高三数学一轮复习精品教案1：7.2 一元二次不等式及其解法教学设计

7.2一元二次不等式及其解法
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像
一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2)
有两相等实根 x 1＝x 2＝－b
2a
没有实数根
ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x <x 1或x >x 2} {x |x ≠－
b 2a
} R
ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅ ∅
1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．
2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅. 『试一试』
1．(2013·苏中三市、宿迁调研)设集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－5x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________.
『解析』集合A ＝『－1,3』，B ＝(－∞，0』∪『5，＋∞)．从而∁R B ＝(0,5)，则A ∩(∁R B )＝(0,3』． 『答案』(0,3』
2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭
⎫－12，1
3，则a ＋b 的值是________． 『解析』由题意知－12、1
3是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.
『答案』－14
3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 『解析』∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.
∴a >4或a <－4.
『答案』(－∞，－4)∪(4，＋∞)
1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪
⎧ a >0，Δ<0.
(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0
对任意实数x 恒成立⇔⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧
a <0，
Δ<0.
2．分类讨论思想
解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 『练一练』
若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 『解析』①当m ＝0时，1>0显然成立．
②当m ≠0时，由条件知⎩
⎪⎨⎪⎧
m >0，
Δ＝4m 2－4m <0.得0<m <1，由①②知0≤m <1. 『答案』『0,1)
考点一
一元二次不等式的解法
『典例』 解下列不等式：
(1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)．
『解』 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔(2)(1)0
(3)(2)0
x x x x -+>⎧⎨-+≤⎩⇔⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＞2或x ＜－1，
－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，
原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3.
(2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0.由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ；当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .
综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a .
『备课札记』 『类题通法』
1．解一元二次不等式的一般步骤：
(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类． 『针对训练』 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0；
(2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．
解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2 ≤x ≤4
3
，
所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪
－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭
⎫x －1
a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1
a
.
综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
1a ＜x ＜1. 考点二
一元二次不等式恒成立问题
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：
1形如f(x )≥0x ∈R 确定参数的范围； 2形如f(x ) ≥0，x ∈『a ，b 』，确定参数范围； 3形如f(x )≥0参数m ∈『a ，b 』确定x 的范围. 角度一 形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围
1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．
『解析』根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2 α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，. 『答案』06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，56π
π⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
， 角度二 形如f (x )≥0，(x ∈『a ，b 』)，确定参数范围
2．对任意x ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围； 解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a
2
.
①当4－a
2<－1，即a >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0，
解得a <3，故有a ∈∅；
②当－1≤4－a 2≤1，即2≤a ≤6时，只要f ⎝⎛⎭⎫4－a 2＝⎝⎛⎭⎫4－a 22
＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，
故有a ∈∅；
③当4－a
2
>1，即a <2时，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0，即a <1，故有a <1.
综上可知，当a <1时，对任意x ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f (x )≥0(参数m ∈『a ，b 』)确定x 的范围
3．对任意a ∈『－1,1』，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围．
解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，
令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知在『－1,1』上，g (a )的值恒大于零，
则2
2
(1)(2)(1)440(1)2440
g x x x g x x x ⎧-=-⨯-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩解得x <1或x >3. 故当x <1或x >3时，对任意的a ∈『－1,1』，函数f (x )的值恒大于零．
『备课札记』 『类题通法』
恒成立问题及二次不等式恒成立的条件
(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．
考点三
一元二次不等式的应用
『典例』 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．
(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；
(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?
『解』 (1)设该商品价格下降后为x 元/件，则由题意可知年销量增加到⎝⎛⎭
⎫k
x －4＋a 件，
故经销商的年收益y ＝⎝⎛⎭
⎫k
x －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5.
(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝⎛⎭⎫2a x －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2
－11x ＋30
x －4
≥0，
解得x ≥6或4<x ≤5.又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，
即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.
『备课札记』 『类题通法』
构建不等式模型解决实际问题
不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立
恰当的不等式模型进行求解． 『针对训练』
某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加8
5
x 成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋8
50x .因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x
10－80≥0.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为『0,2』． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤13
4.
所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤
12，2.
『课堂练通考点』
1．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为『0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________． 『解析』由题意知，因为函数f (x )的值域为『0，＋∞)， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝4b －a
2
4
＝0，所以4b ＝a 2， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22，所以关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为⎝⎛⎭
⎫－a 2－c ，－a
2＋c ， 即(m ，m ＋6)，故⎩⎨⎧
－a
2－
c ＝m ，
－a
2＋
c ＝m ＋6，
两式相减得c ＝3，所以c ＝9.
『答案』9
2．不等式4x －2x ＋
2＞0的解集为________．
『解析』令2x ＝t ，则不等式变为t 2－4t ＞0.由于t ＞0，故t ＞4，即2x ＞4，解得x ＞2.所以不等式的解集为(2，＋∞)． 『答案』(2，＋∞)
3．(2013·南通三模)不等式x ＜2
x －1的解集是________．
『解析』不等式等价于
(2)(1)
0x x x
+-<，由数轴标根法得x ＜－2或0＜x ＜1，从而不
等式的解集为{x |x ＜－2或0＜x ＜1}．
『答案』{x |x ＜－2或0＜x ＜1}
4．(2013·苏州常镇二调)若关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，则实数m 的值为________．
『解析』由关于x 的不等式mx 2＋2x ＋4＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}，得－1,2为方程mx 2
＋2x ＋4＝0的两个实数根．得⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＜0，m －2＋4＝0，
4m ＋4＋4＝0，所以m ＝－2.
『答案』－2
5．若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋1，x >0，
－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．
『解析』不等式f (x )<4等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2＋1<4，或⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，－x <4，
即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)． 『答案』(－4，3)
6．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )·(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝__________，n ＝________.
『解析』因为|x ＋2|<3，即－5<x <1，所以A ＝(－5,1)，又A ∩B ≠∅，所以m <1，B ＝(m,2)，由A ∩B ＝(－1，n )得m ＝－1，n ＝1. 『答案』－1 1。