离散数学练习题库

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离散数学
⼀、选择题
1.给出下列语句：
（1）5能被2整除. （2）2是素数当且仅当三⾓形有三条边. （3） x+5>0. （4）4是2的倍数或是3的倍数. （5）明天我去看电影.
其中（1）（2）（4）（5）是命题；（2）（4）是复合命题。

2.给出以下命题：
（1）1+2=3743321)2(.743≠+→≠+≠+→. （3）743321)4(.743521=+→=+=+?≠+. 其中真值是T 的命题是 (2)(4) 。

3.给出下列语句：
（1）5能被2整除. （2）雪是⿊⾊的当且仅当太阳从西⽅升起. （3） x+5>0. （4）⼩李在宿舍⾥.
其中（1）（2）（4）是命题；（2）是复合命题。

4.给出以下命题：
（1）1+2=3743321)2(.743≠+→≠+≠+→. （3）743321=+?≠+. (4)743321=+→=+ 其中真值是F 的命题是（1）（3）。

5. 设C (x ): x 是国家级运动员，G (x ): x 是健壮的，则命题“没有⼀个国家级运动员不是健壮的”可符号化为 ( D )。

))()(()A (x G x C x ?∧?? ))()(()B (x G x C x ?→?? ))()(()C (x G x C x ?→?? ))()(()D (x G x C x ?∧?? 6.设集合A ={{1,2,3}, {4,5}, {6,7,8}}，则下式为真的是( C )。

(A) 1∈A (B) {1,2, 3}?A (C) {{4,5}}?A (D) ?∈A
7. 设A ＝{1,2},B ={a ,b ,c },C ={c ,d }, 则A ×(B ?C )= ( A )。

(A) {<1,c >,<2,c >} (B) {,<2,c >}
(C) {,} (D) {<1,c >,}
8. 如第5题图所⽰各图，其中存在哈密顿回路的图是 ( C )。

9.下列式⼦中正确的有（ B ）。

10.某个集合的元数为10，可以构成（ D ）个⼦集。

A 、10 B 、20 C 、 D 、
11.下列命题正确的有（ A ）。

A 、 B 、 C 、
D 、
12. 设{}10,,2,1 =A 上的关系{}
A x A x y x y x R ∈∈=+><=,,10,，则R 的性质为（
B ）。

（A ）⾃反的（B ）对称的（C ）传递的、对称的（D ）反⾃反的、传递的
13.已知集合A ＝{a ,b ,c }上的⼆元关系R 的关系矩阵M R ＝??
001011010，那么R ＝( D )。

(A) {,,,} (B) {,,,} (C) {,,,} (D) {,,,} 14.设V ＝{a ,b ,c ,d },与V 能构成强连通图的边集E ＝( A )。

(A) {,,,,} (B) {,,,,}
(C) {,,,,} (D) {,,,,}
1．集合有两种表⽰⽅法，分别为列举法和描述法。

2. “使有意义的所有的集合。

”可表⽰
为：。

“⼤于3⽽⼩于或等于7的整数组成的集合”表⽰为。

3．写出A={a,b,c,d}的全部⼦集
，。

4．设，则A-B= ，B-A= ，～A= ，～B= 。

5．设A 、B 是两个集合，其中A={1，2}，B={a,b,c}，则A×B= ，B×A= ，所以笛卡尔积不满⾜交换律。

6．若A=}0{<∧∈x Z x x ，{}
2≥∧∈=x Z x x B ，则
=B A ；=B A ； =-B A ；=⊕B A 。

{}{}1,01,0-=⊕=-Φ=-=Z B A A B A B A Z B A ，，， ; 7．若A=}3{<∧∈x N x x ，{}
2≥∧∈=x N x x B ，则
=B A ；=B A ； =-B A ；=⊕B A 。

{}{}{}2102-=⊕=-==N B A B A B A N B A ，，，，
8．将下列各式翻译成⾃然语⾔，并在实数范围判断它们的真伪：
（1）)5()2()
5(=+??=+??y x x y y x y x （1）；（2）。

（1）对任意的x,存在y,使得x+y=5,是真命题,
（2）存着y 对任意的x ，都有5=+y x 是假命题；
9. 设{
}4321，，，=A 上关系{}><><><><=3,1,3,342,21，，，R ，则⾃反闭包()=R r ；对称闭包()=R s ；
传递闭包()=R t 。

()R r {}><><><><><><><3,1,4,2,2,1,4,4,3,3,2,2,1,1 , ()=R s {}><><><><><><><1,3,3,1,3,3,2,4,4,2,1,2,2,1, (){}><><><><> <=3,3,4,2,4,1,3,1,2,1R t
10. 弱连通图G 是欧拉图的充要条件是 G 的每节点的⼊度等于其出度。

11.设X ＝{a ,b ,c }，R 是X 上的⼆元关系，其关系矩阵为
001001101，那么R 的关系图为
12.各点之间都有边相连的图称为；只有点，没有边的图称为；只有⼀个点的零图称为。

完全图；零图；平凡图
13. 设G 是完全⼆叉树，G 有15个点，其中8个叶⼦结点，则G 有条边；G 中度数为2的顶点数是。

14；7
14.在有向图的邻接矩阵中，第i ⾏元素之和与第j 列元素之和分别为。

结点v i 的出度与结点v j 的⼊度
15.连通⽆向图G 中存在欧拉轨迹的充要条件是 G 的度数为奇数的节点个数为0或为2 。

16.对右图⼆叉树的结点先根遍历的次序是，中根遍历的次序是，后根遍历的次序是。

ABCDEF ；CBDAEF ；CDBFEA
三、证明题
1.设A 、B 、C 为三个任意集合，证明题： 1）
证明：设
同理可证：
所以
2.
c
证明：
所以原式成⽴。

3．证明：对任意集合A ，B ，C 有
()()()C A B A C B A -=--
()()C B A C B A ~~ =--
=()C B A ~ =()()C A B A ~ =()()C A B A -
四、计算题
1．设全集E ＝(a ,b ,c ,d ,e ,f ), A ={a ,d }，B ={a ,b ,e }，C ={b ,d }，求下列集合： (1) C B A ~)(??； (2))()(A P A A ?⊕. (1) },,,{},,,{}{~)(f e c a f e c a a C B A =?=??； (2)?=?-?=⊕)()()(A A A A A A . }},{},{},{,{)(d a d a A P ?=. 故)()(A P A A ?⊕＝}},{},{}, {,{d a d a ? 2．化简集合表达式：((A ?B ?C )?(A ?B ))－((B ?(B －C ))－A )
((A ?B ?C )?(A ?B ))－((B ?(B －C ))－A )
＝(A ?B )－(B －A ） =(A ?B )?(～B ?A ) =A ?(B ?～B ) =A ??=A
3. 设集合{}A c b a A ,,,=上的关系 {}><><><=a c c b b a R ,,,,, （1）（2分）写出它的关系矩阵A ；（2）（4分）求出它的⾃反闭包)(R r ；（3）（4分）求出它的对称闭包)(R s ；
（1）
=001100010A （2）(){},,,,,,,,,,,><><>><<><><=c c c b b b a c b a a a R r （3）(){}><><><><><><=c a a c b c c b a b b
a R s ,,,,,,,,,,,
4.设集合{}A d c b a A ,,,,=上的关系 {}><><><><=d c c b a b b a R ,,,,,,, （1）（2分）写出它的关系矩阵A ；（2）（4分）求出它的⾃反闭包)(R r ；（3）（4分）求出它的对称闭包)(R s ；
（1）
=0000100001010010A （2）(){}><><><><><><><><=d d d c c c c b b b a b b a a a R r ,,,,,,,,,,,,,,, （3）(){}><><><><><> <=c d d c b c c b a b b a R s ,,,,,,,,,,,
5.设⽆向图G=（P ，L ），P={v1，v2…v6}，L={（v1，v2），（v2，v3），（v1，v4），（v2，v5），（v2，v4），
（v3，v5），（v4，v5），（v1，v3）}。

（1）画出G 的图形；（2）求出G 中各顶点的度及奇数度顶点的个数。

G 中各点的度如下：deg （v1）=3，deg （v2）=4，deg （v3）=3，deg （v4）=3，deg （v5）=1，deg （v6）=0。

奇数度顶点的个数为4。

v
v
v v 3
第6题图
v
v
v
v 4v 3
6. 图G 如第6题图
试求图G 的最⼩⽣成树，
并计算该⽣成树的权。

图G 的最⼩⽣成树，
如第6题答案图.
⾸先选对边(v 1,v 2)得2分，再每选对⼀条边得1分. 该⽣成树的权=40.
第6题答案图7. 已知带权图G，如第7题图所⽰．
试求图G的最⼩⽣成树，并计算该⽣成树
的权。

做法如下：
①选边1；②选边2；
③选边3；④选边5；
⑤选边7
最⼩⽣成树为{1,2,3,5,7}．如第7题答案图中粗线所⽰．权数为18．
1 9 2
8 7
4 ? 3
第7题图
5 6
10
1 9 2
8 7
4 ? 3
第7题答案图
5 6
10。