2.1圆周角定理
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推论１：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； ９０°的圆周角所对的弦是直径．
例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D, 使AD=AB.若∠ADB=40°, 求∠BOC的度数．
B O C
D A
160°
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦， 延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
C
小结： 圆周角／圆心角定理
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
９０°的圆周角所对的弦是直径．
小结： 圆周角／圆心角定理
B E · O H D G C
３.如图，BC是半圆的直径,P是半圆上的一点,过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ 于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ， 求证：ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦ
︵
Ａ
2
Ｂ
ＥＦ Ｄ
1
3 4
Ｐ
Ｃ
４、如图， Δ ABC内接于⊙Ｏ，ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ， 求证：（１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ （２）ＯＡ·ＡＨ＝１／２ＡＢ·ＡＣ
(第1题) (第2题) (第3题)
2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂 足D,且CD=6cm.求AD的长. ⌒ ⌒ 3.如图,BC是⊙O的直径, AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF 和 AD相交于E.求证:AE=BE.
2、如图，设AD,CF是Δ ABC的两条高, AD,CF的延长线交Δ ABC的外接圆O于G,AE 是⊙O的直径,求证: (1)AB·AC=AD·AE F A (2)DG=DH
弧意义是不同的.
2.圆心角定理
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
想 一 想 ？ ？
（1）在同圆或等圆中，相等的 弧所对的圆心角相 等吗？
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周 角是多少度？ （3） ９０°的圆周角所对的弧是多少度？所对的 弦是什么？
2.圆心角定理
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
21圆周角定理圆周角定理的证明圆周角定理的推论圆周角定理证明圆周角圆周角和圆心角的关系圆心角和圆周角同弧所对的圆周角相等圆周角ppt圆周角与圆心角的关系
2.1圆周角定理
1.圆周角定理
思考1 在⊙O中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连 接OB.OC,得圆心角∠BOC. ∠BAC和∠BOC之间 有什么关系? 思考2
改变圆周角的大小, 这种关系会改变吗?怎样 来解决这个问题呢？
结论： ∠BAC=1/2∠BOC
1.圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半. 思考3
如何用逻辑推理（欧氏几何）证明该定理 成立？ 应该怎样写已知与求证？
1.圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
一个周角是360º .把圆周等分成360份，每一份 叫做1°的弧. 1°的弧是对任何一个圆来说的,跟圆的半径的 大小无关. ⌒ ⌒ 如图, ∠AOB=90º ,所以AB是90º 的弧,A´B´也是 90º .都是周角的四分之一. A ⌒ ⌒ 但AB并不等于A ´B´,因为它们所在圆 A'
B'
B
的半径不等.故相等的弧和相等度数的
的外部． A
O
●
●
C
B
D
O
O C
●
C
B
D
(3)
B
(1)
(2)
1.圆周角定理
AHale Waihona Puke (1)O C B A
(2)
O
B D A C
(3)
O D B
C
证明：分三种情况讨论． (1)圆心O在∠BAC的一条边上. ∵OA=OC,∴ ∠C =∠BAC ∵ ∠BOC =∠C +∠BAC ∴∠BAC=½∠BOC. (2)圆心O在∠BAC的内部.作直径AD. 由(1)有∠BAD=½∠BOD, ∠DAC=½∠DOC ∴∠BAD+∠DAC= =½(∠BOD+∠DOC) ∴∠BAC=½∠BOC. (3)圆心O在∠BAC的外部.作直径AD. 由(1)有∠DAB=½∠DOB, ∠DAC=½∠DOC ∴∠DAC-∠DAB= =½(∠DOC-∠DOB) ∴∠BAC=½∠BOC.
A
D B P C E
1. 如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小. 25°
B C A
●
A O .
O
B
C
２．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ＡＢＣ＝70°， 求∠ＢＯＣ度数. 80°
︵ ︵
３.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中, 130° 已知∠BAD=50°,求∠C的大小.
A
C
●
E
O D
C A B D O
B
25°
5．如图：已知Ｂ、Ｃ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ．
Ａ Ｅ ． Ｄ O
Ｆ
Ｂ
Ｃ
6.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB= 2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. 1 ∠ACB= 2∠AOB 证明： 1 ∠BAC= 2∠BOC O ∠AOB=2∠BOC A ∠ACB=2∠BAC B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证 明问题,要准确找出同弧所对的圆周角 和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
证题方法：化归思想
分割 问题1 问题2
问题
……
解答1
解答
解答2
组合
……
化归指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问 题，转化归结到某个已解决或比较容易解决的问题，最终求得 原问题的解的方法。
证题方法：特殊化
一般 问题
特殊 问题
一般 问题
一般 问题
实验 猜想
一般 结论
逻辑 证明
2.圆心角定理
2．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗 透了“特殊到一般”的思想方法和化归转 化、分类讨论的思想方法． 3．圆周角及圆周角定理的应用极其广泛， 也是平面几何中的一个重要考点，希望能 灵活运用．
习题2.1(P26) 1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB交于点D,求证:D是AB的中点. C A B F D E B B D O A C O E A D C
Ａ
AB=AC, △ABC是 等腰三角形
Ｂ Ｄ Ｃ
例３．如图，AD是△ABC的高， AE是△ABC 的外接圆直径．求证： AB· AC=AE· AD．
证明：连接BE． ∵∠ADC=∠ABE=90°(为什么？),
∠C=∠E（为什么？ ）, ∴△ADC∽△ABE（为什么？ ）.
B O D C
A
E
例４． 如图，AB与CD相交于圆内 » 的度 一点P．求证： » AD 的度数与 BC 数和的一半等于∠APD的度数． 证明：如图，过点C作CE//AB 交圆于E，则有∠APD ＝∠C.
Ａ Ｂ D ． Ｏ
Ｈ Ｃ
» 所对的圆周角和圆心 已知：如图，在⊙O中，BC 角分别是∠BAC, ∠BOC ．
1 求证：BAC BOC 2
思考3
怎样证明呢？
1.圆周角定理
分析：分三种情况讨论． １．如图（１）， ２．如图（2）， ３．如图（３），
圆心O在∠BAC
的一条边上． A
圆心O在∠BAC
的内部． A
圆心O在∠BAC
例1:如图:AB,AC是⊙O的两条弦,延长CA到D, 使AD=AB.若∠ADB=40°, 求∠BOC的度数．
B O C
D A
160°
例２．ＡＢ是⊙Ｏ的直径，ＢＤ是⊙Ｏ的弦， 延长ＢＤ到点Ｃ，使ＣＤ＝ＢＤ，连接ＡＣ． 判断ＡＢ与ＡＣ的大小有什么关系？为什么？
C
小结： 圆周角／圆心角定理
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． 推论１：在同圆或等圆中， 同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等． 推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
９０°的圆周角所对的弦是直径．
小结： 圆周角／圆心角定理
B E · O H D G C
３.如图，BC是半圆的直径,P是半圆上的一点,过 BP 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ 于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ， 求证：ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦ
︵
Ａ
2
Ｂ
ＥＦ Ｄ
1
3 4
Ｐ
Ｃ
４、如图， Δ ABC内接于⊙Ｏ，ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ， 求证：（１）∠ＯＡＢ＝∠ＨＡＣ （２）ＯＡ·ＡＨ＝１／２ＡＢ·ＡＣ
(第1题) (第2题) (第3题)
2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂 足D,且CD=6cm.求AD的长. ⌒ ⌒ 3.如图,BC是⊙O的直径, AD⊥BC,垂足D.AB=AF,BF 和 AD相交于E.求证:AE=BE.
2、如图，设AD,CF是Δ ABC的两条高, AD,CF的延长线交Δ ABC的外接圆O于G,AE 是⊙O的直径,求证: (1)AB·AC=AD·AE F A (2)DG=DH
弧意义是不同的.
2.圆心角定理
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
想 一 想 ？ ？
（1）在同圆或等圆中，相等的 弧所对的圆心角相 等吗？
（2）半圆（直径）所对的圆心角是多少度？圆周 角是多少度？ （3） ９０°的圆周角所对的弧是多少度？所对的 弦是什么？
2.圆心角定理
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
21圆周角定理圆周角定理的证明圆周角定理的推论圆周角定理证明圆周角圆周角和圆心角的关系圆心角和圆周角同弧所对的圆周角相等圆周角ppt圆周角与圆心角的关系
2.1圆周角定理
1.圆周角定理
思考1 在⊙O中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连 接OB.OC,得圆心角∠BOC. ∠BAC和∠BOC之间 有什么关系? 思考2
改变圆周角的大小, 这种关系会改变吗?怎样 来解决这个问题呢？
结论： ∠BAC=1/2∠BOC
1.圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
的圆心角的一半. 思考3
如何用逻辑推理（欧氏几何）证明该定理 成立？ 应该怎样写已知与求证？
1.圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半．
一个周角是360º .把圆周等分成360份，每一份 叫做1°的弧. 1°的弧是对任何一个圆来说的,跟圆的半径的 大小无关. ⌒ ⌒ 如图, ∠AOB=90º ,所以AB是90º 的弧,A´B´也是 90º .都是周角的四分之一. A ⌒ ⌒ 但AB并不等于A ´B´,因为它们所在圆 A'
B'
B
的半径不等.故相等的弧和相等度数的
的外部． A
O
●
●
C
B
D
O
O C
●
C
B
D
(3)
B
(1)
(2)
1.圆周角定理
AHale Waihona Puke (1)O C B A
(2)
O
B D A C
(3)
O D B
C
证明：分三种情况讨论． (1)圆心O在∠BAC的一条边上. ∵OA=OC,∴ ∠C =∠BAC ∵ ∠BOC =∠C +∠BAC ∴∠BAC=½∠BOC. (2)圆心O在∠BAC的内部.作直径AD. 由(1)有∠BAD=½∠BOD, ∠DAC=½∠DOC ∴∠BAD+∠DAC= =½(∠BOD+∠DOC) ∴∠BAC=½∠BOC. (3)圆心O在∠BAC的外部.作直径AD. 由(1)有∠DAB=½∠DOB, ∠DAC=½∠DOC ∴∠DAC-∠DAB= =½(∠DOC-∠DOB) ∴∠BAC=½∠BOC.
A
D B P C E
1. 如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小. 25°
B C A
●
A O .
O
B
C
２．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠ＡＢＣ＝70°， 求∠ＢＯＣ度数. 80°
︵ ︵
３.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中, 130° 已知∠BAD=50°,求∠C的大小.
A
C
●
E
O D
C A B D O
B
25°
5．如图：已知Ｂ、Ｃ为⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ， 垂足为Ｄ，ＢＦ交ＡＤ于Ｅ，且ＡＥ＝ＢＥ．
Ａ Ｅ ． Ｄ O
Ｆ
Ｂ
Ｃ
6.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB= 2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC. 1 ∠ACB= 2∠AOB 证明： 1 ∠BAC= 2∠BOC O ∠AOB=2∠BOC A ∠ACB=2∠BAC B 规律:解决圆周角和圆心角的计算和证 明问题,要准确找出同弧所对的圆周角 和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理
证题方法：化归思想
分割 问题1 问题2
问题
……
解答1
解答
解答2
组合
……
化归指的是转化与归结。即把数学中待解决或未解决的问 题，转化归结到某个已解决或比较容易解决的问题，最终求得 原问题的解的方法。
证题方法：特殊化
一般 问题
特殊 问题
一般 问题
一般 问题
实验 猜想
一般 结论
逻辑 证明
2.圆心角定理
2．方法上主要学习了圆周角定理的证明渗 透了“特殊到一般”的思想方法和化归转 化、分类讨论的思想方法． 3．圆周角及圆周角定理的应用极其广泛， 也是平面几何中的一个重要考点，希望能 灵活运用．
习题2.1(P26) 1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB交于点D,求证:D是AB的中点. C A B F D E B B D O A C O E A D C
Ａ
AB=AC, △ABC是 等腰三角形
Ｂ Ｄ Ｃ
例３．如图，AD是△ABC的高， AE是△ABC 的外接圆直径．求证： AB· AC=AE· AD．
证明：连接BE． ∵∠ADC=∠ABE=90°(为什么？),
∠C=∠E（为什么？ ）, ∴△ADC∽△ABE（为什么？ ）.
B O D C
A
E
例４． 如图，AB与CD相交于圆内 » 的度 一点P．求证： » AD 的度数与 BC 数和的一半等于∠APD的度数． 证明：如图，过点C作CE//AB 交圆于E，则有∠APD ＝∠C.
Ａ Ｂ D ． Ｏ
Ｈ Ｃ
» 所对的圆周角和圆心 已知：如图，在⊙O中，BC 角分别是∠BAC, ∠BOC ．
1 求证：BAC BOC 2
思考3
怎样证明呢？
1.圆周角定理
分析：分三种情况讨论． １．如图（１）， ２．如图（2）， ３．如图（３），
圆心O在∠BAC
的一条边上． A
圆心O在∠BAC
的内部． A
圆心O在∠BAC