高考数学真题专题分类汇编专题三 函数(学生版)

专题三 函数
真题卷
题号 考点 考向
2023新课标1卷
4
函数的基本性质 复合函数的单调性、已知函数单调
性求参
10 对数运算、对数函数 对数运算、对数函数解决实际问题 11
函数的基本性质、函
数的极值 抽象函数的奇偶性、求抽象函数的
函数值、极值点定义
2023新课标2卷 4 函数的基本性质 利用奇偶性求参 2022新高考1卷 12 函数的基本性质 对称性、周期性的综合应用 2022新高考2卷 8 函数的基本性质 奇偶性、周期性的综合应用
2021新高考1卷
13 函数的基本性质 利用奇偶性求参
2021新高考2卷
7
比较大小 利用对数函数的单调性比较大小 8 函数的基本性质 奇偶性、周期性的综合应用 14 函数的基本性质 基本初等函数的性质 2020新高考1卷
6
指数运算、对数运算
指数、对数运算解决实际问题
8 函数的基本性质 单调性、奇偶性的综合应用 2020新高考2卷
7
函数的单调性与最值 利用单调性求参数的取值范围 8 函数的基本性质 单调性、奇偶性的综合应用 12
对数函数
新定义问题、对数运算、对数函数
的性质、不等式的性质
【2023年真题】
1.（2023·新课标I 卷 第4题） 设函数()()2x x a f x −=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是( )
A. (,2]−∞−
B. [2,0)−
C. (0,2]
D. [2,)+∞
2.（2023·新课标II 卷 第4题）若21
()()ln 21
x f x x a x −=
++为偶函数，则a =( ) A. 1−
B. 0
C.
1
2
D. 1
3.（2023·新课标I 卷 第10题）（多选） 噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定
义声压级0
20lg p
p
L p =×，其中常数00(0)p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为1p ，2p ，3p ，则( )
A. 12p p …
B. 2310p p >
C. 30100p p =
D. 12100p p …
4. （2023·新课标I 卷 第11题）（多选）已知函数()f x 的定义域为R ，22()()()f xy y f x x f y =+，则( ) A. (0)0f = B. (1)0f =
C. ()f x 是偶函数
D. 0x =为()f x 的极小值点
【2022年真题】
5.（2022·新高考I 卷 第12题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域为R ，记
()().g x f x =′若3
(2)2
f x −，(2)
g x +均为偶函数，则( )
A. (0)0f =
B. 1()02
g −=
C. (1)(4)f f −=
D. (1)(2)g g −=
6.（2022·新高考II 卷 第8题）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++−=，(1)1f =，则22
1()k f k ==∑( )
A. 3−
B. 2−
C. 0
D. 1
【2021年真题】
7.（2021·新高考I 卷 第13题）已知函数3()(22)x x f x x a −=⋅−是偶函数，则a =__________. 8.（2021·新高考II 卷 第7题）已知5log 2a =，8log 3b =，1
2
c =，则下列判断正确的是( ) A. c b a <<
B. b a c <<
C. a c b <<
D. a b c <<
9.（2021·新高考II 卷 第8题）设函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，(21)f x +为奇函数，则 ( ) A. 102f
−
=
B. (1)0f −=
C. (2)0f =
D. (4)0f =
10.（2021·新高考II 卷 第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x ：_________. ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x ′>；③()f x ′是奇函数．
【2020年真题】
11.（2020·新高考I 卷 第6题）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间(t 单位：天)的变化规律，指数增长率 r 与0R ，T 近似满足01.R rT =+有学者基于已有数据估计出0 3.28R =， 6.T =据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)≈( ) A. 1.2天
B. 1.8天
C. 2.5天
D. 3.5天
12.（2020·新高考I 卷、II 卷 第8题）若定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)−∞单调递减，且(2)0f =，
则满足(1)0xf x −…
的x 的取值范围是( ) A. [1,1][3,)−∪+∞ B. [3,1][0,1]−−∪ C. [1,0][1,)−∪+∞
D. [1,0][1,3]−∪
13.（2020·新高考II 卷 第7题）已知函数2()lg(45)f x x x =−−在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是( ) A. (2,)
+∞ B. [2,)
+∞ C. (5,)
+∞ D . [5,)+∞
14.（2020·新高考I 卷 第12题）（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取
值为1，2， ，n ，且()0(1,2,,)i P X i p i n =
=>= ，1
1n
i i p ==∑，定义X 的信息熵2
1
()log
n
i
i
i H X p p ==−∑( )
A. 若1n =，则()0H x =
B. 若2n =，则()H x 随着1p 的增大而增大
C. 若i p =
1
n
(1,2,i =，)n ，则()H x 随着n 的增大而增大 D. 若2n m =，随机变量Y 的所有可能取值为1，2， ，m ，且()P Y j ==j p +21j m p +−(1,2,j = ，)m ，则()H X ()H Y
【答案解析】
1.（2023·新课标I 卷 第4题）
解：结合复合函数单调性的性质，易得12
a
…
，所以a 的取值范围是[2,);+∞故选.D 2.（2023·新课标II 卷 第4题）
解：()f x 为偶函数，(1)
(1)f f =−，1
(1)ln (1)ln 33
a a ∴+=−+，0a ∴=，故选.B
3.（2023·新课标I 卷 第10题）（多选）
解：1211200220lg 20lg 20lg 0p p p L L p p p −=
×−×=×> ，12
1p
p ∴>，12p p ∴>，所以A 正确; 223320lg 10p L L p −=× …，231lg 2p p ∴…，1
2
23
p e p ∴…，所以B 错误;
3
30
20lg
40p L p =×= ，30100p p ∴=，所以C 正确; 1122
20lg 905040p L L p −=×−= ...，12lg 2p p ∴ (12100)
p ∴…，所以D 正确．
故选ACD
4. （2023·新课标I 卷 第11题）（多选）
解：选项A ，令0x
y ==，则(0)0(0)0(0)f f f =×+×，则(0)0f =，故A 正确; 选项B ，令1x
y ==，则(1)1(1)1(1)f f f =×+×，则(1)0f =，故B 正确; 选项C ，令1x y ==−，则22(1)(1)(1)(1)(1)f f f =−
×−+−×−，则(1)0f −=， 再令1y =−，则22()(1)()(1)f x f x x f −=−
+−，即()()f x f x −=，故C 正确; 选项D ，不妨设()0f x =为常函数，且满足原题22()()()f xy y f x x f y =
+，而常函数没有极值点，故D 错误. 故选：.ABC
5.（2022·新高考I 卷 第12题）（多选）
解：由3
(2)2f x −为偶函数可知()f x 关于直线32
x =对称，
由(2)g x +为偶函数可知()g x 关于直线2x =对称， 结合()()g x f x =
′，根据()g x 关于直线2x =对称可知()f x 关于点(2,)t 对称，
根据()f x 关于直线32x =
对称可知：()g x 关于点3
(,0)2
对称， 综上，函数()f x 与()g x 均是周期为2的周期函数，所以有(0)(2)f f t =
=，所以A 不正确;
(1)(1)f f −=，(4)(2)f f =，(1)(2)f f =，故(1)(4)f f −=
，所以C 正确.
13
()()022
g g −==，(1)(1)g g −=
，所以B 正确; 又(1)(2)0g g +=
，所以(1)(2)0g g −+=，所以D 不正确. 6.（2022·新高考II 卷 第8题）
解：令1y =得(1)(1)()(1)()(1)()(1)f x f x f x f f x f x f x f x ++−=⋅=⇒+=−−
故(2)
(1)()f x f x f x +=+−，(3)(2)(1)f x f x f x +=+−+，
消去(2)f x +和(1)f x +得到(3)()f x f x +=
−，故()f x 周期为6; 令1x =，0y =得(1)(1)(1)(0)(0)2f f f f f +=⋅⇒=，
(2)(1)(0)121f f f =−=−=−， (3)(2)(1)112f f f =−=−−=−， (4)(3)(2)2(1)1f f f =−=−−−=−， (5)(4)(3)1(2)1f f f =−=−−−=， (6)(5)(4)1(1)2f f f =−=−−=，
故
22
1
()3[(1)(2)(6)](19)(20)(21)(22)k f k f f f f f f f ==
+++++++∑
(1)(2)(3)(4)1(1)(2)(1)3f f f f =+++=+−+−+−=−
即
7.（2021·新高考I 卷 第13题）
解： 函数3()(22)x x f x x a −=⋅−是偶函数；
33()(22)=()()(22)x x x x f x x a f x x a −−∴=⋅−−=−⋅−， 化简可得3(2222)0x x x x x a a −−⋅−+⋅−=， 解得1a =，故答案为1.
8.（2021·新高考II 卷 第7题）
解：55881
log 2log log log 32
a b =
<==<=， 即.a c b << 故选.C
9.（2021·新高考II 卷 第8题）
解：因为函数为偶函数，则()()22f x f x +=
−，可得()()31f x f x +=−，
因为函数为奇函数，则()()1221f x f x −=
−+，所以()()11f x f x −=−+， 所以，(3)(1)f x f x +=
−+，即(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 故函数是以4为周期的周期函数，
因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，
故()()110f f −=
−=，其它三个选项未知. 故选.B
10.（2021·新高考II 卷 第14题）
解：取2()f x x =，则222
121212
12()()()()f x x x x x x f x f x ===，满足①， ()2f x x ′=，0x >时有，满足②， ()2f x x ′=的定义域为R ，
又()2()f x x f x ′′−=−=−，故
是奇函数，满足③.
故答案为：2()(f x x =答案不唯一，()()2*
n
f x x
n N =∈均满足)
11.（2020·新高考I 卷 第6题）
解：将0 3.28R =，6T =代入01R rT =+， 得01 3.281
0.386
R r
T −−==， 由()0.38t
I t e
=得()()ln 0.38
I t t =
，
当增加1倍时，，
所需时间为
(2)f x +(21)f x +()f x ()0f x ′>
故选.B
12.（2020·新高考I 卷、II 卷 第8题）
解：根据题意，不等式(1)0xf x −…
可化为()010x f x ≥ −≥ 或()0
10x f x ≤ −≤
， 由奇函数性质得(2)-(2)0f f −=
=，()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以
或
，
解得13x 剟
或10.x −剟 满足(1)0xf x −…
的x 的取值范围是[1,0][1,3].x ∈−∪ 故选.D
13.（2020·新高考II 卷 第7题） 解：由2450x x −−>，得1x <−或 5.x > 令245t x x =−−，
外层函数lg y t =是其定义域内的增函数，
∴要使函数2()lg(45)f x x x =−−在(,)a +∞上单调递增，
则需内层函数245t x x =−−在(,)a +∞上单调递增且恒大于0，
则(,)(5,)a +∞⊆+∞，即 5.a …
a ∴的取值范围是[5,).+∞
故选：.D
14.（2020·新高考I 卷 第12题）（多选）
解：A 选项中，由题意知11p =，此时2()1log 10H X =−×=，故A 正确；
B 选项中，由题意知121p p +=
，且1(0,1)p ∈， 121222121121()log log log (1)log (1)H X p p p p p p p p =−−=−−−−，
设22()log (1)log (1)f x x x x x =
−−−−，(0,1)x ∈ ， 则222111
()log log (1)log (1)ln 2ln 2f x x x x
′=
−−+−+=−，
当1(,1)2x ∈时，()0f x ′<，当1(0,)2
x ∈时，()0f x ′>，
故当11(0,)2
p ∈ 时，()H X 随着1p 的增大而增大，
当11(,1)2
p ∈ 时，()H X 随着1p 的增大而减小，故B 错误；
C 选项中，由题意知2
211
()()log H X n log n n n
=×−=， 故()H X 随着n 的增大而增大，故C 正确；
D 选项中，由题意知j 21j 2j 21j j 1
()()log ()m
m m H Y p p p p +−+−==
−++∑
， 2j 2j j 2j 21j 221j j 1j 1
()log (log log )m m
m m H X p p p p p p +−+−===−=−+∑∑，
j 21j
j 21j
2j 21j
2j 221j
j 1j 1()()
log
()
(log log )m m m
m
p p p
p m m H X H Y p p p p +−+−++−+−=
=−=+−+∑∑
j 21j
j 21j
j 21j
j
21j
j 21j j 21j j 21j 2
2
j 1j 1j 21j
j 21j
()()()
=log log m m m m p p p
p m
m
m m m p p p p m m p p p p p p p p
p p +−+−+−+−++−+−+−=+−+−+++=∑∑
j 21j
21j j 2j 1
j
21j
=log (1)(1)
0,m m
p
p m m p p p p +−+−=+−+
+
>∑
故D 错误. 故答案为： .AC。