江苏省盐城市时杨中学高三上学期期中考试(数学)

江苏省盐城市时杨中学高三上学期期中考试（数学）
一．填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）
1．设集合M={－1，1}，N ={x |
2
1
＜12+x ＜4，Z x ∈}，则M ⋂N= 。

2．设x x y cos =，则='y ________________。

3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212+++=n n n S S S ，则公比q = 。

4．关于x 的一元二次方程0152
=--ax x 有两个不同的实根，一根位于区间)0,1(-，另一根位于区间)2,1(，则实数a 的取值范围为 。

5．已知31)3sin(
=+απ
，且)0,2
(π
α-∈则=αsin ________。

6．已知函数)1(2
-x f 的定义域为[0，3]，则函数)(x f y =的定义域为 7．已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。

8．若)(x f 为偶函数且在（0,∞-）上是减函数，又0)2(=-f ,则0)(<⋅x f x 的解集为____________.
9．(文科做) 已知向量a 和b
的夹角是1且2||=a ，5||=b ，则= 。

（理科做）已知数列{}n a 满足）（，n n n a a n a a -==+111,则数列{}n a 的通项公式
=n a 。

10．给定映射),2(),(:xy y x y x f +→，点（
6
1
,61-）的原象是 。

11．已知曲线 x
e y =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为 12．等差数列{}n a 满足4737a a =，且10a >，当前n 项和n S 最大时，n =
13．函数1
22+=x x
y 的值域为 。

14．已知,23,53cos πθπθ<
<-=且则2
cos 2sin θ
θ+的值为_______。

二、解答题(本题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．) 15．（本题满分14分）记函数f （x ）=1
3
2++-x x 的定义域为A ，g （x ）=lg ［（x －a －1）（2a －x ）］（a ＜1）的定义域为B .
（1）求A ；
（2）若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.
16．（本题满分14分）数列{a n }中，a 1=8，a 4=2，且满足a n +2－2a n +1+a n =0（n ∈N *
）. （1）求数列{a n }的通项公式. （2）设b n =
)12(1n a n -（n ∈N *
），S n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，使得任意的n 均有S n ＞
32
m 总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由.
17．（本题满分15分）已知函数32
()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．
（1）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．，求a 的取值范围．
18．（本题满分15分）已知函数2
π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0ω>）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的取值范围．
19．（本题满分16分）若f （x ）=x 2
－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）.
（1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；
（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？
本题满分16分）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-(20)n q ≠≥，．
（1）设1()n n n b a a n +=-∈*
N ，证明{}n b 是等比数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的n ∈*
N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中
项．
附加题部分（选物理的考生做）
1．（本题10分）极坐标方程52
sin
42
=θ
ρ化为直角坐标方程是 。

2（本题10分）自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H 3
,2(π
)，则直线l 的极坐标方程为 。

3（本题10分）设P(x ，y)是曲线C ：)20(sin cos 2πθθθ
θ≤≤⎩⎨⎧=+-=，y x 为参数上任意一点，求
y
x
的取值范围。

4（本题10分）已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=a 2x C ，
若A = BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.
参考答案
1—5 {}1- x x x cos sin +- 2- )2
19
,4(
6621- 6—10 ]8,1[-
b a a +-2 )2,0()2,( --∞ 13（文）n （理） )3
2
,41()21,31(--或 11—14 ex y = 9 )1,0(
5
5
15.解析：（1）由2－
13++x x ≥0，得1
1
+-x x ≥0， ∴x ＜－1或x ≥1，即A =（－∞，－1）∪［1，+∞）. ……………………………6分 （2）由（x －a －1）（2a －x ）＞0，得（x －a －1）（x －2a ）＜0.
∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =（2a ，a +1）. ……………………………………………9分 ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥2
1
或a ≤－2. 而a ＜1，∴
2
1
≤a ＜1或a ≤－2. ……………………………………………………12分 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是（－∞，－2］∪［2
1
，1）. ………………14分
16.解析：（1）∵a n +2－2a n +1+a n =0，∴a n +2－a n +1=a n +1－a n （n ∈N *
）. ∴{a n }是等差数列.设公差为d ，
又a 1=8，a 4=a 1+3d =8+3d =2，∴d =－2.∴a n =－2n +10. ………………………4分 （2）b n =
)12(1n a n -=)
1(21
+n n
=21（n 1
－1
1+n ），……………………………………………………………6分 ∴S n =b 1+b 2+…+b n =21［（1－21）+（21－31）+…+（n 1
－1
1+n ）］
=
21
（1－1
1+n ）=)1(2+n n .…………………………………………………9分
假设存在整数m 满足S n ＞32
m
总成立. 又S n +1－S n =
)2(21++n n －)
1(2+n n
=
)
1)(2(21
++n n ＞0，……………………………………………………………12分
∴数列{S n }是单调递增的.∴S 1=
41为S n 的最小值，故32m ＜4
1，即m ＜8.又m ∈N *
， ∴适合条件的m 的最大值为7. ……………………………………………………14分 17.解析：（1）由题意得)2()1(23)(2
+--+='a a x a x x f 又⎩⎨
⎧-=+-='==3
)2()0(0
)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a ………………6分
（2）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于
导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数………10分 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有
0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a
整理得：0)1)(1)(5(2
<-++a a a ，解得15-<<-a …………………………15分
18.解析：（1）1cos 2()222
x f x x ωω-=
+
112cos 222x x ωω=
-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π
π2ω
=，解得1ω=．………7分 （2）由（Ⅰ）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03x ≤≤
，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭≤≤．
因此π130sin 2622x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，…………………15分
19.解析：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22
a －log 2a +
b . 由已知有log 22
a －log 2a +
b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ………………………3分 ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2. ………………………………………………………5分 又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4.
∴a 2
－a +b =4，b =4－a 2
+a =2. …………………………………………………………8分 故f （x ）=x 2
－x +2，从而f （log 2x ）=log 22
x －log 2x +2=（log 2x －
21）2+4
7
.
∴当log 2x =
21即x =2时，f （log 2x ）有最小值4
7
.…………………………………12分 （2）由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2
)2(log 2
2log log 22222x x x x ⇒⎩⎨
⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0＜x ＜1. …………16分 析：（1）证明：由题设11(1)(2)n n n a q a qa n +-=+-≥，得
11()n n n n a a q a a +--=-，
即12n n b qb n -=，≥．
又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．………5分 （2）解：由（Ⅰ），
211a a -=， 32a a q -=，
……
21(2)n n n a a q n ---=≥．
将以上各式相加，得2
11(2)n n a a q q n --=+++…≥．所以当2n ≥时，
1
1111 1.
n n q q a q
n q -⎧-+
≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，
上式对1n =显然成立．………………………………10分
（3）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5
2
2
8
q q q q -=-，由0q ≠得
3611q q -=-， ①
整理得323
()20q q +-=，解得32q =-或3
1q =（舍去）．于是
q =
另一方面，
2113
3
(1)11n n n n n q q q a a q q q
+--+--==---，
151
66(1)11n n n n n q q q a a q q q
-+-+--==---．
由①可得
36n n n n a a a a n ++-=-∈*N ，．
所以对任意的n ∈*
N ，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．………………………………16分
附加题部分（选物理的考生做）
1．（本题10分）极坐标方程52
sin
42
=θ
ρ化为直角坐标方程是 。

4
25
52+
=x y 2（本题10分）自极点O 向直线l 作垂线，垂足是H 3
,
2(π
)，则直线l 的极坐标方程为 。

2)3
(cos =-π
θρ或 04sin 3cos =-+θρθρ
3（本题10分）设P(x ，y)是曲线C ：)20(sin cos 2πθθθ
θ≤≤⎩⎨⎧=+-=，y x 为参数上任意一点，求
y
x
的取值范围。

解析：曲线C 的方程可化为1)2(2
2
=++y x ，…………………………3分 可见曲线C 是以点)0,2(-C 为圆心半径为1的圆…………………………4分 设点P ),(y x 为曲线C 上一动点， 则
y
x
OP k =，即O 、P 两点连线的斜率…………………………6分 当P 的坐标为)23,23(-
时，y x
有最小值为33-， 当P 的坐标为)23,23(--
时，y
x
有最大值为33，…………………………9分 所以y
x
的取值范围是]3333[，-…………………………10分
4（本题10分）已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=a 2x C ，
若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值. 解析： ∵BC=[]x 1x -⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡a 2x =[]
)x 1(a 2x 2
-+,[])(x f A = 又∵ A=BC 2222)(22)(a a a x a ax x x f -+-=+-=，∵x∈[1,2] ……………5分
当x≥２时，函数)x (f 在[1,2]上的最小值为a 24)2(f -=.
当1≤x＜2时，函数)x (f 在[1,2]上的最小值为2
a a 2)a (f -=. 当x ＜1时，函数)x (f 在[1,2]上的最小值为1)1(f =…………………8分
∴⎪⎩
⎪⎨⎧<<≤-≥-=)1( 1)21(
2)2(
24)(2
x x a a x a x f ……………………………………10分。