C 的普通方程x 24
＋y 2
＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t
＋12＝0，
因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α
＝7. 得tan 2α＝516
.
由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54
. 所以直线l 的斜率为
54
.
N4 选修4-5 不等式选讲
23．N4 [2012浙江卷]已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A .
(1)若a ＝1，求A ；
(2)若A ＝R ，求a 的取值范围．
23.解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，综合得x ≤－3.
当－3<x ≤1
2时，原不等式化为－x ＋4≥2x ＋4，综合得－3<x ≤0.
当x >1
2时，原不等式为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2.
综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．
(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．
当x >－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －1
3，
所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －1
3
，得a ≤－2，
综上，a 的取值范围为a ≤－2. 15 A ．N4 [2012·陕西卷]若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．
15A. －2≤a ≤4 [解析] 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x －a |＋|x －1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a ≤4.
24．N4[2012·辽宁卷]已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．
(1)求a 的值；
(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围． 24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以 当a ≤0时，不合题意． 当a ＞0时，－4a ≤x ≤2
a
，得a ＝2.
(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫
x 2，
则h (x )＝⎩⎨⎧
1， x ≤－1，
－4x －3， －1＜x ＜－1
2
，－1， x ≥－1
2
，
所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.
24．N4[2012·课标全国卷]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；
(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，
2x －5，x ≥3.
当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；
当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．
21 D ．N4 [2012·江苏卷]已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜5
18.
21D ．证明：因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，
由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝5
6
，
所以|y |<5
18
.
10．N4[2012·湖南卷] 不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________． 10.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
x >14 [解析] 考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x ＋1|>2|x －1|，再两边平方，轻松求解．
不等式转化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得
(2x ＋1)2>4(x －1)2，化简得4x >1，解得x >1
4，故解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x >14.6．N4[2012·湖北卷] 设a ，b ，
c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c
x ＋y ＋z
＝( )
A.14
B.13
C.12
D.34
6．C [解析] 由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝10×40≥(ax ＋by ＋cz )2＝202，显然上式
应取等号，此时a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，则a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)＝40k 2＝10，得k ＝1
2(舍去负值)，
所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝a x
＝k ＝12.故选C.
9．N4[2012·广东卷] 不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________． 9.⎩⎨⎧
x ⎪
⎪⎭⎬⎫x ≤－12 [解析] 当x ≤－2，不等式化为：－x －2＋x ≤1，即－2≤1恒成立，所以此时解集为：{x |x ≤－2}；
当－2<x ≤0时，不等式化为：x ＋2＋x ≤1，解得x ≤－12，所以不等式的解集是：⎩⎨⎧
x ⎪⎪
⎭⎬⎫－2<x ≤－12. 当x >0时，不等式化为：x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时解集为空集．
综上，不等式的解集为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪
⎪
x ≤－12. 21C. N4 [2012·福建卷]已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；
(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋1
3c
＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.
21C. 解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．
又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.
(2)由(1)知1a ＋12b ＋1
3c ＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝
⎛⎭⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·1
3c 2＝9.
2012模拟题
3．[2012·湖北重点中学联考] 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的
极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋m ＝0，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α，y ＝sin α
(0<α<π)，若曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是________．
4. ⎝
⎛⎭⎫－1，－1
2 [解析] 本题主要考查极坐标的基本运算．属于基础知识、基本运算的考查． C 1的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
6＋m ＝0，化为普通方程是3y ＋x ＋2m ＝0， 曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos α，
y ＝sin α，化为普通方程是x 2＋y 2＝1(y >0)，画出图象可知曲线C 1与C 2
有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－1，－1
2.
4．[2012·唐山一模] 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取
相同的单位长度．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12＋t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方
程为ρ＝2cos θsin 2θ
.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．
9．解：(1)由ρ＝2cos θ
sin 2θ
，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ，
所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .
(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0. 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则
t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1
sin 2α
，
∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2
时，|AB |取最小值2.
5．[2012·唐山一模] 设f (x )＝2|x |－|x ＋3|. (1)求不等式f (x )≤7的解集S ；
(2)若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．
5．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3－x ，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，
x －3，x >0.
如图，函数y ＝f (x )的图象与直线4，x 2＝10的两点，
由此得S ＝[－4,10]．(2)由(1)知，则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0， 解得0≤t ≤3，
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所以t的取值范围是[0,3]．
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