机械工程专业测试技术教材部分习题参考答案

第二章部分题目答案
2-21．求正弦信号)2sin()(t T
A t x π=的单边、
双边频谱、实频图、虚频图，如该信号延时4/T 后，其各频谱如何变化？ 解： (1)由于22()sin()cos(
)2
x t A t A t T
T πππ==-
，符合三角函数展开形式，则
在
2T
π处：1n A =，所以，单边频谱图为图1的（a ）。

对)2sin()(t T
A t x π=进行复指数展开：由于222()sin(
)()2
j
t j
t
T
T
jA x t A t e e T
πππ-==
-
所以，在2T
π
-
处：2n jA C =
，0nR C =，2
nI A C =
，||2
n A C =
，2
n π
θ=
在
2T
π处：2
n jA C =-，0nR C =，2
nI A C =-，||2
n A C =，2
n π
θ=-
所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图1的(b)、(c)、(d)、(e)。

T
T
-
(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图
图1 正弦信号x (t)的频谱 （2）当延迟4/T 后，()x t 变为2()sin ()4T x t A t T
π⎡⎤
=-
⎢
⎥⎣⎦
，由于 222()sin ()cos ()cos 442T T x t A t A t A t T T T πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
=-=--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭
，符合三角函数
展开形式，则
在2T
π处：1n A =，所以，单边频谱图为图2的（a ）。

对222()sin ()sin()cos()42T T x t A t A t A t T
T T πππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦进行复指数展开，
由于222()cos()()2
j
t j
t
T
T
A x t A t e e T
πππ--=-=
+
所以，在2T
π-
处：2
n A
C =-，2
nR A C =-
，0nI C =，||2
n A C =
，n θπ=
在2
T
π
处：
2
n
A
C=-，
2
nR
A
C=-，0
nI
C=，||
2
n
A
C=，
n
θπ
=
所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图2的(b)、(c)、(d)、(e)。

T
T
-
(a)单边幅频图(b) 实频图(c) 虚频图(d) )双边幅频图(e)
双边相频图
图2正弦信号x(t)延迟后的频谱
2-22．已知方波的傅立叶级数展开式为
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
+
-
=
t
t
t
A
t
f
05
cos
5
1
3
cos
3
1
cos
4
)
(ω
ω
ω
π
求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。

解：均值
a=0；该方波各谐波的频率分别为0ω、0
3ω、0
5ω…；对应的幅值分别为
π
4A
、π3
4
A
、
π5
4
A
…
，即,...
5,3,1
,
)1
(
4
2
1
=
-
-
n
n
A n
π
，该方波的单边幅频谱图如图3所示。

00000
图3 方波的单边幅频谱
2-23 试求图2.55所示信号的频谱函数(提示：可将()
f t看成矩形窗函数与(2)
δ-
t、(2)
δ+
t脉冲函数的卷积)。

图2.55 习题2-23
解：f(t)可以看作位于原点、宽度为2的如下式的窗函数与δ(t-2)、δ(t+2)的卷积：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤
=
1
1
1
)
(
t
t
t
w
即，)]
2
(
)2
(
[
*
)
(
)
(-
+
+
=t
t
t
w
t
fδ
δ
而)2(sin 2)()(f C jf W t w π=⇒，根据时移特性：2
2)2(⋅⇒+f j e t πδ；2
2)2(⋅-⇒-f j e
t πδ
则)(t f 的频谱函数为：
)
()2(sin 2)
()2(sin 2)]2(()2(([)()]2()2([*)()(442
22
2f
j f
j f j f j e
e
f C e e f C t F t F jf W t t t w t f ππππππδδδδ-⋅-⋅+⋅=+⋅=-++⋅⇒-++=
2-24．一时间函数)(t f 及其频谱函数图如图2.56所示，已知函数t t f t x 0
cos )()(ω= 设m
ωω>0
[m ω为)(t f 中最高频率分量的角频率]，试出)(t x 和)(t x 的双边幅频谱)(ωj X 的示意图形，当m
ωω<0
时，)(ωj X 的图形会出现什么样的情况？
(a) )(t f 的时域波形 (b) )(t f 的频谱
图2.56 )(t f 的时域波形及其频谱
解：令t t x 0
1
cos )(ω=，则)()()(1
t x t f t x =，即为)(t f 和t 0
cos ω的乘积，所以其图形如图4(a)所
示。

若)()(1
1
ωj X t x ⇔，)()(ωj F t f ⇔，则)(*)()()()()(1
1
ωωωj F j X j X t x t f t x =⇔=
由于)]
()([2
1)(001ωωδωωδω++-=
j X ，其双边幅频图如图4(b)所示。

根据)(*)()()(2
1
2
1
ωωj X j X t x t x ⇔，则
)(*)]()([21)(*)()(001ωωωδωωδωωωj F j F j X j X ++-=
=
根据)()(*)(ωωδωj x j j x =，)()(*)(0
ωωωωδω-=-x x 和)()(*)(0
ωωωωδω+=+x x 则
)]
()([2
1)(*)]()([2
1)(*)()(00001ωωωωωωωδωωδωωω++-=++-=
=F F j F j F j X j X
|]
)(||)([|2
1)(*|])(||)([|2
1)(*|)(||)(|00001ωωωωωωωδωωδωωω++-=++-==F F j F j F j X j X
)(210ωω-F 表示把)(21ωF 的图形搬移到0
ω处，图形的最大幅值为)(2
1
ωF ；
)(210ωω+F 表示把
)(21ωF 的图形搬移到0
ω-处，图形的最大幅值为)(2
1
ωF ；
|)(|210ωω-F 表示把|)(|21ωF 的图形搬移到0
ω处，图形的最大幅值为
|)(|2
1ωF ； |)(|2
10ωω+F 表示把
|)(|2
1ωF 的图形搬移到0
ω-处，图形的最大幅值为
|)(|2
1ωF ；
由于)(1
t x 的频谱图用双边幅频图表示，所以)(t x 的双边幅频图|)(|ωj X 如图4(c)所示，当m
ωω<0
时，)(t x 的双边幅频图|)(|ωj X 如图4(d)所示。

t
)
(t x
(a) )(t x 的时域波形 (b) t t x 01cos )(ω=的频谱
m
00
m
00
(c) )(t x 的频谱 (d) m ωω<0时，)(t x 的频谱
图4 习题2-23的示意图
2-25．图2.57所示周期三角波的数学表达式为
402()402
A T A t t T x t A T A t
t T ⎧+-≤≤⎪⎪
=⎨
⎪-≤≤
⎪⎩
求出傅立叶级数的三角函数展开式并画出单边频谱图。

图2.57 周期性三角波
解：周期三角波的傅立叶级数展开式为：
)
5cos 5
13cos 3
1(cos 8)(02
02
02
++
+
=
t t t A
t x ωωωπ
其单边频谱图如图5
所示。

000
00
(a) 幅频图 (b) 相频图
图5 周期性三角波的频谱
补充：画出0cos t ω、0sin t ω复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双边相频谱，并验
证是否满足信号的时移定理。

解：()0001
cos 2
j t
j t
t e e ωωω-=+
在0ω-处：12
n C =，12
nR C =
，0nI C =，1||2
n C =
，0n θ=
在0ω处：12
n C =
，12
nR C =
，0nI C =，1||2
n C =，0n θ=
(a) 实频图 (b) 虚频图 (c)双边幅频图 (d) 双边相频
图
图6
()000sin 2
j t
j t
j
t e e
ωωω-=
-
在0ω-处：2n j C =，0nR C =，12
nI C =，1|
|2
n C =
，2
n π
θ=
在
0ω处：2
n j C =-
，0nR C =，12
nI C =-
，1||2
n C
=，2
n π
θ=-
(a) 实频图 (b) 虚频图 (c) )双边幅频图 (d) 双边相频
图
图7
0000sin cos()cos ()22t t t π
πωωωω⎡⎤=-
=-⎢⎥⎣
⎦，则002t π
ω= 在0ω-处：相移：0000()()22t ππ
ωωω--=--= 在0ω处：相移：000
22
t π
π
ωωω-=-=-
有图6和7比较可知，0sin t ω比0cos t ω在0ω-、0ω处的相移为2
π
和2
π
-
，因此满
足信号的时移定理。

第三章部分题目答案
3-19 若压电式力传感器灵敏度为90 pC/MPa ，电荷放大器的灵敏度为0.05V/pC ，若压力变化25MPa ，为使记录笔在记录纸上的位移不大于50mm ，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？
解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2和S3，它们串联后的总灵敏度为：123y S S S S x
∆=⋅⋅=∆，其中S1=90 pC/MPa ，S2＝0.05V/pC ，∆x=25MPa ，
∆y=50mm ，则312
5040.44442590/0.05/9y m m
m m m m S x S S M Pa pC M Pa V pC
V
V
∆=
=
==∆⋅⋅⋅⋅
3-20 图3.24为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。

图4.24 习题3-20图
解：第一个框图为一阶系统，由于66/23152
15/21
7.51
s s s =
=
+++，而
31
7.51
K
s s τ=
++，所以其灵
敏度为3;
第二个框图的灵敏度为7.3; 第三个框图为二阶系统，由于
2
2
n
n
2
2
2
2
n n
n n
3.322K s s s s ωωξωωξωω=
++++，所以其灵敏度为3.3；
系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3×7.3×3.3=72.27。

3-21 由传递函数为1 1.5() 3.50.5
=
+H s s 和2
n
22
2
n n
100() 1.4H s s s ωωω
=
++的两个环节，串联组成一个测
试系统，问此系统的总灵敏度是多少？
解：显然，)(1
s H 和)(2
s H 和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式
的形式，则
1
735
.05.35.11
)(1+=
+=
+=
s s s K
s H τ K=3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
27.021004.11002)(n
n n
n
n n
n
n n
s s s s s s K s H ωωωωωωωξωω+⋅+=
++=
++=
K=100
而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为3*100=300.
3-22 用时间常数为2s 的一阶装置测周期为2s 、4s 的正弦信号，试求周期为4s 装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s 装置的几倍？
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，正弦信号周期为2s 时，
1()0.1572A ω=
=
=
=
11
22()arctan()arctan(2)80.972
o
T ππϕωτ
=-=-⋅
=-
正弦信号周期为4s 时，
2()0.3033A ω=
=
=
= 22
22()arctan()arctan(2)72.324
o
T ππϕωτ
=-=-⋅
=-
由于
21()2()
A A ωω=，
22()72.320.8936()
80.97
ϕωϕω-=
=-，则周期为4s 装置产生的幅值误差和相位滞后
量分别是2s 装置的2和0.8936倍。

3-23用时间常数为2s 的一阶装置测量烤箱内的温度，箱内的温度近似地按周期为160s 作正弦规律变化，且温度在500～1000℃范围内变化，试求该装置所指示的最大值和最小值各是多少？
解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，输入信号的周期为160s ，最大幅值1000，最小幅值500，则该装置所指示的最大值为
：
11000()996.93A ω⋅====
该
装
置
所
指示的最小值为
：
1500()498.465A ω⋅=
=
=
=
3-24 设用时间常数为0.2s 的一阶装置测量正弦信号：x (t )=sin4t +0.4sin40t (K =1)，试求其输出信号。

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.2，输入信号x (t)为正弦信号x 1(t)=sin4t 和x 2(t)=0.4sin40t 的叠加。

对x 1(t)：角频率ω1=4，幅值A 1=1，初相位φ1=0；则
78.0)
42.0(11)
(11)(2
2
11=⋅+=
+=
τωωA
o
66.38)42.0arctan()arctan()(11-=⋅-=-=τωωϕ
其输出信号的幅值为： A(ω1)*A 1=0.78*1=0.78 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-38.66º 其输出信号为：y 1(t)=0.78sin(4t-38.66º) 对x 2(t)：角频率ω2=40，幅值A 2=0.4；则
124.0)
402.0(11)
(11)(2
2
22=⋅+=
+=
τωωA
o
875.82)402.0arctan()arctan()(22-=⋅-=-=τωωϕ
其输出信号的幅值为：A(ω2)*A 2=0.124*0.4=0.05 相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-82.875º 其输出信号为：y 2(t)=0.496sin(4t-82.875º)
所以，x (t)为输入信号时，输出信号为： y (t)= y 1(t)+ y 2(t)= 0.78sin(4t-38.66º)+0.05sin(4t-82.875º)
3-25 用一阶系统对100Hz 正弦信号进行测量，如果要求振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？如用具有该时间常数的同一系统作50Hz 正弦信号的测试，问此时的振幅误差和相位差是多少？
1．解：(1) 因为1()A δω=-，故当||5%0.05δ=≤时，即要求1()0.05A ω-≤，所
以
10.05-。

化简得221
()10.1080.95ωτ-=≤，则
4
11 5.2310s
22100s
f
τ-=
=⨯ππ⨯≤（2分）
(2) 当作50Hz 信号测试时，有（4分）
11110.9868 1.32%
δ-
=-
=-
=-==
4
a r c t a n ()a r c t a n (
2)a r c t a n (2
50
5.2310)91950
f ϕωττ-'''=-=-π=-π⨯⨯⨯=-o
3-26 已知某线性装
置()ω=
A ，()arctan 0.1ϕωω=-，现测得该系统稳态输出
y (t )=10sin(30t -45°)，试求系统的输入信号x (t )。

解：根据频率保持特性：输入信号的频率ω=30，则该装置的幅频特性和相频特性分别为：
3162
.030
01.011)(2
=⋅+=
ωA o
565.71)301.0arctan()(-=⋅-=ωϕ
则输入信号的幅值和相位分别为：
A=10/ A(ω)=10/0.3162=31.6256 φ1=φ2-φ(ω)=-45º+71.565º=26.5651º
则输入信号为：x (t)=31.6256sin(30t+26.5651º)
3-27 将温度计从20℃的空气中突然插入100℃的水中，若温度计的时间常数τ=2.5s ，则2s 后的温度计指示值是多少？
3-28 某测量装置的频率响应函数为1()10.05H j j ωω
=
+，试问：1)该系统是什么系统? 2)
若输入周期信号()2cos100.8cos(10030)x t t t =+- ，试求其稳态响应y (t)。

答: 1)一阶系统， 2) 一阶系统
:()A ω=
()arctan()ϕωωτ=-
当ω=10
时，()(10)0.8944A A ω==
=
=
()(10)arctan()arctan(10*0.05)26.57o
ϕωϕωτ==-=-=-
当ω=100
时，()(100)0.1961A A ω==
=
=
()(100)arctan()arctan(100*0.05)78.69o
ϕωϕωτ==-=-=-
所以，
()2(10)cos(10(10))0.8(100)cos(1030(100))1.78cos(1026.56)0.156cos(10108.69)
y t A t A t t t ϕϕ=-+--=-+-
3-29 用时间常数为0.5的一阶装置进行测量，若被测参数按正弦规律变化，若要求装置指示值的幅值误差小于2%，问被测参数变化的最高频率是多少？如果被测参数的周期是2s 和5s ，问幅值误差是多少？
解：由题意可知：τ=0.5s, δ=|1-A(2πf)|×100％=(1-A(2πf))×100％<2% 则
02.0)
25.0(1112
<⋅+-
f π,即f<0.0646Hz
被测参数的周期是2s 时，f=1/2=0.5Hz, δ=(1-A(2πf))×100％=(1-A(2×π×0.5))×100％=46.3% 被测参数的周期是5s 时，f=1/5=0.2Hz, δ=(1-A(2πf))×100％=(1-A(2×π×0.2))×100％=15.3%
3-30 已知某测试系统传递函数()110.5=
+H s s
，当输入信号分别为1sin x t =π，2sin 4x t =π时，
试分别求系统稳态输出，并比较它们幅值变化和相位变化。

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.5，当输入信号x (t)为正弦信号x 1(t)=sin πt 时，信号的角频率ω1=π，幅值A 1=1，初相位φ1=0；则
111
()0.537A ω===
11()arctan()arctan(0.5)57.52o
ϕωτωπ=-=-⋅=-
其输出信号的幅值为： A(ω1)*A 1=0.537*1=0.537
相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-57.52º；其输出信号为：y 1(t)=0.537sin(πt-57.52º) 当输入信号为x 2(t)= sin4πt 时，其角频率ω2=4π，幅值A 2=1，初相位φ1=0；则
2()0.1572A ω===
22()arctan()arctan(0.54)80.96o
ϕωτωπ=-=-⋅⋅=-
其输出信号的幅值为：A(ω2)*A 2=0.1572*1=0.1572
相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-80.96º 其输出信号为：y 2(t)=0.1572sin(4πt-80.96º)
可以看出，对于信号1sin x t =π，其幅值由1变为0.537,相位由0 º变为-57.52º；对于信号
2sin 4x t =π，其幅值由1变为0.1572,相位由0 º变为-80.96º；信号2sin 4x t =π的幅值和相位变化大于信号1sin x t =π的幅值和相位的变化。

3-31 对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量M 的数值为1.5，同时测得其周期为6.28s 。

设已知装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和装置在无阻
尼固有频率处的频率响应。

答: 由于静态增益为3，则max /3 1.5/30.5M M === 则
0.2155ξ=
=
从而， 1.02n ω=
=
=
=
于是，2
2
2
1.02
()20.215 1.02 1.02
H s s s =
+⨯⨯+
当n ωω=
时，11() 2.32
220.2155
n A ωξ
=
=
=
=
=⨯
n 2
n 22()arctan
arctan
11
2
1n ωξωξπϕωωω⎛⎫ ⎪
⎝⎭=-=-=-
-⎛⎫- ⎪
⎝⎭
3-32一种力传感器可作为二阶系统处理。

已知传感器的固有频率为800 Hz ，阻尼比为0.14，问使用该传感器作频率为500Hz 和1000Hz 正弦变化的外力测试时，其振幅和相位角各为多少? 答: f=500Hz 时，
()(500) 1.5625
A f A ==
=
=
o
2
2
50022800()(500)arctan
arctan
-16.023********n n f f f f f ξξϕϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-=-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
f=1000Hz 时，
()(1000) 1.4599
A f A ==
=
=
2
2
100022800()(1000)arctan
arctan
31.8908100011800n n f f f f f ξξϕϕ⎛⎫
⎛⎫ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭==-=-=⎛⎫⎛⎫-- ⎪
⎪
⎝⎭
⎝⎭
第四章部分题目答案
4-1 用图5.65所示测力仪去测量力F ，要求用金属丝式应变片组成交流全桥作为其测量电路。

(1) 在图中标出应变片的贴片位置；
(2) 分析图中的贴片处的应变变化，画出应变图，说明贴片位置一般是否应选在应变大的地方？为什么？
图5.65 用测力仪测量力F
4-3 说明图5.66中的两种传感器的工作原理，指明它们各属于什么传感器？
图5.66 两种传感器工作原理示意
第五章部分题目答案
5-21 已知直流电桥R l =9725Ω，R 2=8820Ω，R 3=8550Ω，R 4=9875Ω，若激励电压U i =24V ，试求输出电压U o ，若R 4可调，试求电桥平衡时的R 4值。

答： 1324o i 12340.2774()()
R R R R U U R R R R -=
=-++(V)
R 4=R1*R3/R2=9427.3Ω。

5-22选用电阻值R =100Ω，灵敏度S =2.5的电阻应变片与阻值R =100Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V ，当应变片应变为1000με时，若要使输出电压大于10mV ，则可采用何种接桥方式？计算输出电压值(设输出阻抗为无穷大)，并画出接线图。

解： 63// 2.5100010 2.510dR R R R S ε--=∆==⨯⨯=⨯
而，3
3
o i 0
2.510
2.510
1025()i R U K
U K U K K m V R --∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯，
要使U o 大于10mV ，则要求K>0.4。

当为半桥单臂时，K=1/4=0.25；当为半桥双臂时，K=1/2=0.5；当为全桥时，K=1。

因此应采用半桥双臂或全桥的接桥方式。

半桥双臂接法时，3
3
o i 0
2.510
0.5 2.510
1012.5()
i R U K U K U m V R --∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=
全桥法时，3
3
o i 0
2.5101 2.510
1025()
i R U K U K U m V R --∆==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=
图略。

5-23以阻值100Ω，灵敏度S =2的电阻应变片与阻值100Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为4V ，并假定负载电阻无穷大，当应变片上的应变分别为1με和1000με时，半桥单臂、半桥双臂及全桥的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。

解：1）应变为1με时，6
6
//2110210
dR R R R S ε--=∆==⨯⨯=⨯
半桥单臂时，输出电压：6
6
1i o i 04210210
0.002()444
R U U U m V R --∆≈=⨯⨯
=⨯⨯=
半桥双臂时，输出电压：6
6
i o 0
4210
210
0.004()22
2
U R U U m V R --∆==⨯⨯=⨯⨯
=
全桥时，输出电压：6
6
o 0
210210
40.008()i i R U U U m V R --∆=
=⨯⨯=⨯⨯=
2）应变为1000με时，6
3
//2100010210
dR R R R S ε--=∆==⨯⨯=⨯
半桥单臂时，输出电压：3
3
1i o i 04210210
2()
444R U U U m V R --∆≈=⨯⨯
=⨯⨯
= 半桥双臂时，输出电压：3
3
i o 0
4210
210
4()
22
2
U R U U m V R --∆==⨯⨯=⨯⨯=
全桥时，输出电压：3
3
o 0
210210
48()i i R U U U m V R --∆=
=⨯⨯=⨯⨯=
半桥单臂、半桥双臂和全桥时，电桥的灵敏度分别为Ui/4,Ui/2和Ui ，仅与输入电压有关。

5-24 设一滤波器的传递函数H (s )=10.00361
s ＋，(1)试求上、下截止频率；(2)画出其幅频
特性示意图。

解：滤波器传递函数符合低通滤波器的传递函数形式，因此，该滤波器为一低通滤波器。

其
中，τ=0.0036。

其下截止频率f c1=0Hz ，上截止频率为：
21144.2097
22c f τ
=
=
=ππ0.0036
g Hz 。

图略。

5-25如图5.38所示的周期性方波信号，让它通过一理想带通滤波器，该滤波器的增益为0dB ，带宽B =30Hz ，中心频率f 0＝20Hz ，试求滤波器输出波形的幅频谱及均值x μ。

解: 0
20lg
0dB
x A A =，则0x A A =，即滤波器的增益为1。

方波的周期为：/21/24T =，所以1/12T =，0224T
πωπ== 周期性方波信号的三角函数展开为：000411()(sin sin 3sin 5)3
5
A
y t t t t ωωωπ
=+
+
+
带宽B=30Hz ，中心频率f 0＝20Hz ，则 12
020
2
c c f f f +=
=，2130c c B f f =-=
解上述两式，则fc2=35Hz ，fc1=5Hz 。

而0ω对于的频率为112f T
=
=Hz ，30ω对于的频
率为：36f =Hz 。

因此，滤波器仅能使得y(t)的基波输出，而高于基波的谐波被全部衰减掉。

故滤波器的输出为：
4()sin 24A
y t t ππ
=
因此，输出波形的均值即为0。

第六章部分题目答案
6-16 已知某信号的自相关函数(0)500cos πx R τ=。

试求： (1) 该信号的均值μx ； (2) 均方值2x ψ； (3) 自功率谱()x S f 。

解：(1) 自相关函数满足ωττcos 2
)(2
0x R x
=
的形式，同时根据周期信号的自相关函数也是
周期函数，则原信号（函数）为)sin()(0
ϕω+=t X t x 的形式，因此信号的均值为0。

(2) 当τ＝0时，自相关函数即为均方值，即
500
)0cos(500)0(22
2
=⋅==+=ωψ
σμx
x x x R
(3) 自功率谱)(jf S x
即为自相关函数的频谱，而自相互函数为余弦函数，由
)]
()([2
1]2[cos 00f f f f ft F -++=
δδπ
则πττcos 2
)(2
0x R x =
的频率f =1/2，故
)21(250)2
1(250)]2
1()2
1([2
500]cos 500[)(-
++
=-
++
=
=f f f f F jf S x δδδδωτ
6-17 求自相关函数20()e cos 2(0)x R f ατττα-=π>的自谱密度函数，并画出它们的图形。

解： 在时延域，自相关函数)(τx
R 为)0()(2
1
>=-ατατe x 和τπτ0
2
2cos )(f x =两信号的乘积，因此，自相关函数的自谱密度函数为该两信号的卷积。

由表2-4可知：)(1
τx 的频谱为：
f
j jf X t u e
e
x πααατατ
ατ
221)()0)(()0()(1221+=
⇒>⋅=>=--
)(2τx 的频谱为：
)]
()([2
1)(2cos )(00202f f f f jf X f x -++=
⇒=δτπτ
所以，)(τx
R 的自谱密度函数为：
2
022
02
022
000002102)
(44)()
(44)()(221
)(22121)]
()([2
1*221)(*)()()0(2cos )(f f f f j f f f f j f f j f f j f f f f f
j jf X jf X jf S f e
R x x -+--+
+++-=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++++=-+++=
=⇒
>=-πα
παπα
παπαπαδδπαατπτατ
)(1jf X 、)(2jf X 及)(jf S x 的图形如下：
00。