奇妙数学史-1数学的起源和发展
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希腊文明最为突出的是其具有高度的理性化与抽象 化，在希腊学术传统中，哲学、几何学、艺术和逻辑 学的成就最高。
毕达哥拉斯(约前560年-约前480年)学派是继以泰勒 斯为代表的爱奥尼亚学派之后，希腊第二个重要学派， 它延续了两个世纪，在希腊有很大的影响。它有着带有 浓厚宗教色彩的严密组织，属于唯心主义学派。他们相 信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，从而数学 是其教义的一部分。他们在数学上最大的贡献是证明了 直角三角形三边关系的勾股定理，故西方称之为毕达哥 拉斯定理。
公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯 发现存在某些线段之间是不可公度的，例如正方形 的边长与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥 拉斯定理容易发现，它们之比并非是自然数之比。 据说，由于希帕索斯的这一发现，触犯了毕达哥拉 斯学派的信条而被视为异端，为此他被其同伴抛进 大海。因为他竟然在宇宙间搞出这样一个东西，否 定了毕氏学派的信念。他们要把发现的秘密和他们 的困惑一起抛入大海，永不泄露。
后来阿拉伯人把这些数学符号传到了
很多地方。最开始阿拉伯数字的形状与现 代阿拉伯数字并不完全相同，只是比较接 近而已，为了使它变成今天的0、1、2、 3、4、5、6、7、8、9......的书写形式， 又有许多数学家做了许多努力。
进位制：
史上曾经有过二进制，五进制，十进制， 十二进制，十六进制，二十进制、六十进 制。
随着对于数的认识的发展，无理数终于在人们心目 中取得合法地位，并逐渐发展了实数的严格理论。关 于实数理论现在已广泛应用于科学技术和日常生活之 中。
中国传统数学中的无理数产生于开方不尽和圆 周率的计算。不过由于中国古算与古希腊数学有 着不同的传统，希腊人总是将数与形截然分开， 对涉及无限的问题总是持有恐惧的态度。中国算 学中数与形是有机统一的，中国人自始至终对关 于无限的问题总是泰然处之，能够正视无理数。
毕达哥拉斯学派的信条是，世界万物都 是可以用数来表示的。他们所称的数就是自 然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。 他们将这种数的理论应用于几何，认为，对 于任何两条线段，总可找到一条同时量尽它 们的单位线段，并称此两线段为可公度的。 这种可公度性等价于“任何两条线段之比为 有理数”。他们在几何推理中总是使用这条 可公度性假定。
所有的孩子都急急忙忙地算起来，老师却在一边看小说，不 一会儿，小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊，奇怪他 怎么算得这么快。原来，高斯并不是按1+2+3+4… …的顺序计 算的。而是把1到100一串数，从两头向中间，一头一尾两两相 加，每两个数的和都是101。例如：1+100、2+99、3+98… …， 直到50+51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因此， 101× 50就得出5050的总和了。
公元前500年左右的中国筹算数码
公元前300年左右印度婆罗门数字
公元500年 左右，随着经济、 文化和佛教的兴 起与发展，印度 地区的数学一直 处于领先地位。
100 10
1
大约公元700年 前后阿拉伯人征服 了印度北部，他们 发现被征服的印度 地区数学比他们先 进。于是771年， 印度北部的数学家 被抓到阿拉伯的巴 格达，被迫给当地 人传授数学。
虽然毕达哥拉斯学派发现了无理数，但他们却严 禁泄露这一重要的发现，原因是这一发现彻底摧毁 了学派赖以安身立物都包含数，因 此，没有数既不可能表达，也不可能理解任何事 物”。
但要注意，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数， 而分数是被看作两个整数之比。但是很不幸，是他 们自己发现了正方形的对角线与边的长度之比不能 用整数或整数之比（即现在所说的有理数）表示， 也就是找不到一个数（指整数或整数之比，即有理 数）使它平方后等于2，这就动摇了他们“万物皆数” 的根本信念。他们无法解释到底世界发生了什么事 情，学派内部引起了极大的思想混乱。
如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？ 有。比如末尾是25和76的数就是自守数。
如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守 数吗？经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、 09376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、 90625、890625、2890625、……的数都是自守数。
奇妙数学史
老师眼中的数学 爸妈眼中的数学
其实你了解到的数学，仅限于数学知识 数学这门学科涵盖的内容是非常丰富的 下面一一道来
数学史的分期
一、数学的起源与早期发展(公元前6世纪) 二、初等数学时期(公元前6世纪-16世纪) 三、近代数学时期(17世纪-18世纪) 四、现代数学时期(1820年-现在)
(10a 6)2 (10a)2 2 10a 6 62
100a2 120a 36 10(10a2 12a 3) 6
由于a是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见 它的个位必定是6。高次方情况下也如此，证明从略。 用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。
此外，对所有的自然数，下面的规律也成立并且 十分有趣：
自然数中还有一类数被称为回文数。回文数就是一个数的两边对
称，如11，121，1221，9339，30203等等。回文数本身倒也没
有什么奇特。不过人们发现大多数的自然数，如果把它各位数字
的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有
限的步骤后必能得到一个回文数：
“0”太重要了，一无所有为零 零是自然数 据考证“0”首次出现在柬埔寨＆苏门答腊的
碑文上 进位制是人类共同财产
我们学过的数被分为两类：有理数和无理数。有理数 如2，12.35，72.632632632，……，106.444444，……，等等。
在数学上可以证明，无论是整数、有限小数还是无限
汉字一二三四五六七八九十对十进制的贡 献
长期运用后留下二进制十进制 据推测五进制十进制与人的手指个数有关
现代澳大利亚托列斯峡群岛上一
些部落仍用二进制：
一=乌拉勃，二=阿柯扎 他们把三表为：阿柯扎乌拉勃 那么：阿柯扎阿柯扎＝？ 阿柯扎阿柯扎乌拉勃＝? 阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?
“0”不是印度人或阿拉伯人的 发明
当人们觉得“石头记数”法比较麻烦， 容易出错时，他们又想出了“结绳记数” 法。
再后来，人们又发明了“刻痕记数” 法。
公元前3400年左右的古埃及象形数字 在经历了数万年的发展后，直到大约
距今五千多年前，才出现了书写记数以 及相应的记数方法。
公元前2400年左右的古巴比伦楔形文字
公元前1600年左右的中国甲骨文数字
循环小数都可以用一个分数表示（分母允许取
1），即有理数都可以表示成
m n
的形式，且可以
使m,n没有大于1的公约数。无理数不能用此形式来表
示，不是有理数的实数为无理数。
无理数的发现
希腊文明是人类文化史上最光辉的一页。大约在公 元前1200年至公元前1000年间，希腊部落爱奥尼亚人 迁徙到包括爱琴海东部诸岛屿在内的小亚细亚西部地 方。由于海上交通的方便，使得它容易接受巴比伦、 埃及等古代的先进文化，最终形成了后来影响欧洲乃 至整个世界的灿烂文化。
然而真理是不会被淹没的。人们很快发现不可公 度并非罕见：面积等于3，5，6，……，17的正方形的 边与单位正方形的边也不可公度。
新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的 有理数论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危 机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。它对古希腊的数学观 点有着极大的冲击，整数的尊崇地位受到挑战。于是 几何开始在希腊数学中占有特殊地位，同时，人们开 始不得不怀疑直觉和经验的可靠性，从此希腊几何开 始走向公理化的演绎形式。
奇妙的自然数
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……这些简简单单的自然数，是我 们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样自自然然， 因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数 字，就会发现其中妙趣横生。
聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数 列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。
高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师 是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子，从不认 真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏， 一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不 到就不准回家。
第一章：数学的起源与早期发展
史前数学主要是对数的认识 这种认识跨越几万年，直到18世纪
早在原
始人时代， 人们在生产 活动中慢慢 的就注意到 1只羊和许 多羊，一头 狼和许多狼 的差异。
随着时间的推移慢慢的产生了数的概念......
最早人们利用自己的手指头来记数， 当自己的手指不够用的时候，人们开始 采用“石头记数”
呢？这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人进行研究。
专门研究整数性质的数学分支叫作数论。数论中有许多看似简
单实则相当困难，甚至近乎神秘的问题等待人们去解决。
轻松课堂 数字游戏问题
数字游戏问题是数学游戏 中的一类，他要求从数字以及数 字间的运算中发现规律，然后按照这个 规律去填数或填写运算符号，解决这一 类问题的关键是寻找规律、发现规律
让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。
奇数数列是1,3,5,7,… n ,… （n为项数）偶数数列是 2,4,6,8,… 2n ,…（n为项数）人们研究奇数，发现 如下的性质：
自然数中偶数数列则有如下的性质： 2=1×2 2+4=6=2×3 2+4+6=12=3×4 2+4+6+8=20=4×5
…… 2+4+6+8+… +2n =n（n+1） 用数学归纳法能证明这个结论。
因为数字太多，我们不能一一列下去，让我们把结果列出来．
方幂次数 每组数方幂和
0
10
1
285
2
11685
3
536085
4
26043813
5
1309753125
6
6734006805
7
3512261547765
8
185039471773893
从0次幂到8次幂，两组数的方幂和都相等，谁能不感到惊奇呢？
不过算到9次方幂，两组数的方幂和就不相等了，这又是为什么
从此，老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书， 送给高斯，热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所 用的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求 和的办法。
这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规
律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有 趣的性质。
自然数中有一类数被称为“自守数”。所谓自守数
如： 95+59=154
又如： 198+891=1089
154+451=605
1089+9801=10890
605+506=1111
10890+09801=20691
1111就是一个回文数。
20691+19602=40293
40293+39204=79497
79497又是一个回文数。
是不是所有的自然数都有这个性质呢？不是。 例如三位数中的196似乎用上述办法就得不 到回文数。有人用计算机对196用上述办法 重复十万次，仍然没有得到回文数。但至今 还没有人能用数学证明办法对这个问题下结 论，所有"196问题"也成了世界性数学难题之 一。经过计算，在前十万个自然数中有5996 个数就像196一样很难得到回文数。
就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自 然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次， 尾数仍然是1、5、6。 例如： 21×21=421 21×21×21=9261 325×325=105625 6×6×6×6=1296
这样的结论是不是完全正确呢？我们可以用代数方法 加以证明。
让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表成10a+6 ， 这里a为任意自然数，那么：
最后再让我们看两组有趣的数： 第一组为：1 , 6 , 7 , 23 , 24 , 30 , 38 , 47 , 54 , 55 第二组为：2 , 3 , 10 , 19 , 27 , 33 , 34 , 50 , 51 , 56
这两组数有什么奇特之处呢？ 首先，这两组数都没有公因数，而且两组数各自的和都是285。 不过这算不上奇怪，拼拼凑凑，谁也弄得出来。不要着急，我 们再往下看。如果计算一下它们的方幂之和，你就会大为惊奇。
毕达哥拉斯(约前560年-约前480年)学派是继以泰勒 斯为代表的爱奥尼亚学派之后，希腊第二个重要学派， 它延续了两个世纪，在希腊有很大的影响。它有着带有 浓厚宗教色彩的严密组织，属于唯心主义学派。他们相 信依靠数学可使灵魂升华，与上帝融为一体，从而数学 是其教义的一部分。他们在数学上最大的贡献是证明了 直角三角形三边关系的勾股定理，故西方称之为毕达哥 拉斯定理。
公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒希帕索斯 发现存在某些线段之间是不可公度的，例如正方形 的边长与其对角线之间就是不可公度。根据毕达哥 拉斯定理容易发现，它们之比并非是自然数之比。 据说，由于希帕索斯的这一发现，触犯了毕达哥拉 斯学派的信条而被视为异端，为此他被其同伴抛进 大海。因为他竟然在宇宙间搞出这样一个东西，否 定了毕氏学派的信念。他们要把发现的秘密和他们 的困惑一起抛入大海，永不泄露。
后来阿拉伯人把这些数学符号传到了
很多地方。最开始阿拉伯数字的形状与现 代阿拉伯数字并不完全相同，只是比较接 近而已，为了使它变成今天的0、1、2、 3、4、5、6、7、8、9......的书写形式， 又有许多数学家做了许多努力。
进位制：
史上曾经有过二进制，五进制，十进制， 十二进制，十六进制，二十进制、六十进 制。
随着对于数的认识的发展，无理数终于在人们心目 中取得合法地位，并逐渐发展了实数的严格理论。关 于实数理论现在已广泛应用于科学技术和日常生活之 中。
中国传统数学中的无理数产生于开方不尽和圆 周率的计算。不过由于中国古算与古希腊数学有 着不同的传统，希腊人总是将数与形截然分开， 对涉及无限的问题总是持有恐惧的态度。中国算 学中数与形是有机统一的，中国人自始至终对关 于无限的问题总是泰然处之，能够正视无理数。
毕达哥拉斯学派的信条是，世界万物都 是可以用数来表示的。他们所称的数就是自 然数和分数。实际上分数也是自然数的结果。 他们将这种数的理论应用于几何，认为，对 于任何两条线段，总可找到一条同时量尽它 们的单位线段，并称此两线段为可公度的。 这种可公度性等价于“任何两条线段之比为 有理数”。他们在几何推理中总是使用这条 可公度性假定。
所有的孩子都急急忙忙地算起来，老师却在一边看小说，不 一会儿，小高斯就算出了结果是5050。老师大吃一惊，奇怪他 怎么算得这么快。原来，高斯并不是按1+2+3+4… …的顺序计 算的。而是把1到100一串数，从两头向中间，一头一尾两两相 加，每两个数的和都是101。例如：1+100、2+99、3+98… …， 直到50+51，和都是101。这样，100个数正好是50对，因此， 101× 50就得出5050的总和了。
公元前500年左右的中国筹算数码
公元前300年左右印度婆罗门数字
公元500年 左右，随着经济、 文化和佛教的兴 起与发展，印度 地区的数学一直 处于领先地位。
100 10
1
大约公元700年 前后阿拉伯人征服 了印度北部，他们 发现被征服的印度 地区数学比他们先 进。于是771年， 印度北部的数学家 被抓到阿拉伯的巴 格达，被迫给当地 人传授数学。
虽然毕达哥拉斯学派发现了无理数，但他们却严 禁泄露这一重要的发现，原因是这一发现彻底摧毁 了学派赖以安身立物都包含数，因 此，没有数既不可能表达，也不可能理解任何事 物”。
但要注意，毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数， 而分数是被看作两个整数之比。但是很不幸，是他 们自己发现了正方形的对角线与边的长度之比不能 用整数或整数之比（即现在所说的有理数）表示， 也就是找不到一个数（指整数或整数之比，即有理 数）使它平方后等于2，这就动摇了他们“万物皆数” 的根本信念。他们无法解释到底世界发生了什么事 情，学派内部引起了极大的思想混乱。
如果把尾数取到两位，还有没有自守的性质呢？ 有。比如末尾是25和76的数就是自守数。
如果尾数取到三位、四位或更高位数，还能找到自守 数吗？经过数学家的计算寻觅，发现尾数为376、9376、 09376、109376、7109376……以及末尾是625、0625、 90625、890625、2890625、……的数都是自守数。
奇妙数学史
老师眼中的数学 爸妈眼中的数学
其实你了解到的数学，仅限于数学知识 数学这门学科涵盖的内容是非常丰富的 下面一一道来
数学史的分期
一、数学的起源与早期发展(公元前6世纪) 二、初等数学时期(公元前6世纪-16世纪) 三、近代数学时期(17世纪-18世纪) 四、现代数学时期(1820年-现在)
(10a 6)2 (10a)2 2 10a 6 62
100a2 120a 36 10(10a2 12a 3) 6
由于a是自然数，得到的结果也必定是自然数，可见 它的个位必定是6。高次方情况下也如此，证明从略。 用同样方法可以证明1、5结尾的数也是自守数。
此外，对所有的自然数，下面的规律也成立并且 十分有趣：
自然数中还有一类数被称为回文数。回文数就是一个数的两边对
称，如11，121，1221，9339，30203等等。回文数本身倒也没
有什么奇特。不过人们发现大多数的自然数，如果把它各位数字
的顺序倒置，再与原数相加，将得数再按上述步骤进行，经过有
限的步骤后必能得到一个回文数：
“0”太重要了，一无所有为零 零是自然数 据考证“0”首次出现在柬埔寨＆苏门答腊的
碑文上 进位制是人类共同财产
我们学过的数被分为两类：有理数和无理数。有理数 如2，12.35，72.632632632，……，106.444444，……，等等。
在数学上可以证明，无论是整数、有限小数还是无限
汉字一二三四五六七八九十对十进制的贡 献
长期运用后留下二进制十进制 据推测五进制十进制与人的手指个数有关
现代澳大利亚托列斯峡群岛上一
些部落仍用二进制：
一=乌拉勃，二=阿柯扎 他们把三表为：阿柯扎乌拉勃 那么：阿柯扎阿柯扎＝？ 阿柯扎阿柯扎乌拉勃＝? 阿柯扎阿柯扎阿柯扎=?
“0”不是印度人或阿拉伯人的 发明
当人们觉得“石头记数”法比较麻烦， 容易出错时，他们又想出了“结绳记数” 法。
再后来，人们又发明了“刻痕记数” 法。
公元前3400年左右的古埃及象形数字 在经历了数万年的发展后，直到大约
距今五千多年前，才出现了书写记数以 及相应的记数方法。
公元前2400年左右的古巴比伦楔形文字
公元前1600年左右的中国甲骨文数字
循环小数都可以用一个分数表示（分母允许取
1），即有理数都可以表示成
m n
的形式，且可以
使m,n没有大于1的公约数。无理数不能用此形式来表
示，不是有理数的实数为无理数。
无理数的发现
希腊文明是人类文化史上最光辉的一页。大约在公 元前1200年至公元前1000年间，希腊部落爱奥尼亚人 迁徙到包括爱琴海东部诸岛屿在内的小亚细亚西部地 方。由于海上交通的方便，使得它容易接受巴比伦、 埃及等古代的先进文化，最终形成了后来影响欧洲乃 至整个世界的灿烂文化。
然而真理是不会被淹没的。人们很快发现不可公 度并非罕见：面积等于3，5，6，……，17的正方形的 边与单位正方形的边也不可公度。
新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的 有理数论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危 机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。它对古希腊的数学观 点有着极大的冲击，整数的尊崇地位受到挑战。于是 几何开始在希腊数学中占有特殊地位，同时，人们开 始不得不怀疑直觉和经验的可靠性，从此希腊几何开 始走向公理化的演绎形式。
奇妙的自然数
1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,……这些简简单单的自然数，是我 们从呀呀学语开始就认识的。它们是那样自自然然， 因而显得平淡无奇。但我们如果认真研究一下这些数 字，就会发现其中妙趣横生。
聪明的数学王子高斯在小学的时候就会巧算自然数 列之和，这正是由于他对自然数有深刻的了解。
高斯小时候在德国的一所农村小学读书。数学老师 是位从城里来的先生。他瞧不起穷人的孩子，从不认 真教他们，甚至还打骂学生。有一天，他情绪很坏， 一上课就命令学生做加法，从1一直加到100，谁算不 到就不准回家。
第一章：数学的起源与早期发展
史前数学主要是对数的认识 这种认识跨越几万年，直到18世纪
早在原
始人时代， 人们在生产 活动中慢慢 的就注意到 1只羊和许 多羊，一头 狼和许多狼 的差异。
随着时间的推移慢慢的产生了数的概念......
最早人们利用自己的手指头来记数， 当自己的手指不够用的时候，人们开始 采用“石头记数”
呢？这两组有趣的数和它们有趣的性质吸引了不少人进行研究。
专门研究整数性质的数学分支叫作数论。数论中有许多看似简
单实则相当困难，甚至近乎神秘的问题等待人们去解决。
轻松课堂 数字游戏问题
数字游戏问题是数学游戏 中的一类，他要求从数字以及数 字间的运算中发现规律，然后按照这个 规律去填数或填写运算符号，解决这一 类问题的关键是寻找规律、发现规律
让我们再来看看自然数中的奇数和偶数。
奇数数列是1,3,5,7,… n ,… （n为项数）偶数数列是 2,4,6,8,… 2n ,…（n为项数）人们研究奇数，发现 如下的性质：
自然数中偶数数列则有如下的性质： 2=1×2 2+4=6=2×3 2+4+6=12=3×4 2+4+6+8=20=4×5
…… 2+4+6+8+… +2n =n（n+1） 用数学归纳法能证明这个结论。
因为数字太多，我们不能一一列下去，让我们把结果列出来．
方幂次数 每组数方幂和
0
10
1
285
2
11685
3
536085
4
26043813
5
1309753125
6
6734006805
7
3512261547765
8
185039471773893
从0次幂到8次幂，两组数的方幂和都相等，谁能不感到惊奇呢？
不过算到9次方幂，两组数的方幂和就不相等了，这又是为什么
从此，老师再也不敢轻视穷孩子们了。他还从城里买来书， 送给高斯，热心帮助他学数学，高斯进步得更快了。小高斯所 用的方法，正是许多数学家经过长期努力才找到的等差数列求 和的办法。
这个故事人人皆知，它说明努力发现和巧妙利用规
律是多么重要。现在让我们再看看自然数还有哪些有 趣的性质。
自然数中有一类数被称为“自守数”。所谓自守数
如： 95+59=154
又如： 198+891=1089
154+451=605
1089+9801=10890
605+506=1111
10890+09801=20691
1111就是一个回文数。
20691+19602=40293
40293+39204=79497
79497又是一个回文数。
是不是所有的自然数都有这个性质呢？不是。 例如三位数中的196似乎用上述办法就得不 到回文数。有人用计算机对196用上述办法 重复十万次，仍然没有得到回文数。但至今 还没有人能用数学证明办法对这个问题下结 论，所有"196问题"也成了世界性数学难题之 一。经过计算，在前十万个自然数中有5996 个数就像196一样很难得到回文数。
就是自已和自己相乘以后得到的数，尾数不变。在自 然数中凡末尾数是1、5和6的数，不论自乘多少次， 尾数仍然是1、5、6。 例如： 21×21=421 21×21×21=9261 325×325=105625 6×6×6×6=1296
这样的结论是不是完全正确呢？我们可以用代数方法 加以证明。
让我们以末尾是6的数为例。这样的数可以表成10a+6 ， 这里a为任意自然数，那么：
最后再让我们看两组有趣的数： 第一组为：1 , 6 , 7 , 23 , 24 , 30 , 38 , 47 , 54 , 55 第二组为：2 , 3 , 10 , 19 , 27 , 33 , 34 , 50 , 51 , 56
这两组数有什么奇特之处呢？ 首先，这两组数都没有公因数，而且两组数各自的和都是285。 不过这算不上奇怪，拼拼凑凑，谁也弄得出来。不要着急，我 们再往下看。如果计算一下它们的方幂之和，你就会大为惊奇。