正弦函数余弦函数的性质(二)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）
学习目标：
1．借助图象理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等)．(重点) 2．能利用性质解决一些简单问题．(重点、难点)
课前自主预习：
一、教材梳理
正、余弦函数的图象与性质
________
y＝cos x
二、效果自测：
(1)函数y ＝－1
2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的值域是_____________． (2)函数y ＝2＋2cos x 的单调递增区间是_______________．
三、疑难点拨：
1．解读正弦、余弦函数的单调性
(1)理解正弦函数、余弦函数的单调性，通常作函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，3π
2，y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的简图． (2)单调区间要在定义域内求解．
(3)求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步．
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时，要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值
(1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1.
(2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定． (3)形如y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx ＋φ＝z ，将函数转化为y ＝Asin z 的形式求最值．
课堂互动探究
题型一：求三角函数的单调区间
例1、求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫
π4－x 的单调增区间．
规律总结：求与正、余弦函数有关的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
(2)形如y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y ＝Asin z 的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y ＝Acos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的函数的单调区间，方法同上．
【互动探究】求函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调增区间．
题型二：比较三角函数值的大小问题
例2、比较下列各组数的大小：
(1)cos ⎝⎛⎭⎫－235π与cos ⎝⎛⎭⎫－17
4π； (2)sin 194°与cos 160°； (3)sin 1，sin 2，sin 3.
规律总结：比较三角函数值大小的方法
(1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值；(2)不同名的函数化为同名函数； (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间． 活学活用：1．比较下列各组数的大小：
)1(sin(－320°
)与sin 700°； (2)cos 17π
8与cos 37
9
π. 题型三：正、余弦函数的值域与最值问题
例3、求下列函数的最大值和最小值．
(1)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (2)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π
6.
规律总结：求正、余弦函数最值问题的关注点
(1)形如y ＝asin x(或y ＝acos x)的函数的最值要注意对a 的讨论． (2)将函数式转化为y ＝Asin(ωx ＋φ)或y ＝Acos(ωx ＋φ)的形式． (3)换元后配方利用二次函数求最值． 活学活用2．求下列函数的最值：
(1)y ＝3sin x －1sin x ＋2
； (2)y ＝3－4cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π
6. 易错误区系列(六) 用换元法求三角函数最值中的常见错误
典例：函数y ＝cos2 x －4cos x ＋5的值域是________．
【即时演练】求函数y ＝1－2cos2 x ＋5sin x 的最大值和最小值．
学业达标测试：
1．函数y ＝－cos x 在区间⎣⎡⎦
⎤－π2，π
2上是( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先减后增函数
D ．先增后减函数 2．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝____________时，函数取得最大值． 3．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π
3的单调减区间是___________________________________．
4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是______________________________________ 5．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值：
(1)y ＝3－2sin x ； (2)y ＝cos x
3.
作业：1、设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin ⎝
⎛⎭⎫ax ＋π
3的最大值．
2、已知ω是正数，函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦
⎤－π3，π
4上是增函数，求ω的取值范围．。